一種基于軌道根數約束的最優(yōu)制導方法

李超兵，呂春紅，尚騰

北京航天自動控制研究所，北京 100854

在空間航天器為完成預定任務，需要通過變軌控制來實現不同軌道之間的轉移，而為確保航天器能夠到達目標軌道，同時節(jié)省變軌控制的燃料消耗，需要利用最優(yōu)控制原理設計制導算法。

以迭代制導為代表的最優(yōu)制導算法自應用于美國的土星五號運載器以來，逐漸為許多航天器所采納[1-3]。針對航天器主發(fā)動機推力大小不可調的情況，傳統(tǒng)迭代制導通常以2個方向的位置和3個方向的速度作為5個終端約束，假設控制角指令由速度約束和位置約束兩部分組成，并且位置約束部分為小量[4-7]，這樣可以首先求解滿足速度約束部分的控制角，然后利用小角度近似求解滿足位置約束部分的控制角。但這一假設并無嚴格的理論支撐，且在某些變軌情形下這一假設不再成立，從而限制了傳統(tǒng)迭代制導的進一步應用[8-11]。

針對傳統(tǒng)迭代制導的不足，研究人員從不同的角度進行了改進研究。陳新民和余夢倫[12]針對運載火箭多級飛行的特點，在傳統(tǒng)單級迭代制導方程的基礎上，進一步推導了多級迭代制導方程；茹家欣[13]利用最優(yōu)控制原理，從火箭簡化運動方程出發(fā)，以火箭推力方向的3分量為控制變量推導了迭代制導方法；池賢彬等[14]利用凸優(yōu)化技術簡化航天器的相對運動動力學模型，并通過迭代制導獲得追蹤航天器的制導策略。

進一步，在控制對象的模型復雜性和最優(yōu)控制必要條件的推導方式等方面，現有文獻也進行了改進研究。Lu等[15]結合最優(yōu)控制原理和多級打靶法推導了運載火箭的多級點火制導算法；針對大氣層內火箭受力的復雜情況，Lu在文獻[16,17]中進一步推導了多級點火制導算法；傅瑜等[18]通過計算終端約束對協(xié)態(tài)變量的雅克比矩陣，獲得了解析求解約束方程的迭代制導方法；鄭旭等[19]推導了火箭在大氣層外的解析動力學模型，將共軛狀態(tài)向量和飛行時間作為迭代變量，給出了多終端約束下的迭代制導算法；鄧逸凡等[20]研究了適用于航天器空間變軌任務的迭代制導算法，直接以軌道根數為終端約束條件建立邊界條件；李超兵等[21]在入軌點軌道坐標系下對制導的開關機點優(yōu)化，進一步得到改進的迭代制導方法。

現有文獻雖然從制導適應性上對傳統(tǒng)迭代制導作出了種種改進，但很少直接從軌道根數的約束特性出發(fā)對制導算法進行設計，從而難以應用于航天器空間變軌的一般情形。如文獻[17,18]以位置速度大小、飛行路徑角為終端約束；文獻[19,21]以位置和速度分量為終端約束；文獻[20]雖然直接針對軌道根數約束，但對乘子變量的消去處理方式復雜，不夠直觀，且沒有給出一般橢圓軌道情形下的約束方程形式。

考慮到上述文獻的不足，本文從對地心慣性坐標系下航天器的運動模型出發(fā)，利用最優(yōu)控制原理得到位置速度與協(xié)態(tài)變量初值的關系式；進一步，針對軌道根數特性，推導了除真近點角外的5個軌道根數約束方程，并利用終端約束中位置速度和軌道根數的關系，以及協(xié)態(tài)變量的尺度特性得到另外兩個約束方程。通過直接求解7個完整約束方程組獲得協(xié)態(tài)變量初值，進而得到最優(yōu)推力方向。仿真結果表明了所提制導方法的有效性。

1 最優(yōu)制導問題描述

考慮有限推力大小的情形，在地心慣性坐標系下，航天器的運動模型為

(1)

式中：r為位置；V為速度；g(r)為r處的地球引力加速度矢量；T為發(fā)動機推力大??；1T為單位矢量，表示發(fā)動機推力方向；m為航天器質量；g0為在參考半徑R0(可取地球橢球模型的長半軸)處的標準重力加速度；Isp為發(fā)動機比沖(采用重量描述，單位為s)。

考慮到發(fā)動機點火持續(xù)時間通常在幾百秒以內，航天器的運動量在整個軌道變化范圍內可以看作小量，因此g(r)可采用式(2)近似：

(2)

(3)

(4)

制導的終端約束通常由關于終端位置rf和終端速度Vf的k(k≤6)個等式約束組成：

φ(rf,Vf)=0

(5)

為節(jié)省燃料，推力方向1T可通過求解使得下面指標最小的最優(yōu)控制問題來獲得：

(6)

注意式(6)中以當前瞬時時刻為0時刻；τf=tf/tref，tf為終端時刻。整個制導的思路是：在每一個制導解算周期內，通過迭代求解式(3)～式(6)組成的最優(yōu)控制問題來獲得最優(yōu)推力方向1T,隨著飛行時間的增加，實際位置與終端約束的位置越來越靠近，因此對引力加速度的近似誤差也會越來越小。

根據最優(yōu)控制理論，選擇如下哈密頓函數：

H0+TF

(7)

(8)

注意式(8)中的求導運算同樣是相對于無量綱化時間τ而言的。

設pr的初值為pr0,當前瞬時時刻的位置和速度分別為r0和V0,根據式(8)有

(9)

式(9)為關于pV和-pr/ω的線性微分方程，其解為

(10)

將式(10)進一步展開可得

(11)

根據式(3)有

(12)

定義

(13)

(14)

式中：

則式(12)的解可寫為

(15)

根據數值積分公式，有

(16)

(17)

式中:各ic和is的值均可根據式(11)來確定。因此有

(18)

V(τ)=-ωsin(ωτ)r0+cos(ωτ)V0+cos(ωτ)·

(19)

可見，在當前瞬時時刻位置和速度確定的前提下，pr(τ)、pV(τ)、r(τ)和V(τ)均為協(xié)態(tài)變量初值pr0和pV0的函數，而實際最終的位置和速度還取決于τf,一共有7個未知變量，如果能夠構造關于pr0、pV0和τf的7個方程，則求解這個方程就能獲得pV0,從而得到最優(yōu)推力方向。

2 約束方程構造

在發(fā)動機推力大小T不可調的前提下，理論上只能滿足5個終端約束，對于航天器入軌來說，通常選取軌道根數來描述入軌條件，形成以軌道根數描述的終端約束條件。經典的6個軌道根數為半長軸a、偏心率e、軌道傾角i、升交點赤經Ω、近地點幅角w、真近點角f,對應的目標量均用下角標T表示，通常不約束真近點角，即選取的5個終端約束為半長軸aT、偏心率eT、軌道傾角iT、升交點赤經ΩT和近地點幅角wT。

2.1 半長軸約束

由二體問題中的活力公式可知

(20)

(21)

因此，半長軸的終端約束為

(22)

2.2 偏心率約束

φ2(rf,Vf)=

(23)

2.3 軌道傾角約束

(24)

顯然，在慣性系中h方向的單位矢量為

(25)

(26)

2.4 升交點赤經約束

根據2.3小節(jié)中的分析，升交點赤經約束為

(27)

2.5 近地點幅角約束

偏心率矢量e在地心慣性坐標系中的分量滿足：

(28)

從而有

(29)

(30)

從而有

(31)

結合式(28)、式(29)和式(31)可知，近地點幅角約束為

(32)

式中：

φ1～φ5構成了關于rf和Vf的5個終端約束，為求解協(xié)態(tài)變量初值和飛行時間，還需要2個終端約束構成完整的約束方程。

2.6 第6個約束方程

(33)

式中：zp為拉格朗日乘子向量，為避免數值求解困難，需要消去zp。通常的方法是求解下述方程:

(34)

得到關于rf和Vf的解y,則有

yTpf=0

(35)

式(35)構成了第6個約束方程。

上述方法雖然直觀，但是實際求解式(34)，特別是獲得y的解析表達式并不容易，因此這里考慮另外一種思路。

由于位置速度和6個軌道根數之間可以互相轉換，rf和Vf可以表示為軌道根數的形式，因此φ1～φ5也可以表示成軌道根數的函數，即令η=[aeiΩwf]T,則終端約束可寫為

(36)

(37)

令y=?xf/?ff,則由式(35)可知第6個約束方程為

(38)

(39)

(40)

(41)

對式(39)微分可得

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

從而可知

(47)

比較式(43)和式(47)可得

(48)

(49)

進一步考慮無量綱位置和速度的情形，由式(48)和式(49)可得

(50)

(51)

因此有

(52)

從而式(38)可寫為

(53)

式(53)即為第6個約束方程。

2.7 第7個約束方程

由最優(yōu)控制原理，協(xié)態(tài)方程可寫為

(54)

(55)

可見，哈密頓函數也只是每一項進行了同樣的縮放，因此不會影響最優(yōu)推力方向的求解。因此，這里考慮針對協(xié)態(tài)變量的尺度設計第7個約束方程如下(選擇不唯一)：

(56)

注：在獲得7個完整約束方程后，在每一次制導計算周期內利用牛頓迭代法對方程進行求解獲得協(xié)態(tài)變量初值，即可得到最優(yōu)推力方向。在仿真程序中，牛頓迭代法求解方程組所需要的雅可比矩陣利用數值分析中常用的差商法獲得，因此計算量要大于傳統(tǒng)的迭代制導方法。與迭代制導類似，在一開始的幾次制導計算周期內需要的迭代次數較多，后面基本迭代1～2次即可得到解。對于第3節(jié)仿真中的例子，在箭載計算機運行中程序時，完成一次制導指令解算所需的時間大約為5 ms。

3 仿真驗證

為驗證所提方法的有效性，針對航天器某一次變軌任務進行仿真驗證。設置航天器的初始質量為8 680.554 8 kg，主發(fā)動機推力的大小為6 500 N，比沖為3 095 m/s，初始和目標軌道根數如表1所示。

假設航天器的初始姿態(tài)已經調整到合適位置，從初始位置開始即進行制導解算，不考慮前段累積偏差。仿真計算步長選為10 ms，考慮J2引力攝動項，終止姿態(tài)角迭代計算的條件選為剩余分析時間小于 5 s 時，關機條件為剩余飛行時間小于0.1 s時。

表1 航天器的初始和目標軌道根數Table 1 Initial and target orbital elements of spacecraft

針對表1中的數據，將本文方法與文獻[20]中方法進行對比仿真，制導結果如圖1所示，本文方法的實際飛行時間為168.130 0 s，文獻[20]中方法的實際飛行時間為168.670 0 s。

由圖1中的仿真結果可以看出，在整個制導過程中，兩種方法均能保證剩余時間逐漸減小到0，除真近點角外的5個軌道根數誤差最終也趨于0，制導結束后的偏差數據如表2所示。

由表2可知，2種方法均能保證航天器最終到達的軌道與目標軌道根數的偏差在容許范圍內，且與文獻[20]中方法相比，本文方法的軌道根數偏差更小，如果需要進一步減小某個軌道根數偏差，可對該軌道根數的約束方程進一步進行加權，如若需要進一步減小偏心率偏差，則可根據式(23)，在程序中令φ2=γφ2,γ為大于1的數，如取為10、100等。

進一步，假設推力和比沖等各偏差均服從正態(tài)分布，對應的3σ偏差值如表3所示。進行1 000次打靶仿真，最終得到的軌道根數偏差如圖2所示。

圖1 本文方法和文獻[20]中方法的制導結果仿真對比Fig.1 Simulation comparion of guidance results between proposed method and method in Ref.[20]

方法半長軸偏差/m偏心率偏差軌道傾角偏差/(°)升交點赤徑偏差/(°)近地點幅角偏差/(°)本文方法-22.0731-9.7929×10-5-4.9592×10-52.7294×10-51.5200×10-2文獻[20]方法345.3752-1.7219×10-4-7.6690×10-52.0290×10-42.2500×10-2

表3 誤差參數3σ偏差值Table 3 3σ deviation values of error parameters

從圖2可以看出，對于表3中的誤差條件，半長軸偏差最大為200 m，偏心率偏差最大為8.0×10-4，軌道傾角和升交點赤經偏差最大為4×10-4(°)，近地點幅角偏差最大為0.15°。此外，各軌道根數偏差參數均集中在零附近，仿真結果表明本文所提制導算法對于偏差具有一定的適應性。

圖2 軌道根數統(tǒng)計偏差Fig.2 Statistical error of orbital element

4 結 論

本文直接從地心慣性坐標系下航天器的運動模型出發(fā)，將制導指令求解問題轉化為約束方程組的構造與求解問題，并進行了相應的仿真分析。

1) 不需要假設制導指令角的形式，適用范圍大于傳統(tǒng)的迭代制導。

2) 從最優(yōu)控制理論出發(fā)求解制導指令，具有一定的最優(yōu)性。

3) 所提方法能夠保證航天器最終到達的軌道與目標軌道根數的偏差在容許范圍內，且對于偏差具有一定的適應性。

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