簡支曲線梁橋中預(yù)應(yīng)力引起扭矩的計(jì)算分析

董 鵬

（上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院（集團(tuán)）第六設(shè)計(jì)院有限公司,安徽 合肥 230001）

0 引言

近年來，在大型立交設(shè)計(jì)中，對于空間的要求越來越嚴(yán)格，因此大跨度的預(yù)應(yīng)力混凝土曲線梁橋得到了更多的應(yīng)用。曲線梁在預(yù)應(yīng)力的作用下，受力復(fù)雜，且具有彎扭耦合效應(yīng)，預(yù)應(yīng)力的空間分析存在一定的困難[1]。目前，學(xué)術(shù)上的研究熱點(diǎn)是預(yù)應(yīng)力的等效荷載和曲線梁橋的求解理論，對預(yù)應(yīng)力的影響僅僅進(jìn)行了定性分析。本文將以簡支曲線梁為研究對象，采用經(jīng)典的力學(xué)分析，推導(dǎo)出預(yù)應(yīng)力引起的扭矩計(jì)算公式，為立交橋的設(shè)計(jì)提供參考和依據(jù)。

1 扭矩公式的推導(dǎo)

1.1 預(yù)應(yīng)力的等效荷載

預(yù)應(yīng)力對曲線梁橋的作用效應(yīng)可以用6個(gè)個(gè)均布荷載來等效，分別是徑向，切向和豎向3個(gè)方向上的均布力和均布力矩[2]。在實(shí)際的設(shè)計(jì)中，預(yù)應(yīng)力筋與截面剪心的橫向相對位置一般是不變的，每個(gè)腹板的配束也是大致相同的，因此，6個(gè)均布荷載可以簡化為3個(gè)，即沿著豎向和徑向的均布力以及徑向均布力引起的均布扭矩，見式（1）～式（3）。

式中：WN、WM為分別代表豎向和徑向的均布力；QL為指向切向的均布力矩；F為預(yù)應(yīng)力的張拉力；R為曲線梁橋的曲率半徑；h為預(yù)應(yīng)力與橫斷面剪切中心的水平距離；z為預(yù)應(yīng)力與橫斷面剪切中心的垂直距離。

預(yù)應(yīng)力的豎向均布力WN可以抵抗部分外荷載，徑向均布力WM則會產(chǎn)生不利于結(jié)構(gòu)受力的扭矩，但是WN因彎扭耦合作用能減小一部分扭矩。從式（3）可知，預(yù)應(yīng)力引起的扭矩與z有關(guān)，因此首先求解z與截面位置的關(guān)系。

1.2 預(yù)應(yīng)力筋線形方程的確定

實(shí)際設(shè)計(jì)中，預(yù)應(yīng)力的線形通常有兩種基本形式，一種是不同斜率的直線用圓曲線內(nèi)插相接，這種線形簡潔實(shí)用，應(yīng)用廣泛；另外一種是二次拋物線，它有著固定不變的曲率，在連續(xù)體系結(jié)構(gòu)中應(yīng)用較多。本文以二次拋物線線型為研究對象，推導(dǎo)預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的扭矩公式。如圖1所示，x表示的是各截面剪切中心的連線。

圖1 立面布置圖

經(jīng)計(jì)算得到z與截面位置x的關(guān)系式為：

如圖2所示，x與az的關(guān)系為：

由式（4）、式（5）可得 z與圓心角 az的關(guān)系

式中：αz為曲線梁橋x處所對應(yīng)的圓心角，rad；L為曲線梁橋的橋長，m；e0、e為梁端及跨中預(yù)應(yīng)力筋與剪心的豎向距離，m。

1.3 扭矩公式的推導(dǎo)

立交橋的橋長遠(yuǎn)大于橋?qū)?，適用于單純扭轉(zhuǎn)理論，采用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法可以得到精確的解析解[3]。簡支曲線梁橋主要采用的是抗扭雙支座，是一次超靜定結(jié)構(gòu)，見圖2，超靜定曲線梁橋的力法方程為：

圖2 簡支曲線梁橋示意圖

式中：δBB為單位扭矩TB=1作用下基本體系在支座B處的扭角；TB為簡支梁橋支座B處的扭矩；ΔBT為預(yù)應(yīng)力引起的扭矩在支座B處引起的扭角。

求解力法方程得到的扭矩計(jì)算公式為：

1.4 扭矩公式的簡化

上述推導(dǎo)了預(yù)應(yīng)力引起扭矩的計(jì)算公式，但是計(jì)算過程比較復(fù)雜，為了更好的應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)，需要對公式進(jìn)行簡化。將預(yù)應(yīng)力引起的扭矩等效換算成均布扭矩，就可以利用《曲線梁》[2]里的計(jì)算公式，進(jìn)一步的簡化計(jì)算公式，計(jì)算簡圖見圖3。

圖3 預(yù)應(yīng)力引起扭矩的計(jì)算模型

則預(yù)應(yīng)力徑向力的等效均布扭矩為：

曲線梁橋中豎向均布力和均布扭矩作用下的扭矩公式[2]為：

由式（6）可得

將其化入到式（1），得二次拋物線形的豎向均布荷載為：

將式（11）代入到式（9），得到豎向荷載因彎扭耦合引起的扭矩：

結(jié)合式（8）、式（12）得到預(yù)應(yīng)力實(shí)際引起的等效均布扭矩：

式（13）代入到式（10）可得預(yù)應(yīng)力引起的扭矩計(jì)算公式。

2 公式驗(yàn)證

采用Midas/Civil空間有限元軟件，建立一個(gè)實(shí)際模型，為了簡化計(jì)算，將實(shí)際模型中的鋼束簡化為2根對稱布置的預(yù)應(yīng)力筋進(jìn)行分析，對比兩種情況下預(yù)應(yīng)力引起的扭矩值，結(jié)果見表1。

從表1可以看出，軟件值與公式值的誤差最大為3.8%，均不超過5%，滿足工程實(shí)際的需要。而且橋梁的長寬比越大，結(jié)果就越精確。根據(jù)曲線梁橋的受力特點(diǎn)，預(yù)應(yīng)力作用下的跨中扭矩為0，故不再與軟件對比，公式的計(jì)算值為0。

3 結(jié)語

根據(jù)上述研究，可得以下認(rèn)識：

（1）簡化后的扭矩公式滿足工程設(shè)計(jì)上的需要，可以廣泛的用于分析預(yù)應(yīng)力對簡支曲線梁橋扭矩的影響。

表1 軟件值與公式值的對比

（2）公式主要用于分析橋長遠(yuǎn)大于橋?qū)捛闆r下的簡支曲線梁橋，一般認(rèn)為長寬比至少大于4。

（3）對于直線與圓曲線相結(jié)合的線形，可以分別建立線形方程，按照式（3）直接積分計(jì)算。

參考文獻(xiàn):

[1]邵容光,夏淦.混凝土彎梁橋[M].北京:人民交通出版社,1996.

[2]任茶仙,竺潤祥.連續(xù)曲線箱梁預(yù)應(yīng)力效應(yīng)分析[J].工程力學(xué),2000(4):140-141.

[3]姚玲森.曲線梁[M].北京:人民交通出版社,1989.