挖掘“數(shù)列”探究?jī)r(jià)值，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展

邵漢民

【摘 要】“數(shù)列”是引導(dǎo)學(xué)生研究數(shù)的變化特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的一種學(xué)習(xí)材料。等差數(shù)列、等比數(shù)列和裴波那契數(shù)列是比較常見的三種數(shù)列。教師以文化視角進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)列規(guī)律的探究過程，有層次地促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；數(shù)學(xué)文化；探究?jī)r(jià)值；思維發(fā)展

等差數(shù)列、等比數(shù)列和裴波那契數(shù)列是三種常見的數(shù)列，在生活中可以找到它們的現(xiàn)實(shí)原型，如堆成三角形或梯形的圓木堆可以看作等差數(shù)列的原型，做拉面時(shí)師傅不斷地對(duì)折拉面的過程中，拉面根數(shù)增加的情況就是一個(gè)等比數(shù)列，而大自然中大多數(shù)花朵的花瓣數(shù)，如果從少到多排列起來，居然會(huì)是一組裴波那契數(shù)列。同時(shí)，關(guān)于這三個(gè)數(shù)列，都有一些數(shù)學(xué)故事，等差數(shù)列有高斯求和的故事，等比數(shù)列有達(dá)依爾的麥粒故事，裴波那契數(shù)列有兔子繁殖的故事。如何利用好這些現(xiàn)實(shí)原型，并充分挖掘這些故事的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，讓學(xué)生經(jīng)歷這些數(shù)列的抽象過程，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展？對(duì)此，筆者進(jìn)行了教學(xué)思考與實(shí)踐。

一、等差數(shù)列——初步感受數(shù)學(xué)化的過程

利用等差數(shù)列求和這一數(shù)學(xué)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感，是“等差數(shù)列”學(xué)習(xí)價(jià)值的體現(xiàn)。但是，作為小學(xué)生，如果我們單純地讓學(xué)生求等差數(shù)列的和，掌握它的計(jì)算公式：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2，似乎還沒有真正挖掘出“等差數(shù)列”的教學(xué)價(jià)值。如何通過找尋“等差數(shù)列”與現(xiàn)實(shí)模型、圖式模型之間的聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的內(nèi)容聯(lián)系？如何通過“等差數(shù)列求和”的簡(jiǎn)便算法的探究與圖式變換之間的比較，形成數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣？如何淡化數(shù)學(xué)形式化思維，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā)理解解題的思路？出于對(duì)以上問題的思考，我們基于二下年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，開展把等差數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為三角形點(diǎn)子圖的研究。具體安排以下三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

（一）經(jīng)歷從“等差數(shù)列”的現(xiàn)實(shí)模型到圖式模型再到數(shù)學(xué)表達(dá)的過程

1.引入主題：看照片回憶周日愉快的親子活動(dòng)（掰玉米、摘黃瓜）。然后出示下面圖片。

2.引導(dǎo)觀察：說一說它們是怎么擺放的？

3.指導(dǎo)概括：能用最簡(jiǎn)潔的符號(hào)把這些形狀描述下來嗎？

通過以上三個(gè)層次的引導(dǎo)，形成以下數(shù)學(xué)抽象的過程。

（二）探索從數(shù)學(xué)計(jì)算到圖式變換再到數(shù)形結(jié)合的歷程

1.提出問題，自主探究：一共有多少個(gè)點(diǎn)子？

2.交流匯報(bào)，理清思路。

1+2+3+4+5+6=（1+6）+（2+5）+（3+4）=7×3=21

（三）經(jīng)歷從變式練習(xí)到特征比較再到拓展練習(xí)的進(jìn)程

弗賴登塔爾曾明確指出：“毫無疑問學(xué)生也應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，當(dāng)然從最低的層次開始，也就是先從非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，同時(shí)還應(yīng)該進(jìn)到下一層次，即至少能對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行局部組織?！币陨先齻€(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了弗賴登塔爾的這一數(shù)學(xué)教學(xué)思想。由此，我們?cè)趯?duì)如“數(shù)列”這樣一些高度抽象的數(shù)學(xué)化材料的處理上，不能只囿于數(shù)學(xué)公式的推理，而應(yīng)該從更普遍意義上來理解，即如何讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維的全過程。

二、等比數(shù)列——進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)化的過程

不熟悉“幾何級(jí)數(shù)”的變化特點(diǎn)，茫然地做出承諾，就會(huì)釀成大錯(cuò)，這樣的事例，我們可以從一些數(shù)學(xué)科普讀物中找到，如下面列舉的“達(dá)依爾的麥子”就是一個(gè)很好的教學(xué)材料。

相傳古印度人達(dá)依爾發(fā)明了國際象棋而使當(dāng)朝的國王十分開心，國王便決定重賞他。

“我不要您的重賞，陛下?！边_(dá)依爾接著說，“我只要您能在我的棋盤上賞些麥子：在第一格放一粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的麥粒都比它前面一格多一倍，我只求能放滿64格就行了?！?/p>

“區(qū)區(qū)小數(shù)，幾粒麥子，這有何難，……”國王未加思考立即允道。

有句話叫作“君無戲言”。如果國王的賞賜真的要實(shí)現(xiàn)，那么就算國王傾全國的財(cái)富，也滿足不了對(duì)達(dá)依爾的賞賜。

對(duì)于這樣一則數(shù)學(xué)故事，如果將其轉(zhuǎn)化成教學(xué)過程，把目標(biāo)停留于求解，那么就變得太難了，對(duì)于六年級(jí)的小學(xué)生來說不免顯得力不從心，也沒有必要。但如果除去這種純粹難度外，這里包含著太多的數(shù)學(xué)化的過程。如果從這個(gè)角度來思考，等比數(shù)列的教學(xué)目標(biāo)不只是為了求出問題的解，而是在求問題解的過程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

（一）從數(shù)的表達(dá)到式的表達(dá)

小學(xué)計(jì)算中一般以數(shù)為基本單位，因此由題意可以分析得出每格中所放的麥子數(shù)依次為1，2，4，8，16，32……一直到第64格上放的麥子數(shù)這樣一組等比數(shù)列。這樣的表示方法可以讓人明顯地感受到數(shù)的大小變化，但是越往后數(shù)的位數(shù)越來越多，書寫越來越不方便。能否用更簡(jiǎn)捷的方法來表示結(jié)果？從分析數(shù)的特征入手，從4開始，每個(gè)數(shù)都可以表示成若干個(gè)2相乘的形式。如下圖。

這個(gè)規(guī)律可以有兩種表達(dá)，即用乘法的形式表示和用冪的形式表示。通過以上三種表示每格中麥子數(shù)的方法的比較，既可以發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，更可以體會(huì)到數(shù)學(xué)表達(dá)的優(yōu)化過程。

誠然，對(duì)于六年級(jí)的小學(xué)生來說，也只學(xué)到平方數(shù)與立方數(shù)的表達(dá)，對(duì)于如63個(gè)2相乘的運(yùn)算用冪的形式來表示，還是很陌生。但是，如果我們能運(yùn)用遷移的思路，讓學(xué)生理解平方數(shù)與立方數(shù)的基本結(jié)構(gòu)，類比“乘方”這種運(yùn)算形式簡(jiǎn)寫式an，也是可以實(shí)現(xiàn)的。

（二）從按運(yùn)算順序直接計(jì)算到用遞推法找規(guī)律簡(jiǎn)算

在計(jì)算其結(jié)果時(shí)，一般我們用邏輯推理的形式來進(jìn)行教學(xué)。

從以上列舉中發(fā)現(xiàn)，“前幾項(xiàng)的和等于后一項(xiàng)的數(shù)減1”，所以棋盤上64格上的麥粒數(shù)的和等于第65格上的麥粒數(shù)減1，即264-1。

就數(shù)學(xué)思維而言，以上解決問題的形式是一種數(shù)學(xué)演算的過程，是解決等比數(shù)列的一種解題過程。如果從方法論的角度來思考，解決這一個(gè)問題可以用方法一、方法二進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算。

以上三種方法，從計(jì)算的簡(jiǎn)捷性來看，當(dāng)然是前兩種方法更加優(yōu)越，但從小學(xué)生的可接受性來說，方法二更好。因此，在實(shí)際教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生用方法二來思考。

可以直接提出要求：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算出結(jié)果。1分鐘之后，請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)計(jì)算情況，從學(xué)生的匯報(bào)中得到方法二中的學(xué)習(xí)材料，再組織學(xué)生討論。

（三）從計(jì)算出結(jié)果到感受大數(shù)

最后結(jié)果的計(jì)算，可以借助于計(jì)算器。這些麥粒的總數(shù)為1+2+22+23+……+263=264-1=18446744073709551615粒。

一個(gè)20位數(shù)，這么多麥粒究竟有多少？光看這個(gè)數(shù)，可能并不能感受到有多少。就如我們?nèi)说穆犛X，當(dāng)聲音的頻率過高與過低時(shí)都不可能聽清楚一樣，當(dāng)一個(gè)數(shù)過大或過小時(shí)，我們也不可以用具體的表象進(jìn)行感知。

那么，如何讓學(xué)生感知到這個(gè)數(shù)的大??？

方法一是把單位變大，如20000粒左右的麥子大約是1千克，那么一噸麥子就是20000000粒，這樣一除，18446744073709551615粒麥子大致上是922 327 203 685噸。

第二種方法是進(jìn)行形象化的描述，也就是說大約需要九千二百二十三億噸麥子才能滿足達(dá)依爾的要求。這大約是全球兩千年所產(chǎn)小麥的總量。

這讓區(qū)區(qū)一個(gè)印度國王如何賞得起呢？

三、斐波那契數(shù)列——培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣

在數(shù)學(xué)史料中，有許多數(shù)學(xué)家編制過數(shù)學(xué)題，其中有一些題目，如果從自然現(xiàn)象與自然規(guī)律來看，是不符合客觀規(guī)律的，甚至是十分荒唐的，如“雞兔同籠”問題，雞和兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，這是不合常理的。那么數(shù)學(xué)家為什么要編制這樣的題目，其真正的價(jià)值是怎樣的？我們可以從對(duì)斐波那契數(shù)列的分析中找到答案。

假定一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長成大兔，再過一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔。一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，問一對(duì)剛出生的兔子，一年內(nèi)能繁殖多少對(duì)兔子？

如果從生物學(xué)的角度來看待這個(gè)問題，這是一件十分荒唐的事情，小兔子一個(gè)月后并不能變成大兔，母兔一般一次可以生育5～6只小兔?？傊?，兔子不會(huì)按斐波那契所說的這樣有規(guī)律地生長與生育。這也正是這道名題受到人們質(zhì)疑的原因，因?yàn)樗宫F(xiàn)的情境不符合實(shí)際。

如果從數(shù)學(xué)的角度來講，問題情境有兩個(gè)用途，一是體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，二是為數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建一個(gè)現(xiàn)實(shí)原型。當(dāng)然兩者能夠兼顧更好。斐波那契數(shù)列中的問題情境，顯然是后者。數(shù)學(xué)家編制這樣一個(gè)問題，是讓解題者感受到，在解決紛繁復(fù)雜的問題時(shí)，如果能找到規(guī)律，就可以根據(jù)規(guī)律進(jìn)行推理。斐波那契數(shù)列的教學(xué)價(jià)值就在于此。

下面是我們?cè)O(shè)計(jì)的教學(xué)過程。

1.理解題意，獨(dú)立解答。

教師談話引入題目，請(qǐng)學(xué)生讀題，說說題目的意思。然后請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立解答。

2.交流方法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

一般學(xué)生會(huì)有以下三種基本思路。

（1）圖示法

我們用◎表示一對(duì)大兔，用○表示一對(duì)小兔，逐月統(tǒng)計(jì)兔子的對(duì)數(shù)：

第1月底

第2月底

第3月底

第4月底

第5月底

第6月

……

（2）列表法

（3）列舉法

一月，只有1對(duì)小兔，大兔為0對(duì)，合計(jì)1對(duì)；

二月，1對(duì)小兔長成1對(duì)大兔，小兔變?yōu)?對(duì)，大兔1對(duì)，合計(jì)1對(duì)；

依此類推：

三月：小兔有1對(duì)；大兔有1對(duì)；合計(jì)1+1=2（對(duì)）；

……

不論用哪一種方法，只要花時(shí)間，學(xué)生均可以推導(dǎo)出最后的結(jié)果。但這并不是本題在小學(xué)教學(xué)中的真正用意。本題的真實(shí)用意應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，能從前幾個(gè)月結(jié)果之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

因此，可以讓學(xué)生解決到中途，或有個(gè)別學(xué)生解答出結(jié)果時(shí)，讓學(xué)生停一停，反思自己已知的結(jié)果，從中找一找規(guī)律。如果發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，可以根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)出下一個(gè)結(jié)果，并用原來的方法進(jìn)行驗(yàn)證。這是解決問題時(shí)很重要的思維習(xí)慣。通過觀察學(xué)生找到了規(guī)律：

第三個(gè)數(shù)起，后一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和。即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……

為了紀(jì)念這位數(shù)學(xué)家，這個(gè)數(shù)列后來便以斐波那契的名字命名，叫作斐波那契數(shù)列。數(shù)列的每一項(xiàng)，則稱為“斐波那契數(shù)”。第十二位的斐波那契數(shù)，即為一對(duì)剛出生的小兔，一年內(nèi)所能繁殖的兔子的對(duì)數(shù)，這個(gè)數(shù)為144。前面的幾個(gè)斐波那契數(shù)分別是1，1，2，3，5，8，13，21，34……

3.聯(lián)系自然，感受神奇。

接著可以結(jié)合圖示向?qū)W生展示自然界中的斐波那契數(shù)。

斐波那契數(shù)列在它誕生的近800年間，由于它的神奇，引來無數(shù)的“斐迷”，驅(qū)使他們不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究它，更有人從自然領(lǐng)域、化學(xué)領(lǐng)域和科學(xué)領(lǐng)域去探究它的奇妙。

綜合以上的思考與教學(xué)，當(dāng)我們?cè)谥笇?dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外閱讀或進(jìn)行數(shù)學(xué)課外延伸教學(xué)的時(shí)候，不要只是從知識(shí)的層面來看某些內(nèi)容可用還是不可用，而要深入到其中的思維層面，看其是否能促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

（浙江省杭州市蕭山區(qū)所前二小 311200）