新灰色組合模型在沉降變形預(yù)測中的作用

張文祥，黃張裕，于小桐，王 彬，張君儒

（1.河海大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京211100）

基于建筑物沉降的系統(tǒng)性變化規(guī)律，運(yùn)用可靠的方法，科學(xué)、準(zhǔn)確、實時地描述建構(gòu)筑物的沉降變化趨勢，從而對人民財產(chǎn)安全提供保障。單一的預(yù)測模型具有一定的局限性，傳統(tǒng)的GM(1,1)模型主要適用于單一的指數(shù)增長模型［1］，對沉降序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)的異常情況很難預(yù)測?？梢跃C合利用不同預(yù)測模型的優(yōu)勢，從而構(gòu)成具有較高預(yù)測精度的組合預(yù)測模型［2］。

國內(nèi)外關(guān)于GM(1,1)模型的研究較多［3-7］，眾多學(xué)者也依據(jù)灰色理論提出了較多的改進(jìn)模型，如灰色模型與多項式擬合模型的組合、灰色模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的組合等。本文將傳統(tǒng)GM(1,1)模型、初始值修正、背景值優(yōu)化及組合模型預(yù)測數(shù)據(jù)作為B樣條曲線函數(shù)的4個型值點［10,12］，確定曲線擬合函數(shù)，結(jié)合某建筑物沉降監(jiān)測實例來進(jìn)行沉降序列的擬合和預(yù)測。

1 改進(jìn)的GM(1,1)模型

單一的傳統(tǒng)GM(1,1)模型的預(yù)測效果取決于模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)，隨著GM(1,1)模型廣泛應(yīng)用于建筑物等沉降預(yù)測中，并取得較多成功的預(yù)測作用，在一定程度上為建筑物的實時安全性監(jiān)測、預(yù)測提供了指導(dǎo)，但傳統(tǒng)的GM（1,1）模型可能存在一定的預(yù)測偏差，主要原因有：①不同程度的指數(shù)序列需求的背景值不同；②傳統(tǒng)的GM(1,1)模型采用x=x0

(1)的初始條件時，丟失了以新信息數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測的特性。本文從背景值、初始值入手，著重探究兩者優(yōu)化后的數(shù)據(jù)，并將其作為B樣條曲線型值點的研究對象。

1.1 背景值優(yōu)化

用Sn作為區(qū)間[k,k+1]上的背景值

式中，需要確定常數(shù)n，對于不同程度的數(shù)值序列，需要確定不同的數(shù)值。針對預(yù)測模型的確立，應(yīng)根據(jù)實際測量數(shù)據(jù)確定待定常數(shù)，也就是依據(jù)不同的數(shù)據(jù)序列確定不同的背景值，更加合理地適用于沉降變形預(yù)測模型的建立［10］。

1） 對低增長序列，有：

2） 對高增長序列，有：

待定常數(shù)的確定取決于數(shù)據(jù)序列的增值速率及變化。一般來說，建筑物的沉降變形較緩慢，因此在本文中待定常數(shù)的確定采用低增長序列的參數(shù)模型即式（3）。依據(jù)實際數(shù)據(jù)序列確定的待定常數(shù)n，可近似逼近實際數(shù)據(jù)序列，更能夠反映建筑物沉降變形規(guī)律。

1.2 初始值修正

分別令t=1、n，可得：

從而得到c的表達(dá)式：

只要得到數(shù)據(jù)預(yù)測模型中的c值，將能夠有效得到初始值修正后的沉降預(yù)測值?？紤]到新預(yù)測值而不使用原有第一期沉降數(shù)據(jù)，保留灰色模型的新信息可靠性，能夠較好地反映建筑物沉降預(yù)測規(guī)律。

1.3 基于初始值修正及背景值優(yōu)化相關(guān)性確定權(quán)系數(shù)

基于優(yōu)化后的預(yù)測數(shù)據(jù)作為研究對象，以初始值修正、背景值優(yōu)化后的數(shù)據(jù)的相關(guān)性確定權(quán)系數(shù)，建立線性方程式，確定組合模型的未知項系數(shù)，得到優(yōu)化后的數(shù)據(jù)。具體模型如下：初值修正的模型預(yù)測數(shù)景值優(yōu)化的模型預(yù)測數(shù)據(jù)用兩者建立線性組合模型［7］：

根據(jù)誤差傳播定律得到預(yù)測值的組合模型方差為：

實際計算中，e1、e2的計算是相互獨(dú)立的，故可以認(rèn)為cov(e1,e2)。當(dāng)D(e)最小時，則有：

根據(jù)（10）計算ρ值，得出背景值優(yōu)化與初值修正組合模型的系數(shù)。

2 B樣條曲線模型

常用的B樣條曲線因其連續(xù)性、局部性，而廣泛應(yīng)用于各類曲線的擬合。本文基于B樣條曲線的基本思想，將傳統(tǒng)GM（1，1）模型預(yù)測數(shù)據(jù)、背景值優(yōu)化、初始值修正及組合模型的預(yù)測數(shù)據(jù)作為B樣條曲線的型值點，進(jìn)行新的預(yù)測曲線擬合，既可以保留預(yù)測模型短期預(yù)測精度高、也保留了B樣條曲線局部連續(xù)的特點，得到較優(yōu)的新灰色組合模型。

2.1 B樣條函數(shù)模型

傳統(tǒng)的樣條曲線擬合是每4個點擬合成一條曲線，其具有連續(xù)性、局部性、凸包性的特點，B樣條曲線擬合的方程為：

式中，Pi是特征多邊形頂點，也稱控制頂點，Bi為基函數(shù)。具體表示為：

2.2 基本思想

將傳統(tǒng)GM(1,1)模型、初始值修正、背景值優(yōu)化后以及組合模型數(shù)據(jù)作為曲線的型值點，進(jìn)行預(yù)測曲線擬合，得到新的預(yù)測值擬合曲線。將兩種優(yōu)化后的預(yù)測數(shù)據(jù)依據(jù)監(jiān)測周期的推進(jìn)，分別作為型值點P1、P2、P3和P4。在曲線擬合過程中僅改變一個控制頂點，只會影響局部擬合曲線，能夠滿足建筑物變形短期預(yù)測的目的，并且擬合曲線在端點處連續(xù)，若干預(yù)測曲線構(gòu)成一段完整的預(yù)測B樣條曲線，如圖1所示。

圖1 B樣條曲線基本圖示

3 實例分析

為了驗證4種預(yù)測數(shù)據(jù)作為B樣條曲線型值點所擬合預(yù)測曲線的效果，選用某廠房建筑物的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。該建筑物共31個測點，并定期對建筑物監(jiān)測點進(jìn)行沉降監(jiān)測，共監(jiān)測10期。以沉降監(jiān)測點C06為例作為實驗驗證對象，其原始沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)見表1。

表1 C06沉降監(jiān)測點的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)

利用Matlab軟件進(jìn)行計算，得出初始值修正數(shù)據(jù)、背景值優(yōu)化數(shù)據(jù)，依據(jù)文中的組合模型確定兩者的權(quán)系數(shù)分別是0.499和0.501，兩組數(shù)據(jù)的方差分別是0.120 4和0.120 9，從而得出每一期組合模型的預(yù)測值。以上述4種數(shù)據(jù)作為B樣條函數(shù)的型值點，既可以保留前3者預(yù)測模型的優(yōu)勢，又具備建筑物短期預(yù)測效果好的特點，能夠更加逼近建筑物的實際變形，達(dá)到較好的預(yù)測效果。通過上述數(shù)據(jù)的組合，得到C06點的預(yù)測數(shù)據(jù)見下表2，第一期數(shù)據(jù)均為0.68 mm，故保留0.68 mm。

表2 C06沉降監(jiān)測點各種模型預(yù)測值及絕對殘差值

從表3中絕對殘差值可以直觀地看到，新灰色組合模型的預(yù)測精度較前幾種模式預(yù)測精度高。在傳統(tǒng)模型中，預(yù)測精度會隨著監(jiān)測周期的增加，預(yù)測精度逐漸降低；依據(jù)初始值修正、背景值優(yōu)化后的數(shù)據(jù)相關(guān)性確定的組合模型預(yù)測精度較傳統(tǒng)模型預(yù)測精度高；而文中提出的新灰色組合模型在后幾期預(yù)測過程中，均取得了較好的預(yù)測效果。

將沉降原始沉降序列、傳統(tǒng)GM(1,1)模型、組合模型及新灰色組合模型的預(yù)測值繪制成圖2，可以看出：①雖然基于背景值優(yōu)化、初始值修正的方差確定權(quán)系數(shù)的組合模型預(yù)測精度較高，但是擬合曲線較為平滑，嚴(yán)重脫離實際沉降監(jiān)測序列；②新灰色模型的預(yù)測值與實際測量值的逼近程度更加明顯，特別是在第5、8期預(yù)測數(shù)據(jù)與實際測量序列偏差較小，其他模型偏差較大。

圖2 組合模型折線圖

4 結(jié) 語

灰色模型具有樣本少、運(yùn)算方便、短期預(yù)測精度高的特點，但是其預(yù)測精度取決于灰色模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)。本文從結(jié)構(gòu)參數(shù)入手，對預(yù)測模型進(jìn)行一定的改進(jìn)，并以4種類型的預(yù)測數(shù)據(jù)作為B樣條函數(shù)的型值點，充分發(fā)揮4者的優(yōu)越性，可以有效提高模型的預(yù)測精度，使得預(yù)測效果更好。

1）該新灰色組合預(yù)測模型較傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測效果較好，集合了背景值優(yōu)化、初始值修正及B樣條曲線的優(yōu)點，使得該模型建筑物在短期變形預(yù)測中取得較好的效果。

2）型值點的選擇對曲線的局部范圍擬合的影響較大，不同型值點的確定方法直接影響著預(yù)測效果。以傳統(tǒng)預(yù)測模型、初始值修正、背景值優(yōu)化和組合模型的預(yù)測數(shù)據(jù)作為B樣條曲線的型值點，具有局部性、連續(xù)性以及短期預(yù)測精度高等優(yōu)點。

3）新灰色組合模型綜合利用了各種單一模型的優(yōu)勢，基于B樣條曲線的連續(xù)局限性，進(jìn)行模型的組合，得到較優(yōu)的擬合和預(yù)測效果。

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