數(shù)學(xué)拓展課程

夏小林 胡慧良

一、故事導(dǎo)入，明確規(guī)則

（一）講故事，激興趣

傳說，在古老的吉帕特王國(guó)，住著一位智慧而好客的國(guó)王，經(jīng)常有人慕名來拜訪他。他擁有60座城堡，當(dāng)有人來拜訪他時(shí)，國(guó)王會(huì)拿出一塊寫滿數(shù)字的石板，上面是個(gè)數(shù)陣，來訪者按照國(guó)王的要求，圈出4個(gè)數(shù)字，加起來和是幾，就可以住進(jìn)幾號(hào)城堡。當(dāng)然最尊貴的客人，國(guó)王會(huì)在他居住的33號(hào)城堡以國(guó)禮隆重接見！國(guó)王擁有一種“超能力”——看一眼就知道是好人還是壞人！如果是壞人，國(guó)王總有辦法讓他住進(jìn)那間待著毒蛇的城堡，讓他被毒蛇吃掉。

一天，又有人來拜訪國(guó)王，國(guó)王看了他一眼，照舊拿出一塊石板——你面前，就是這塊石板。游戲規(guī)則是這樣的：（師示范）任意圈一個(gè)數(shù)，比如圈5，去掉（“X”掉）這個(gè)數(shù)所在的行、這個(gè)數(shù)所在的列中的其他六個(gè)數(shù)。（板書規(guī)則：每列、每行只留一個(gè)數(shù)）；請(qǐng)你再從剩下的數(shù)中任意圈一個(gè)數(shù)，然后同樣“X”掉同一列、同一行的其他數(shù)，數(shù)數(shù)還剩幾個(gè)數(shù)？（4個(gè)）；游戲繼續(xù)，（再來一次）現(xiàn)在還剩幾個(gè)數(shù)？（1個(gè)）把剩下的數(shù)也圈起來，一共圈了幾個(gè)數(shù)，請(qǐng)你把圈的數(shù)加起來！和等于幾，就住進(jìn)幾號(hào)城堡。

反饋，結(jié)果是28，我們一起來看，28號(hào)城堡住著——毒蛇（PPT顯示），說明這個(gè)人是——壞人。對(duì)，這塊石板是國(guó)王專門給壞人準(zhǔn)備的！

（二）引發(fā)好奇，產(chǎn)生疑問

為什么我們?nèi)Φ臄?shù)不一樣，結(jié)果卻都是28。說明這個(gè)數(shù)陣隱藏著秘密（揭題：神秘的數(shù)陣）。觀察這個(gè)數(shù)陣中的數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（設(shè)計(jì)意圖：在聽故事的過程中，明確規(guī)則。以故事的形式，讓學(xué)生進(jìn)入設(shè)置的情境中，在操作體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引發(fā)好奇，產(chǎn)生疑問：為什么我們?nèi)Φ臄?shù)不一樣，結(jié)果卻都是28？激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，最大限度激活學(xué)生的思維。數(shù)學(xué)故事中原來呈現(xiàn)的材料是每一行都是連續(xù)自然數(shù)的“5×5”的數(shù)陣，我們認(rèn)為這對(duì)初次接觸數(shù)陣的學(xué)生來說挑戰(zhàn)性太大，所以調(diào)整成“4×4”的數(shù)陣來降低難度。另外，通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)每一行都是連續(xù)自然數(shù)的“有序”呈現(xiàn)方式，對(duì)學(xué)生干擾極大，會(huì)形成強(qiáng)刺激誤導(dǎo)學(xué)生觀察本質(zhì)規(guī)律。我們及時(shí)調(diào)整成相對(duì)“無序”的數(shù)陣，這樣的變化，收到了預(yù)期的效果，“逼著”學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)一串?dāng)?shù)比較不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，走向新經(jīng)驗(yàn)兩串?dāng)?shù)比較發(fā)現(xiàn)規(guī)律，習(xí)得觀察數(shù)陣的方法。筆者對(duì)故事背景進(jìn)行了改編，賦予了國(guó)王“正能量”。）

二、觀察抽象，探索規(guī)律

（一）交流反饋，引導(dǎo)突破

生：對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和是28——（師引導(dǎo)觀察方法：斜看）

師：生活中，除了斜看，我們還可以……（ 引導(dǎo)：可以橫著看，可以斜著看，還可以……）

生：相差1，3，5。

師：能說得更具體嗎？（觀察到同一行）

生：豎著看，都相差1。

師：你上來指給大家看行嗎？

師：（板書：豎著）列與列比，其他幾列呢，誰也能像他這樣比？（同桌說）

生：第1列和第2列也相差……

師：為了方便觀察，我們規(guī)定把最小的那一列（6，5，0，8）叫作標(biāo)準(zhǔn)列。如果以第3列為標(biāo)準(zhǔn)，第4列的每個(gè)數(shù)字都比第4列對(duì)應(yīng)的數(shù)大1。（節(jié)奏放緩，保證每一個(gè)孩子都有體驗(yàn)）

師：誰還能說？（師動(dòng)作引導(dǎo)，請(qǐng)生模仿說。板書：1，3，5）

（設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生已有的觀察經(jīng)驗(yàn)為認(rèn)知基礎(chǔ)，當(dāng)學(xué)生觀察數(shù)陣有所得時(shí)，教師適時(shí)引導(dǎo)到觀察方法上，從斜看想到橫看、豎看。觀察方法有了，但學(xué)生發(fā)現(xiàn)憑借已有的經(jīng)驗(yàn)還是不能發(fā)現(xiàn)秘密，因?yàn)榇饲皩W(xué)生只接觸過數(shù)列，即通過觀察或計(jì)算發(fā)現(xiàn)一串?dāng)?shù)的“線性”規(guī)律，而數(shù)陣觀察的是“面”，從“線”到“面”是質(zhì)的飛躍。如何突破呢？在學(xué)生嘗試的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)：老師看一列找不到規(guī)律，那還能再怎么看？引導(dǎo)實(shí)現(xiàn)從一串?dāng)?shù)比較到兩串?dāng)?shù)比較，數(shù)陣的本質(zhì)規(guī)律逐步清晰。）

（二）提供支架，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)

（1）嘗試用字母表示數(shù)：老師給你們準(zhǔn)備了秘密武器，保證讓我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律一目了然！

引導(dǎo)：如果我們把標(biāo)準(zhǔn)列設(shè)為a，b，c，d，那它右邊的第4列數(shù)該怎么表示？請(qǐng)你寫下來?。ǚ答仯┑?列，第2列呢？（投影課件整體核對(duì)）

（2）感悟，生成：我們剛才發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，在字母數(shù)陣中看得出嗎，在哪？（生：指認(rèn)，再練說）看著字母數(shù)陣，現(xiàn)在你有什么新發(fā)現(xiàn)？（等待，引思）

（3）驗(yàn)證：看來這個(gè)問題有難度，請(qǐng)按照剛才的方法，圈一圈，算一算。完成后可以和同桌先交流一下?？纯春湍愕牟孪胍粯訂幔?/p>

（預(yù)設(shè)：每一組算出來的結(jié)果整理后，只有唯一的結(jié)果：a+b+c+d+1+3+5）

追問：你能分別從數(shù)陣中找到它們嗎？a，b，c，d分別是誰？1，3，5呢？它們的和是（ ）？板書：28=22+6 標(biāo)準(zhǔn)列和+列差和

（4）小結(jié)：同學(xué)們，看著和的結(jié)果，現(xiàn)在知道為什么一定進(jìn)入28號(hào)城堡？

預(yù)設(shè)：因?yàn)閍，b，c，d（標(biāo)準(zhǔn)列）的和等于19（固定），列差的和也固定為9，這兩部分加起來，就只會(huì)等于28了。

（板書：a+b+c+d下劃線等于19，1+3+5下劃線等于9）

師：國(guó)王牛不牛？你們也很牛！

（設(shè)計(jì)意圖：如果說數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀的話，那么學(xué)生觀察與思考，也需要行走在“直觀”與“抽象”之間。當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，想到用字母去表征，本身就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)；退一步講，如果學(xué)會(huì)用字母描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，也是重要的經(jīng)驗(yàn)積累，學(xué)生能進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)的神奇與魅力。本環(huán)節(jié)分兩個(gè)層次：一是能正確用字母表達(dá)數(shù)陣，使數(shù)陣的規(guī)律顯性化；二是能通過觀察字母數(shù)陣，提出猜想，并加以驗(yàn)證，最終解開故事的謎團(tuán)。）

（三）設(shè)計(jì)數(shù)陣，方法內(nèi)化

師：標(biāo)準(zhǔn)列的和與列差和共同決定了進(jìn)入城堡的秘密！那我們就把這串?dāng)?shù)，叫作這個(gè)數(shù)陣的“密碼”。（板書：編陣密碼）如果我們一起“穿越”到吉帕特王國(guó)，你希望國(guó)王在哪座城堡會(huì)見你？

生：33號(hào)。（故事里有伏筆，這是國(guó)王接見最尊貴的客人）

師：如果請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)一定進(jìn)入（33號(hào)）城堡的數(shù)陣，編陣的密碼打算怎么編？（先思，后動(dòng)）

生嘗試設(shè)計(jì)一定進(jìn)入33號(hào)城堡的數(shù)陣。

師生反饋交流：結(jié)合學(xué)生作品，解讀編陣密碼。

層次一：標(biāo)準(zhǔn)列的和是24（改變），列差和是9（不變）。（適時(shí)板書）或者標(biāo)準(zhǔn)列的和改變 ，列差和不變。

層次二：標(biāo)準(zhǔn)列的和與列差和，同時(shí)改變。

師：這樣的數(shù)陣也一定進(jìn)入33號(hào)城堡，雖然兩部分都改變了，但和不變。

師：還可以怎么變？（整行交換，整列交換）

（設(shè)計(jì)意圖：模仿是人與生俱來的能力，無論是在兒童階段還是在成年階段，人都會(huì)有意識(shí)無意識(shí)地進(jìn)行模仿，通過模仿達(dá)到“會(huì)”，再往前走一步就是“創(chuàng)”。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)飛躍，學(xué)生需要有豐富的積淀，深刻的感悟。從“重知識(shí)”到“重方法”的轉(zhuǎn)變，促成的是學(xué)生對(duì)數(shù)陣模型的結(jié)構(gòu)化理解，對(duì)數(shù)陣規(guī)律的本質(zhì)把握。）

三、溝通聯(lián)系，遷移方法

師：剛才，我們是通過豎著觀察，列與列上的每一個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，學(xué)會(huì)了研究神秘的數(shù)陣方法。課的開始就有同學(xué)提到橫著觀察，其實(shí)這個(gè)數(shù)陣也可以橫著比較，橫看，就是——行與行比，你會(huì)用今天學(xué)到的方法研究數(shù)陣嗎？

四、總結(jié)梳理，拓展延伸

師：今天我們學(xué)習(xí)了神秘的數(shù)陣，你學(xué)會(huì)了用什么方法來觀察數(shù)陣？希望同學(xué)們學(xué)好數(shù)學(xué)，成為吉帕特國(guó)王這樣的“智者”！

在數(shù)學(xué)拓展性課程的實(shí)踐與探索的道路上，我們且行且思。筆者認(rèn)為在拓展材料的選擇上，力求體現(xiàn)趣味性，牢牢吸引住學(xué)生，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)欲望；拓展課的實(shí)施，體現(xiàn)活動(dòng)性，給學(xué)生創(chuàng)造足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程，讓“做”與“思”結(jié)合，激發(fā)學(xué)生思維（創(chuàng)造性）；當(dāng)然，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)拓展課不可或缺的當(dāng)然是思維性，教學(xué)目標(biāo)指向于基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。讓我們共同期待：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣越來越濃厚；學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察生活，用數(shù)學(xué)方法去分析周圍的現(xiàn)象；學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不斷提升。

（浙江省嘉興市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 314000 浙江省嘉興市南湖區(qū)教師研訓(xùn)中心 314000）