帶有分段常數(shù)變量的捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性和Neimark-Sacker分支

豆中麗， 王 銳

(1. 重慶工商大學(xué) 融智學(xué)院， 重慶 400055; 2. 重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶 401331)

種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛、發(fā)展較為成熟的一個(gè)分支，捕食者-食餌系統(tǒng)主要描述生態(tài)學(xué)中種群之間的相互關(guān)系.在生態(tài)系統(tǒng)中，具有分段常數(shù)變量的微分方程模型的穩(wěn)定性、分支、混沌行為越來越受到學(xué)者們的關(guān)注.文獻(xiàn)[1]討論了如下帶有分段常數(shù)變量的單種群Logistic模型

其中,t,r,K∈(0,+∞),[t]表示參數(shù)t的整數(shù)部分.文中討論了模型在正平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性和分支行為，當(dāng)參數(shù)r等于某特殊值時(shí),該模型在正平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.文獻(xiàn)[2]研究了具分段常數(shù)變量及干擾的反饋控制模型

解的全局存在性、正平衡點(diǎn)的唯一性、全局漸近穩(wěn)定性、分支的存在性及其方向和穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[3]描述了害蟲受天敵、氣象環(huán)境和植被等外界環(huán)境因素的影響，討論了模型

的正平衡態(tài)的穩(wěn)定性、翻轉(zhuǎn)分支和Neimark-Sacker分支周期解的充分條件以及數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析的正確性.文獻(xiàn)[4]研究了捕食者對(duì)食餌的捕獲具有滯后效應(yīng)的模型

的正平衡態(tài)穩(wěn)定性分析、Neimark-Sacker分支的存在性及其分支方向與穩(wěn)定性.在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，本文考慮了具有Holling-III功能反應(yīng)函數(shù)

的捕食者-食餌模型

其中,X為食餌種群密度，Y為捕食者種群密度，r∈(0,1)為食餌內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K>0為環(huán)境容納量可解釋為食餌所取作物狀況，a為捕食者的捕食率，β∈[0,1)為食餌逃避率，捕食種群能捕捉到食餌數(shù)量為(1-β)X(t)，c∈(0,1]為捕食者捕食食餌的轉(zhuǎn)化率，d為捕食者的死亡率.

根據(jù)生態(tài)學(xué)意義可知,模型(1)的初始條件為

X(0)=X0>0,Y(0)=Y0>0.

1 平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

下面討論模型(1)解的存在性、正平衡點(diǎn)唯一性及給出模型在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性分析.

定理1.1模型(1)滿足初始條件的解在t≥0存在且有界.

證明可利用反證法與比較原理進(jìn)行證明.

證明模型(1)的平衡點(diǎn)滿足方程

令

因?yàn)閒(Y)是R+上的連續(xù)函數(shù)，且

f(+∞)=-∞.

當(dāng)n≤t≤n+1(n=0,1,2,…)時(shí),系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為

(2)

對(duì)(2)式兩端從n到t積分，令t→n+1，化簡(jiǎn)得到

(3)

通過計(jì)算求得：對(duì)于任何參數(shù)，系統(tǒng)有不動(dòng)點(diǎn)E0(0,0)、E1(K,0)；當(dāng)ac-d>0,K>K0時(shí)，系統(tǒng)(3)存在唯一正平衡點(diǎn)

其中

定理1.3模型(3)的平衡點(diǎn)E0(0,0)是鞍點(diǎn).

證明模型(3)的Jacob矩陣為

其中

當(dāng)(X(n),Y(n))=(0,0)時(shí)，由模型(3)可知對(duì)應(yīng)的線性系統(tǒng)[5]的特征方程

(λ-er)(λ-e-d)=0，

則

λ1=er,λ2=e-d.

因?yàn)閞>0，由此可知|λ1|>1,|λ2|<1，所以平衡點(diǎn)E0(0,0)是鞍點(diǎn).

定理1.41) 當(dāng)0

(i) 當(dāng)K(1-β)(ac-d)

(ii) 當(dāng)K(1-β)(ac-d)>d時(shí)，平衡點(diǎn)E1(K,0)是鞍點(diǎn).

2) 當(dāng)r>2，K(1-β)(ac-d)>d時(shí)，平衡點(diǎn)E1(K,0)是不穩(wěn)定的.

3) 當(dāng)r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d時(shí)，模型在平衡點(diǎn)E1(K,0)處產(chǎn)生flip分支.

證明模型(3)在平衡點(diǎn)E1(K,0)的Jacob矩陣

其中

1) 當(dāng)0

(i) 當(dāng)K(1-β)(ac-d)

(ii) 當(dāng)K(1-β)(ac-d)>d時(shí)，|λ1|<1,|λ2|>1，所以E1(K,0)是鞍點(diǎn).

2) 當(dāng)r>2，K(1-β)(ac-d)>d時(shí)，|λ1|>1,|λ2|>1，所以E1(K,0)是不穩(wěn)定的.

3) 當(dāng)r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d時(shí)，|λ1|≠1且|λ2|=1，所以模型在E1(K,0)處產(chǎn)生flip分支.

4) 當(dāng)

且

5) 當(dāng)

d(1+ac-d)K=(ac+(1+ac-d)d)K0

其中

模型的正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由特征方程的特征根所決定，令

p(λ)=λ2+μ1λ+μ2,

可求解得到

由此可得特征根

通過計(jì)算可知,當(dāng)ac-d>0,K>K0時(shí)，

1)

由

d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0<0,

可得

令

2) 當(dāng)

3) 當(dāng)

d(1+ac-d)K-(ac+(1+ac-d)d)K0>0,

4) 當(dāng)

5) 當(dāng)

2分支解的存在性和穩(wěn)定性

處的Jacob矩陣

可得特征根

其中

設(shè)p、q分別是對(duì)應(yīng)于特征值eiθ0、e-iθ0的特征向量：

Aq=eiθ0q,ATp=e-iθ0p.

為了必要的標(biāo)準(zhǔn)化

可取

通過計(jì)算此系統(tǒng)可表示為

這里O(‖x‖4)是高階無窮小量,B(x,y)和C(x,y,z)是多重線性函數(shù)，且在坐標(biāo)下的分量為:

于是

具有Neimark-Sacker分支的系統(tǒng)出現(xiàn)閉不變曲線的方向，可用下面的公式計(jì)算：

下面通過實(shí)例，運(yùn)用Matlab軟件繪出相應(yīng)的分支圖[9]，并通過圖形說明該模型復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng)參數(shù)r=r0=0.68時(shí)，產(chǎn)生Neimark-Sacker分支，如圖1；當(dāng)r>r0=0.68時(shí)，在正平衡點(diǎn)處失穩(wěn)經(jīng)過反復(fù)迭代系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，如圖2.使用數(shù)值模擬驗(yàn)證參數(shù)對(duì)模型穩(wěn)定性和分支周期解的存在性影響，當(dāng)分支參數(shù)的臨界值發(fā)生變化，系統(tǒng)也在發(fā)生變化，可見系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性，初值經(jīng)過反復(fù)迭代，系統(tǒng)失穩(wěn)出現(xiàn)分支情形，最后產(chǎn)生混沌現(xiàn)象.

圖 1 Neimark-Sacker分支解相平面圖

3 總結(jié)和討論

本文討論了帶有分段常數(shù)變量的捕食者-食餌模型并通過計(jì)算得到模型對(duì)應(yīng)的差分方程.

首先,討論了模型在正平衡點(diǎn)處的情形，模型在平衡點(diǎn)處是鞍點(diǎn).

2) 當(dāng)r>2，K(1-β)(ac-d)>d時(shí)，平衡點(diǎn)E1(K,0)是不穩(wěn)定的.

3) 當(dāng)r≠1,r≠3且K(ac-d)(1-β)=d時(shí)，模型在平衡點(diǎn)E1(K,0)處產(chǎn)生flip分支.

其次,討論了模型的內(nèi)稟增長(zhǎng)率

最后，使用數(shù)值模擬的方法當(dāng)r=r0=0.68時(shí)，產(chǎn)生Neimark-Sacker分支；當(dāng)r>r0=0.68時(shí)，在正平衡點(diǎn)處失穩(wěn).初值經(jīng)過反復(fù)迭代趨于∞時(shí)，系統(tǒng)的分支會(huì)越來越多越來越密，最后進(jìn)入混沌狀態(tài)，從而驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.

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