無限滯后測度泛函微分方程解的有界性

李寶麟, 王云鳳

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

1 預(yù)備知識

文獻[1]介紹了一類新的方程,無限滯后測度泛函微分方程,并且證明了在一定條件下無限滯后測度泛函微分方程與廣義常微分方程的等價關(guān)系.文獻[2]研究了無限滯后測度泛函微分方程解對參數(shù)的連續(xù)依賴性;文獻[3]建立了廣義常微分方程新的有界性定理,并且獲得了測度微分方程和時間尺度上的動力方程的解的有界性定理.

本文考慮無限滯后測度泛函微分方程解的有界性

Dy=f(yt,t)Dg,

(1)

其中Dy和Dg分別表示函數(shù)y和g的分布導(dǎo)數(shù).在文獻[4]中,方程(1)等價積分方程

(2)

其中,y是取值在Rn上的函數(shù),ys:(-∞,0]→Rn,ys(τ)=y(s+τ)表示滯后的長度,方程(2)右端是關(guān)于不減函數(shù)g的Kurzweil-Henstock積分,g:[t0,+∞)→R為不減函數(shù),

f:P×[t0,+∞)→Rn,

其中

P={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)}?H0,
H0?G((-∞,0],Rn).

H0是Banach空間,G((-∞,0],Rn)是所有正則函數(shù)f的集合,f:(-∞,0]→Rn.無限滯后測度泛函微分方程滿足的相空間H0?G((-∞,0],Rn)是線性空間,其中的范數(shù)為‖·‖,假設(shè)線性空間H0滿足下列條件:

(H1)H0是完備的；

(H2) 如果y∈H0且t<0,則yt∈H0；

(H3) 存在有界函數(shù)k1:(-∞,0]→R+使得如果y∈H0且t≤0,則

‖y(t)‖≤k1(t)‖y‖；

(H4) 存在一個函數(shù)k2:(0,+∞)→[1,+∞)使得如果σ>0且y∈H0,t∈[-σ,0],則

‖y‖≤k2(σ)；

(H5) 存在有界函數(shù)k3:(-∞,0]→R+使得如果y∈H0且t≤0,則

‖yt‖≤k3(t)‖y‖；

(H6) 如果y∈H0,則函數(shù)t→‖yt‖在(-∞,0]上是正則的.

本文獲得無限滯后測度泛函微分方程解的有界性結(jié)果是在廣義常微分方程

(3)

關(guān)于初值條件

x(s0)=x0

(4)

下新的有界性定理的基礎(chǔ)上得到的.

2 廣義常微分方程

τj∈[αi-1,αi]?(τj-δ(τj),τj+δ(τj)),

設(shè)X是Banach空間,O?X是開子集.

定義2.1[1]函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→X稱為在[a,b]上Henstock-Kurzweil可積的,如果存在I∈X,使得對任意的ε>0,存在正值函數(shù)

δ:[a,b]→(0,+∞),

使得對[a,b]上的任何的δ-精細分劃

D={(τj,[αi-1,αi]),j=1,2,…,k},

其中

τj∈[αi-1,αi]?[τj-δ(τj),τj+δ(τj)],

有

(5)

則稱I∈X為U在[a,b]上的Henstock-Kurzweil積分(也記為H-K積分),記作

特別地,當(dāng)f:[a,b]→X,且

g:[a,b]→R,U(τ,t)=f(τ)g(t)

時,

設(shè)F:Ω→X,其中Ω=O×[t0,+∞).

定義2.2[1]設(shè)Ω?X×R是開集,(x,t)∈Ω,t∈R.稱函數(shù)x:[a,b]→X為廣義常微分方程

(6)

在區(qū)間[a,b]?R上的解,是指對所有的(x(t),t)∈Ω,且對每個s1,s2∈[a,b],有

成立.

定義2.3[3]函數(shù)x:[a,b]→X是廣義常微分方程(6)關(guān)于初值條件x(s0)=z0的解,是指如果s0∈[a,b],(x(t),t)∈Ω對每個t,s∈[a,b],有

其中[a,b]?[t0,+∞).

引理2.4[3]如果

Ω=O×[t0,+∞),F∈F(Ω,h),

函數(shù)h是不減且左連續(xù)的,則對每個(z0,s0)∈Ω,廣義常微分方程(6)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且x(s0)=z0.

注2.1對每個(z0,s0)∈Ω,把廣義常微分方程的唯一最大解記為x(s,s0,z0)且x(s0)=z0.

定義2.5[3]廣義常微分方程(6)是

1) 一致有界:如果對每個α>0,存在M=M(α)>0使得對每個s0∈[t0,+∞)及所有的

z0∈X, ‖z0‖<α,

有

‖x(s,s0,z0)‖

2) 擬一致最終有界:如果存在B>0,使得對每個α>0,存在T=T(α)>0,使得對所有的s0∈[t0,+∞)及

z0∈X, ‖z0‖<α,

有

‖x(s,s0,z0)‖

3) 一致最終有界:廣義常微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

定理2.6[3]設(shè)函數(shù)V:[t0,+∞)×X→R,使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數(shù)z:[α,β]→X,函數(shù)t→V(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的.而且,假設(shè)V滿足下列條件:

(i) 有2個單調(diào)遞增的函數(shù)p,b:R+→R+,使得p(0)=b(0)=0，

和對每一對(t,z)∈[t0,+∞)×X,有

b(‖z‖)≤V(t,z)≤p(‖z‖)

成立.

(ii) 對每個廣義常微分方程(6)的解

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

V(s,z(s))-V(t,z(t))≤0,

則廣義常微分方程(6)是一致有界的.

定理2.7[3]設(shè)函數(shù)V:[t0,+∞)×X→R,使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數(shù)z:[α,β]→X,函數(shù)t→V(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的和滿足定理2.6的條件(i).而且,假設(shè)V滿足下列條件:

(V1) 對每個

x,y:[α,β]→X, [α,β]?[t0,+∞)

在區(qū)間[α,β]上有界變差,及每個α≤s

成立,其中h1:[t0,+∞)→R為不減和左連續(xù)的函數(shù);

(V2) 存在連續(xù)函數(shù)φ:X→R,φ(0)=0且

φ(x)>0,x≠0,

使得對每個廣義常微分方程(6)的解

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

V(s,z(s))-V(t,z(t))≤(s-t)(-φ(z(t))),

則廣義常微分方程(6)是一致最終有界的.

3 無限滯后測度泛函微分方程解的有界性

設(shè)H0?G((-∞,0],Rn)是Banach空間,其中的范數(shù)為‖·‖,考慮無限滯后測度泛函微分方程

(7)

其中，t0∈R,f:P×[t0,+∞)→Rn，g:[t0,+∞)→R,

P={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},φ∈P.

假設(shè)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足下列條件:

(A) 對于每一個y∈O,積分

存在;

(B) 存在一個關(guān)于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數(shù)M:[t0,+∞)→R+,滿足

ddg(t),

其中y∈O,[a,b]?[t0,+∞);

(C) 存在一個關(guān)于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數(shù)L:[t0,+∞)→R+,滿足

dg(t)‖≤
dg(t),

其中y,z∈O,[a,b]?[t0,+∞)(假設(shè)右邊的積分存在).

引理3.1設(shè)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減函數(shù),定義F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)如下

(8)

則F∈F(Ω,h,k),其中,Ω=O×[t0,+∞),

h,k:[t0,+∞)→R,

dg(s),t∈[t0,+∞),

k(t)=k2(σ)(dg(s),
t∈[t0,+∞).

定理3.2設(shè)O是H的子集,且t≥t0時,具有延拓性質(zhì),

P={yt:y∈O,t∈[t0,+∞)},
φ∈P,g:[t0,+∞)→R

是不減函數(shù),f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),且F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)取值于H.如果y∈O是無限滯后測度泛函微分方程的解

則函數(shù)x:[t0,+∞)→O,

是廣義常微分方程

的解.

證明定理的證明在文獻[1]定理3.14可見.

定理3.3設(shè)O是H的子集,且t≥t0時,具有延拓性質(zhì),

P={yt∶y∈O,t∈[t0,+∞)},
φ∈P,g:[t0,+∞)→R

是不減函數(shù),f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),且F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)取值于H.如果x:[t0,+∞)→O是廣義常微分方程的解

在初值條件下

則函數(shù)y∈O且

是無限滯后測度泛函微分方程

的解.

證明定理的證明在文獻[1]定理3.15可見.

定理3.4設(shè)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數(shù),則對每個(z0,s0)∈P×[t0,+∞),無限滯后測度泛函微分方程(7)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且y(s0)=z0.

證明考慮無限滯后測度泛函微分方程(7)

t∈[t0,+∞).根據(jù)假設(shè),函數(shù)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數(shù),則無限滯后測度泛函微分方程(7)等價于廣義常微分方程

(9)

其中F由(8)式給出.

根據(jù)引理2.4,因為對每個

(z0,s0)∈O×[t0,+∞),

廣義常微分微分方程(9)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且x(s0)=z0,而且根據(jù)定理3.3有

是無限滯后測度泛函微分方程

的解.因此,對每個(z0,s0)∈P×[t0,+∞),無限滯后測度泛函微分方程(7)在[s0,+∞)上存在唯一最大解并且y(s0)=z0.

注3.1同樣的,對每個

(z0,s0)∈P×[t0,+∞),

把無限滯后測度泛函微分方程(7)的唯一最大解記為y(s,s0,z0)且y(s0)=z0.

定義3.5無限滯后測度泛函微分方程(7)是:

1) 一致有界:如果對每個α>0,存在M=M(α)>0,使得對每個s0∈[t0,+∞)及所有的z0∈Rn,‖z0‖<α,有

‖y(s,s0,z0)‖

2) 擬一致最終有界:如果存在B>0,使得對每個α>0,存在T=T(α)>0,使得對所有的s0∈[t0,+∞)及z0∈Rn,‖z0‖<α,有

‖y(s,s0,z0)‖

3) 一致最終有界:無限滯后測度泛函微分方程是一致有界且擬一致最終有界.

定理3.6設(shè)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R在[t0,+∞)上是不減和左連續(xù)的.設(shè)函數(shù)

U:[t0,+∞)×Rn→R,

使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數(shù)z:[α,β]→X,函數(shù)

t→U(t,z(t)),

t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的.而且,假設(shè)U滿足下列條件:

(i)有2個單調(diào)遞增的函數(shù)p,b:R+→R+,使得p(0)=b(0)=0，

和對每一對(t,z)∈[t0,+∞)×Rn,有

b(‖z‖)≤U(t,z)≤p(‖z‖)

成立；

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

U(s,z(s))-U(t,z(t))≤0,

則無限滯后測度泛函微分方程(7)是一致有界的.

證明對每個x∈O及t∈[t0,+∞),定義函數(shù)F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)如下：

(10)

根據(jù)假設(shè),函數(shù)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數(shù),則根據(jù)引理3.1得

F∈F(O×[t0,+∞),h,k),

其中函數(shù)

dg(s),t∈[t0,+∞)

和

dg(s),
t∈[t0,+∞).

函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理3.6的條件(i),則函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的條件(i).

z:[s0,+∞)→Rn,s0≥t0

是無限滯后測度泛函微分方程

dg(s),t∈[t0,+∞)

的解，則通過定理3.2,有

x(t)(?)

是廣義常微分方程

的解,其中函數(shù)F由(10)式給出.因此,函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的條件(ii).所以,函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的所有條件,則廣義常微分方程

是一致有界的,其中函數(shù)F由(10)式給出.

最后,根據(jù)定理3.3,證明了無限滯后測度泛函微分方程(7)也是一致有界的.

定理3.7設(shè)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R在[t0,+∞)上是不減和左連續(xù)的.設(shè)函數(shù)

U:[t0,+∞)×Rn→R,

使得對每個在(α,β]上左連續(xù)的函數(shù)z:[α,β]→X,函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的和滿足定理3.6的條件(i).而且,假設(shè)U滿足下列條件:

(U1)對每個

x,y:[α,β]→X, [α,β]?[t0,+∞)

在區(qū)間[α,β]上有界變差及每個α≤s

成立,其中U:[t0,+∞)→R是關(guān)于u局部Kurzweil-Henstock-Stietijes可積的函數(shù)；

(U2)存在連續(xù)函數(shù)φ:X→R,φ(0)=0且φ(x)>0,x≠0,使得對每個無限滯后測度泛函微分方程(7)的解

z:[s0,+∞)→X,s0≥t0

及每個s0≤t

U(s,z(s))-U(t,z(t))≤(s-t)(-φ(z(t))),

則無限滯后測度泛函微分方程(7)是一致最終有界的.

證明對每個x∈O及t∈[t0,+∞),定義函數(shù)F:O×[t0,+∞)→G(R,Rn)如下

(11)

根據(jù)假設(shè),函數(shù)f:P×[t0,+∞)→Rn滿足條件(A)、(B)和(C),g:[t0,+∞)→R是不減和左連續(xù)函數(shù),則根據(jù)引理3.1得

F∈F(O×[t0,+∞),h,k),

其中函數(shù)

dg(s),t∈[t0,+∞),

k(t)=k2(σ)(dg(s),
t∈[t0,+∞).

因為函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]在區(qū)間(α,β]上是左連續(xù)的和滿足定理3.6的條件(i),有2個單調(diào)遞增的函數(shù)p,b:R+→R+,使得

p(0)=b(0)=0，

和對每一對(t,z)∈[t0,+∞)×Rn有

b(‖z‖)≤U(t,z)≤p(‖z‖)

成立.則函數(shù)U:t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.6的假設(shè)(i).

對每個t∈[t0,+∞),定義函數(shù)

h1(t):[t0,+∞)→R

如下

du(t),t∈[t0,+∞),

則函數(shù)h1是不減且左連續(xù)的.

而且由條件(U1)有,函數(shù)

U:t→U(t,z(t)),t∈[α,β]

滿足下列條件

對每個α≤s

其次,由條件(U2)有

z:[s0,+∞]→Rn,s0≥t0

是無限滯后測度泛函微分方程

dg(s),
t∈[t0,+∞)

的解.

則通過定理3.2有

是廣義常微分方程

的解,其中函數(shù)F由(11)式給出.

因此,函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.7的條件(V2).

所以,函數(shù)t→U(t,z(t)),t∈[α,β]滿足定理2.7的所有條件,則廣義常微分方程

是一致最終有界的,其中函數(shù)F由(11)式給出.

最后,根據(jù)定理3.3,證明了無限滯后測度泛函微分方程(7)也是一致最終有界的.

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