基于張量Tucker分解的發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷

許小偉 沈 琪 嚴(yán)運(yùn)兵 吳 強(qiáng) 張 楠

1.武漢科技大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院，武漢， 430081 2.純電動(dòng)汽車動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)計(jì)與測試湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，襄陽，441053

0 引言

在傳統(tǒng)的發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷與預(yù)測中，監(jiān)測的信號往往表現(xiàn)為時(shí)域或頻域上的一維信號，影響因素只有時(shí)間或頻率，而實(shí)際上發(fā)動(dòng)機(jī)故障影響因素較多。復(fù)雜的高維數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)特征提取過程中，常利用波形分析法提取波動(dòng)率變化最大值、波動(dòng)率做功峰值、工倍頻發(fā)火能量比等參數(shù)，或者采用小波包重構(gòu)與分解提取信號的能量特征值，并作為特征參數(shù)，以向量的模式作為模型的輸入[1]。這樣處理解決了高維數(shù)據(jù)的模型輸入問題，但會(huì)導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)之間的自然結(jié)構(gòu)信息丟失，多種模態(tài)特征之間的時(shí)序關(guān)聯(lián)共生性遭到破壞，產(chǎn)生的誤差也可能導(dǎo)致原始數(shù)據(jù)最有用的信息丟失，從而對后續(xù)的故障診斷造成影響[2]。

實(shí)際上發(fā)動(dòng)機(jī)各個(gè)信號之間并不是相互獨(dú)立的，眾多信號相互干擾較大且?guī)в袕?qiáng)烈的非線性和復(fù)雜耦合的特征。眾多信號源在數(shù)據(jù)分析中可以被表示成多維數(shù)組，即張量(tensor)。張量作為高維數(shù)據(jù)最自然的表示方式，不僅能夠最大程度保持?jǐn)?shù)據(jù)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)特性，而且在實(shí)際問題中表示事物時(shí)更能接近事物的本質(zhì)屬性，這樣得到的模型也能更加準(zhǔn)確[3]。張量Tucker分解是高階的主成分分析方法，能夠挖掘出張量的潛在結(jié)構(gòu)，分解得到的核心張量以低維子空間的形式存儲原始張量，去除冗余信息后可以更為準(zhǔn)確地表達(dá)原始張量。張量及張量分解理論目前被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮、模式識別、圖像處理等領(lǐng)域[4-6]，而張量分解應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷還鮮見報(bào)道。

本文提出一種在張量空間構(gòu)建發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本的方法，并基于張量Tucker分解和交替投影的思想，設(shè)計(jì)了一種高階奇異值分解[7](high order singular value decomposition，HOSVD)和高階正交迭代[8](high-order orthogonal iteration，HOOI)的聯(lián)立分解算法，對構(gòu)建的張量型樣本進(jìn)行低階近似處理，得到發(fā)動(dòng)機(jī)監(jiān)測信號的數(shù)據(jù)特征；然后利用分類器進(jìn)行訓(xùn)練和測試，對發(fā)動(dòng)機(jī)單缸失火和軸系不對中進(jìn)行故障診斷，證實(shí)了該張量構(gòu)建方法和分解算法的有效性。

1 張量理論基礎(chǔ)

1.1 張量基本概念及記號

定義1 張量與張量空間。對于向量空間V(1)，V(2)，…，V(N)，定義外積(或稱張量積，記作?)空間V(1)?V(2)?…?V(N)為包含所有v(1)?v(2)?…?v(N)的線性組合的向量空間∑kv(1)?v(2)?…?v(N)，其中，v(1)，v(2)，…，v(N)分別為V(1)，V(2)，…，V(N)中的元素。其中外積?應(yīng)滿足多線性,即

(1)

(2)

……

(3)

因此定義此空間中的元素X∈V(1)?V(2)?…?V(N)為N階張量。

定義2 張量的階。張量的階定義為形成所屬張量空間的向量空間的個(gè)數(shù)。從代數(shù)角度看，張量是向量在高維空間的拓展，零階張量為數(shù)量x，一階張量為向量X=(xi)，二階張量為矩陣X=[xij]，三階張量即是由若干個(gè)同維矩陣疊放在一起，形成的一個(gè)立方體式的數(shù)組X=[xijk]，更高階的張量則無法可視化描述。張量的每一階可以看作是一個(gè)影響因子，N階張量的每一個(gè)元素都可以看成是N個(gè)影響因子相互作用的結(jié)果。

定義3 張量的纖維。張量的纖維定義為只保留張量的一個(gè)下標(biāo)可變，而固定其他所有下標(biāo)得到的一路陣列。一個(gè)三階張量三個(gè)方向的纖維分別為模-1纖維(列纖維)X:jκ、模-2纖維(行纖維)Xi:κ、模-3纖維(管纖維)Xij:。

定義4 張量的切片。張量的切片定義為保留張量的兩個(gè)下標(biāo)可變而固定一個(gè)下標(biāo)得到的一系列矩陣。一個(gè)三階張量三個(gè)方向的切片分別為水平切片Xi::、側(cè)身切片X:j:和正面切片X::k，正面切片又簡記為Xk[3，9]。

1.2 張量運(yùn)算

定義5 張量的范數(shù)。張量范數(shù)的定義與矩陣范數(shù)的定義相似，定義為把張量空間映射到實(shí)數(shù)域的一個(gè)函數(shù)，一個(gè)N階張量X∈RI1×I2×…×IN的范數(shù)為

(4)

定義6 張量的矩陣化。張量的矩陣化是將張量中的元素重新排列，得到一個(gè)矩陣的過程。對于一個(gè)N階張量X∈RI1×I2×…×IN，它的模-n矩陣化即重新組織張量的模-n纖維成為一個(gè)矩陣中的行或列，表示為X(n)，張量中的元素xij…k被映射成為矩陣中的元素xij。

定義7 張量的Tucker分解。N階張量X∈RI1×I2×…×IN可以近似表示成一個(gè)核心張量G∈Rg1×g2×…×gN沿每一階乘上一個(gè)矩陣：

X≈G×1A×2A×…×NA=

(5)

其中，1Ak1∈RI1×n1，2Ak2∈RI2×n2，…，NAkN∈RIN×nN被稱為因子矩陣，它們通常是正交的。在向量空間內(nèi)，通常使用矩陣分解的方法來將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換成更易處理的問題，例如矩陣的滿秩分解、正交三角分解、奇異值分解等。在張量空間，同樣可以利用張量Tucker分解的方法，將高維問題轉(zhuǎn)換成低維問題[10-11]。

2 張量構(gòu)建與分解算法

2.1 張量型發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本構(gòu)建方法

在張量空間里構(gòu)建發(fā)動(dòng)機(jī)的狀態(tài)樣本，其中的每一階可以看作是一個(gè)對發(fā)動(dòng)機(jī)的狀態(tài)進(jìn)行影響的因子，張量里的每一個(gè)元素可以看作是各個(gè)影響因子相互作用的結(jié)果。

本文構(gòu)建的發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本為三階張量X∈RI×J×K，第一階表示的影響因子為信號類別，例如各個(gè)部件受到的轉(zhuǎn)矩大小、進(jìn)氣流量、進(jìn)氣壓力、排氣溫度、冷卻水溫、噴油提前角等；第二階表示的影響因子為曲軸轉(zhuǎn)角，即樣本信號隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化；第三階表示的影響因子為轉(zhuǎn)速，即在不同的轉(zhuǎn)速下樣本信號的變化。即完成了一個(gè)“信號類別×曲軸轉(zhuǎn)角×轉(zhuǎn)速”的三階張量型的發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本的構(gòu)建，結(jié)構(gòu)如圖1所示。所構(gòu)建的三階張量型發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本中的每一個(gè)元素xijk(其中，i∈I,j∈J,k∈K)代表了在第k個(gè)轉(zhuǎn)速下、第i度曲軸轉(zhuǎn)角下的第j種信號參數(shù)值。

圖1 三階張量型發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the engine state sample of thethree order tensor

2.2 張量Tucker分解算法

基于張量模式的分解算法能夠?qū)崿F(xiàn)對高維張量數(shù)據(jù)的有效逼近，高階張量的Tucker分解可以看作是矩陣的奇異值分解以及主成分分析在高階上的推廣。在張量Tucker分解中，其本質(zhì)是用一個(gè)核張量和若干正交的投影矩陣的積去近似原始張量，核心張量保留了原張量最主要的信息，在每一階上都比原張量小。以構(gòu)建的三階張量X∈RI×J×K為例，張量Tucker分解可通過求解‖X-G×U1×U2×U2‖的最小值得到最優(yōu)解[12]。由張量Tucker分解公式和張量范數(shù)性質(zhì)，可將該最小值問題等價(jià)為最大值問題：

(6)

將Tucker分解寫成矩陣的形式，即

(7)

其中，因子矩陣U1、U2、U3分別為X(1)、X(2)、X(3)的前L、M、N個(gè)左奇異向量構(gòu)成的矩陣。

如果分別對每個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本進(jìn)行張量Tucker分解，則各個(gè)樣本分解后所得到的投影因子均不相同，即投影之后的核心張量屬于不同的表征空間，這樣導(dǎo)致后續(xù)的分類過程無法進(jìn)行。因此，為了使投影后的核心張量屬于同一表征空間，需要尋找一組相同的投影因子。HOSVD算法和HOOI算法是兩種常用的張量Tucker分解算法，HOSVD的基本思想是利用矩陣分析中的奇異值分解算法對張量中的每一個(gè)切片進(jìn)行一次分解，采用低階近似處理，過濾掉某些較小的奇異值；HOOI的基本思想是使用交替投影的方法多次迭代求得最優(yōu)結(jié)果。HOSVD的結(jié)果不能保證得到一個(gè)較好的近似值，但可以作為HOOI的一個(gè)很好的初始解[13]，故可使用HOSVD張量Tucker分解算法對每個(gè)樣本進(jìn)行一次求解計(jì)算，其結(jié)果作為HOOI張量Tucker分解算法的輸入，再使用HOOI算法完成分解。圖2展示了張量分解算法流程。

2.3 發(fā)動(dòng)機(jī)故障診斷流程

由于信號類別量綱的不同，需要先對每一個(gè)類別的信號數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，然后構(gòu)建張量型樣本，接下來使用HOSVD-HOOI張量Tucker分解算法得到核心張量，核心張量在每一階上的尺寸均小于原始張量的尺寸，最后對每個(gè)核心張量進(jìn)行向量化，得到分類器的輸入。隨機(jī)選取部分樣本作為訓(xùn)練集，分別采用網(wǎng)格參數(shù)優(yōu)化法[14]、遺傳算法[15]、粒子群算法[16]對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。訓(xùn)練完畢后，將剩余樣本作為測試集，對故障進(jìn)行預(yù)測。基于張量Tucker分解的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)據(jù)特征提取及診斷流程如圖3所示。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 訓(xùn)練與測試樣本

圖4所示為康明斯4B3.9-G2型發(fā)動(dòng)機(jī)在轉(zhuǎn)速為1500 r/min時(shí)正常工作、單缸失火故障、軸系不對中故障三種狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)，分別描述了曲軸端轉(zhuǎn)矩、飛輪慣性力矩、曲柄銷處的連桿力、連桿軸向力四種參數(shù)隨曲軸轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系，故構(gòu)建的三階發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本第一階大小為4維。實(shí)驗(yàn)中，將曲軸轉(zhuǎn)角設(shè)置為一個(gè)周期內(nèi)的 0°～720°，作為仿真時(shí)長，采樣間隔為1°，故構(gòu)建的三階發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本第二階大小為720維；轉(zhuǎn)速設(shè)置為1500～3000 r/min，采樣間隔為50 r/min，故第三階大小為31維。即構(gòu)建的張量樣本X∈R4×720×31，每一個(gè)張量樣本中有4×720×31個(gè)數(shù)據(jù)。總共仿真48×31次，得到48個(gè)樣本。

圖2 HOSVD-HOOI張量Tucker分解算法流程Fig.2 Algorithm flow of the HOSVD-HOOI tensor Tucker decomposition

圖3 診斷流程圖Fig.3 Flow chart of diagnosis

(a)正常工作時(shí)曲軸端轉(zhuǎn)矩(b) 單缸失火時(shí)曲軸端轉(zhuǎn)矩

(c)軸系不對中時(shí)曲軸端轉(zhuǎn)矩(d)正常工作時(shí)飛輪慣性力矩

(e)單缸失火時(shí)飛輪慣性力矩(f)軸系不對中時(shí)飛輪慣性力矩

(g)正常工作時(shí)曲柄銷連桿力(h)單缸失火時(shí)曲柄銷連桿力

(i)軸系不對中時(shí)曲柄銷連桿力(j)正常工作時(shí)連桿軸向力

(k)單缸失火時(shí)連桿軸向力(l)軸系不對中時(shí)連桿軸向力圖4 實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)Fig.4 Experimental sample data

將4×31×48個(gè)長度為720的向量形式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)加載至MATLAB中，接下來取某一個(gè)轉(zhuǎn)速下得到的四個(gè)信號數(shù)據(jù)，將曲軸端轉(zhuǎn)矩、飛輪慣性力矩、曲柄銷處的連桿力和連桿軸向力依次存儲為第一至第四行，得到一個(gè)大小為4×720的矩陣。按照此方法，將每一個(gè)轉(zhuǎn)速下得到的信號數(shù)據(jù)存儲為矩陣，最終得到31個(gè)大小為4×720的矩陣。由定義4可知該矩陣即為張量的正面切片X::k。將正面切片矩陣歸一化處理后，接下來創(chuàng)建大小為4×720×31的單位張量，并將31個(gè)大小為4×720的矩陣依次賦值給該單位張量的正面切片，從而完成一個(gè)三階張量型發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本的構(gòu)建。按照此方法完成48個(gè)張量型發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本的構(gòu)建，隨機(jī)選取24個(gè)樣本作為訓(xùn)練集，剩余24個(gè)樣本作為測試集，用于后續(xù)的算法驗(yàn)證。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證張量型發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本構(gòu)建方法和HOSVD-HOOI張量Tucker分解算法的有效性，實(shí)驗(yàn)首先使用張量Tucker分解算法進(jìn)行數(shù)據(jù)特征提取，并分別采用網(wǎng)格參數(shù)優(yōu)化法、遺傳算法、粒子群算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到三種優(yōu)化算法下的預(yù)測準(zhǔn)確率和分類模型學(xué)習(xí)時(shí)間；接下來不使用Tucker分解算法，直接將向量型樣本數(shù)據(jù)輸入分類器，同時(shí)也采用上述三種參數(shù)尋優(yōu)法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，得到三種優(yōu)化算法下的預(yù)測準(zhǔn)確率和分類模型學(xué)習(xí)時(shí)間。

將發(fā)動(dòng)機(jī)正常工作、單缸失火、軸系不對中三種狀態(tài)分別用類別標(biāo)簽0、1、2表示，圖5給出了采用張量Tucker分解進(jìn)行特征提取，并使用遺傳算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)得到的分類結(jié)果：正常工作狀態(tài)8個(gè)樣本全部正確分類；單缸失火故障有7個(gè)樣本被正確分類，1個(gè)樣本被誤分為軸系不對中故障；軸系不對中故障有7個(gè)樣本被正確分類，1個(gè)樣本被誤分為單缸失火故障。24個(gè)測試樣本正確分類22個(gè)，預(yù)測準(zhǔn)確率為91.67%。圖6給出了未進(jìn)行張量Tucker分解提取特征，使用遺傳算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)時(shí)得到分類結(jié)果：正常工作狀態(tài)8個(gè)樣本全部正確分類；單缸失火故障有7個(gè)樣本被正確分類，1個(gè)樣本被誤分為軸系不對中故障；軸系不對中故障有6個(gè)樣本被正確分類，2個(gè)樣本被誤分為單缸失火故障。24個(gè)測試樣本正確分類21個(gè)，預(yù)測準(zhǔn)確率為87.50%。

圖5 張量Tucker分解后的分類結(jié)果Fig.5 Classification results after tensor Tucker decomposition

圖6 未進(jìn)行張量Tucker分解后的分類結(jié)果Fig.6 Classification resultswithout tensor Tucker decomposition

將6次實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制成表1，由表1可以看出，所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)測準(zhǔn)確率均達(dá)到了80%以上，滿足工程應(yīng)用的需求。對比三種參數(shù)優(yōu)化算法，使用張量Tucker分解算法進(jìn)行數(shù)據(jù)特征提取后，網(wǎng)格尋優(yōu)法得到的分類準(zhǔn)確率最高，粒子群算法次之，遺傳算法最低；未進(jìn)行特征提取、直接將向量型樣本數(shù)據(jù)輸入分類器后，網(wǎng)格尋優(yōu)法得到的分類準(zhǔn)確率最高，遺傳算法次之，粒子群算法最低。無論是否進(jìn)行特征提取，使用遺傳算法的模型學(xué)習(xí)時(shí)間最短，粒子群算法次之，網(wǎng)格尋優(yōu)法最長。且基于張量Tucker分解的數(shù)據(jù)特征提取方法的預(yù)測準(zhǔn)確率均高于未進(jìn)行特征提取得到的預(yù)測準(zhǔn)確率，且前者學(xué)習(xí)時(shí)間均短于后者，實(shí)用性更強(qiáng)。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

(1)通過采集發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸端轉(zhuǎn)矩，飛輪慣性力矩等信號參數(shù)，構(gòu)建了“信號類別×曲軸轉(zhuǎn)角×轉(zhuǎn)速”的三階張量形式的發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)樣本，歸一化處理后，基于交替投影的思想，使用HOSVD張量Tucker分解和HOOI張量Tucker分解的聯(lián)立求解算法，將高維張量映射成尺寸更小的核心張量。

(2)分別采用網(wǎng)格參數(shù)優(yōu)化法、遺傳算法、粒子群算法對分類模型中的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，以預(yù)測準(zhǔn)確率和學(xué)習(xí)時(shí)間作為評價(jià)指標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明使用網(wǎng)格尋優(yōu)法得到的預(yù)測準(zhǔn)確率最高，使用遺傳算法的模型學(xué)習(xí)時(shí)間最短。

(3)將使用張量Tucker分解后得到核心張量向量化后輸入分類器進(jìn)行訓(xùn)練，并與未進(jìn)行特征提取、直接將向量型樣本數(shù)據(jù)輸入分類器訓(xùn)練作比較。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明基于張量Tucker分解的發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)據(jù)特征提取方法進(jìn)行故障診斷有著較高的預(yù)測準(zhǔn)確率和較短的分類模型學(xué)習(xí)時(shí)間，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

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