基于陣元激勵幅度分檔的賦形波束方向圖綜合

楊垠，盛衛(wèi)星，韓玉兵，馬曉峰

南京理工大學 電子工程與光電技術學院，南京 210094

對陣列天線陣元激勵幅度進行量化，將陣元激勵幅度量化成固定數目的量化臺階，這就是陣元激勵幅度分檔問題。常用的幅度分檔優(yōu)化主要分為3種,一種是幅度錐化加權。經典的幅度錐化加權算法諸如泰勒分布加權、切比雪夫分布加權[1]等已然成熟，被廣泛應用于各種實際工程中。但是主瓣增寬、增益下降等缺點卻大大限制了這些算法的進一步應用。在這些算法的基礎上各種改進幅度錐化加權算法相繼被提出。文獻[2]提出了部分幅度錐化加權算法，只對陣列最外圍的N個陣元加以幅度錐化加權，對于其他的陣元在均勻分布加權的基礎上，加上一個切比雪夫多項式，來起到降低副瓣的作用，這樣在近似達到完整幅度錐化加權的同時，也能弱化其所帶來的缺陷。文獻[3]提出了基于測試天線增益和副瓣的幅度錐化加權，使用了單參數泰勒線源分布和單參數漢森圓分布來作為口徑分布，然后通過控制其中的參數來調整主瓣寬度、副瓣電平和增益大小之間的關系。幅度錐化加權還被應用到了大型陣列中。文獻[4]給出了兩種關于對子陣使用幅度錐化加權的方法，同時文獻[5]將傳統的子陣幅度錐化加權和遺傳算法相結合，這樣無論線陣和圓陣都可以得到優(yōu)化。

盡管各式各樣的技術被相繼提出以提升幅度錐化加權的性能，但是其低增益寬主瓣的固有缺陷卻只能被削弱而無法被消除。為了彌補其不足，密度錐化加權算法被引入。密度錐化加權算法大致分為兩種，一種是通過對陣元擺放位置不斷的試驗，以使其能準確地和理想地幅度錐度分布匹配；或是根據某種逼近技術對整個口徑分布的積分做逼近，以得到一組陣元的空間密度分布[6-10]。這種方法屬于早期的密度錐化加權算法，通過實驗或是以口徑分布作為逼近準則使得它們不能提供很準確的數據。另一種方法是一種數值方法[11]，它使用理想幅度分布作為一個概率密度函數，用這個函數來決定某個陣元是否將坐落于口徑上的固定位置。文獻[12]將密度加權陣與遺傳算法相結合，使用非線性算法對密度陣進行了優(yōu)化。

密度錐化加權陣相比幅度錐化加權陣來說在控制方向圖副瓣性能方面略有不足，同時這類算法是將陣元位置作為變量來進行加權，這在許多陣元位置固定的天線上無法適用。因此，多階密度加權陣的概念開始流行。文獻[13-15]在密度加權的基礎上提出了陣元激勵幅度分層的概念，即對加載在每個陣元上的激勵幅度分為了幾個檔位，這樣在一定程度上彌補了密度加權陣副瓣降低的不足。文獻[16]提出了一種固態(tài)陣列天線副瓣控制的方法。對于一個平面矩陣陣列，用一個平面橢圓陣列來逼近，將整個口徑按照長短軸比分為相應的N個區(qū)域，每個區(qū)域內的陣元激勵幅度都是相同的，然后通過梯度搜索的方法來得到相應區(qū)域的劃分以及陣元激勵的選取。不過，由于使用橢圓口徑來逼近，口徑面積利用率被大大減少。文獻[17-19]通過概率統計的方法，事先設計出一組處于0和1之間的數，然后根據概率理論將這組權重和理想的陣元激勵進行逼近，從而得到這組量化數值。同時期，文獻[20-21]提出了一種直接優(yōu)化量化綜合(DOQSM)的方法，將對方向圖指向性的要求變?yōu)榱藢χ靼陮挾鹊淖钚』?，并作為其目標函數；在限制方面，除了對副瓣的控制之外，還加入了對量化臺階的限制，使得優(yōu)化結果更具實際性。在近年來，多階密度加權陣開始和非線性優(yōu)化算法相結合，文獻[22-23]中分別介紹了多階加權密度陣和變異退火遺傳算法(AMAGA)以及粒子群算法相結合的應用。

本文提出了一種新的基于幅度分檔的方向圖綜合方法。該方法首先利用交替投影得到綜合方向圖的陣元激勵，然后使用概率密度分布理論對陣元激勵幅度進行量化，最后在量化陣元激勵幅度的基礎上通過半正定松弛(SDR)[24]方法得到陣元激勵的相位分布。本文結構如下：第1節(jié)給出了綜合方向圖的表達式；第2節(jié)使用概率密度分布方法得到量化的陣元激勵幅度；第3節(jié)詳述了如何根據量化陣元激勵幅度獲取陣元激勵相位的步驟，其中SDR方法的應用被重點介紹；第4節(jié)列出了算法的整體流程；第5節(jié)給出了仿真算例以及對算法性能的分析。

1 綜合方向圖

為了方便下文表述，本文使用uv坐標系來定義方向圖空間，表示為

{u=sinθcosφ

v=sinθsinφ

(1)

式中：θ和φ為俯仰角和方位角。假設有N個陣元，排布在一個任意形狀的陣列上，第n個陣元的坐標為(xn,yn),fn(u,v)為相應的嵌入式陣元方向圖。根據文獻[25]可得，陣列天線的遠場輻射方向圖為

(2)

式中：In為陣元激勵為；ψ=2π/λ為波數,λ為波長。將綜合方向圖離散化，在整個uv平面上采樣M個點得到(um,vm)|m=1,2,…,M，則綜合方向圖的矩陣表達式為

{[F]M×1=XI

[X]M×N=Fe⊙B

(3)

式中：Fe=[f1f2…fn…fN],I=[I1I2…In…IN]T,fn=[fn(u1v1)

fn(u2,v2) …fn(uM,vM)]T。符號⊙為矩陣之間的hadamard乘積。陣列導向矢量B代表了陣列的結構特性，其表達形式為

[B]M×N=[b1b2…bn…bN]

[bn]M×1=

根據上述參數表示，式(3)中的矩陣X可以表示為X=[β1β2…βn…βN],其中βn=fn⊙bn。

這里，嵌入式陣元方向圖被定義為當陣列中一個輻射陣元被激勵其他陣元接負載時的遠場輻射方向圖[26]。本文使用加權反向交替投影(Weighted Alternating Reverse Projection,WARP)算法[27]來獲取波束的無激勵幅度限制的陣元激勵。文獻[27]中已對該算法進行了詳細分析，在這里不再贅述。

2 幅度量化

在第1節(jié)中，結合WARP算法和陣列方向圖模型，得到了方向圖的無激勵幅度限制的陣元激勵。本節(jié)將給出如何對得到的激勵幅度加以優(yōu)化使其達到量化的效果。

對式(2)中的陣元激勵值幅度歸一化，并用一組隨機變量Ln來表示，這里Ln的取值為C0,C1,…,CK,(C0≡0,Ck-1

FL(um,vm)=

(4)

式中：φ(n,um,vm)=φIn+φfn(um,vm),φIn為第n個陣元的激勵相位，φfn(um,vm)為第n個陣元的陣元方向圖在(um,vm)方向的相位。FL(um,vm)稱之為隨機變量方向圖。將第1節(jié)中得到的陣元激勵用Id表示，并且將使用Id得到的綜合方向圖稱為理想方向圖。則根據式(3)，理想方向圖Fd可表示為

[Fd]M×1=XId

(5)

由于所有陣元激勵所得到的方向圖的平均值須等于理想方向圖。結合式(5)，該性質可用公式表示為

E[FL(um,vm)]=Fd(um,vm)

(6)

式中:E[FL(um,vm)]為對隨機變量方向圖的每個采樣點取均值；Fd(um,vm)為Fd中的第m個元素。從式(4)中可以看出，隨機變量方向圖中除了Ln中沒有其他隨機變量，因此式(6)可寫為

E[FL(um,vm)]=

(7)

結合式(6)和式(7)可得

(8)

(9)

式中：pn為第n個陣元激勵歸一化幅度選取檔位的概率。

這樣E[Ln]=pnCk+(1-pn)Ck+1。結合式(8)和式(9)，可得

(10)

從上述推導可以看出，量化臺階的選取標準為使量化的激勵幅度綜合出來的方向圖的平均值盡可能的和理想方向圖一致。然而僅憑此并不能使該方法具有實用價值。當得到的每個綜合方向圖都偏離理想方向圖較遠時，即使方向圖的均值等于理想方向圖也沒有用，因為這個均值是不能被具體實現的，從而統計理論也失去了其實用價值。因此，在這里我們給出了方差的概念，即綜合方向圖和理想方向圖之間的差距大小。方差可表示為

(11)

鑒于整個陣列方向圖表達式中Ln是唯一的隨機變量，結合式(7)可以將式(11)作如下變換：

(12)

(13)

式中：

α(m,p,q)=ψum(xp-xq)+ψvm(yp-yq)+

[φ(p,um,vm)-φ(q,um,vm)]

(14)

根據式(12)和式(13)，式(11)可寫為

cos(α(m,p,q))cov(Lp,Lq)

(15)

式中：cov(Lp,Lq)為Lp和Lq的協方差。從式(9)可看出，所有隨機變量之間相互獨立，因此式(15)中的cov(Lp,Lq)=0。如此，式(15)可以寫為

(16)

將式(10)代入式(16)，可得

(17)

則式(11)可寫為

(18)

(19)

由于式(19)是一個非線性優(yōu)化問題，因此可以用MATLAB中的fmincon函數來求解其最優(yōu)解。

在求得量化電平之后，根據式(19)來選取這些量化電平的分布范圍。當一個陣元的激勵幅度落在[Ck,Ck+1]之間時，可以根據式(10)將相應的概率分布pn算出來。當pn≤1-pn時，激勵幅度取Ck+1,當pn>1-pn時，激勵幅度取Ck。這樣，就得到了陣元激勵幅度量化電平以及每個量化電平的分布位置。得到的量化陣元激勵幅度用Ir表示，Ir為N×1維的列向量。

3 量化幅度加載下的陣元激勵相位分布

第2節(jié)中給出了量化陣元激勵幅度的計算方法，本節(jié)將重點描述如何在該組激勵幅度加載下獲取波束的激勵相位信息。圖1為一個腳印圖的示例，其中深灰色部分為賦形區(qū)域Si，So為非賦形區(qū)域。中灰色部分則代表了過渡區(qū)域St。

設方向圖在賦形區(qū)域內的理想形狀表達式為Gd(u,v)。為表征兩個曲面相似程度，引入指標函數：

(20)

圖1 帶有賦形區(qū)域、過渡區(qū)域、非賦形區(qū)域的腳印圖Fig.1 Footprint with shaped region, transient region and unshaped region

除綜合方向圖在賦形區(qū)域的形狀要求外，在非賦形區(qū)域的方向圖能量應抑制得足夠低以獲得較低的副瓣區(qū)域電平。?So‖F(u,v)‖2dudv可以表示非賦形區(qū)域的方向圖能量。與此同時，賦形區(qū)域的方向圖能量?Si‖F(u,v)‖2dudv需要優(yōu)化得盡可能高，這樣整個系統的能量才能最大程度地被分配在主瓣波束內，而且在過渡區(qū)域的方向圖也能有一個較快的下降速率。

考慮到上述優(yōu)化項，優(yōu)化方程可構建如下：

(21)

式中：一共有兩個正則化參數，分別為μ1和γ。其中μ1為表征副瓣電平和主瓣波動度之間關系的參數，通常根據過渡區(qū)域的大小來設定。

本文將其設定為非賦形區(qū)域和賦形區(qū)域的面積的比值。由于過渡區(qū)域在整個綜合過程中起著相當重要的作用。擴大過渡區(qū)域會導致主瓣波動度的升高，而減小它則會引起副瓣電平的變壞。賦形區(qū)域和非賦形區(qū)域中的采樣點離過渡區(qū)域越近，這種現象越明顯。基于上述理論，由于設定為非賦形區(qū)域和賦形區(qū)域的面積的比值，因此當過渡區(qū)域擴大時，μ1相應降低，以此來補償過渡區(qū)域對于綜合方向圖的影響。

第2個正則化參數γ的作用為平衡主瓣增益和副瓣電平之間的關系。在使用本文算法綜合方向圖之前，事先會確定綜合方向圖需要達到的最高副瓣電平以及主瓣增益，然后將γ設定為最高副瓣電平與主瓣增益的比值。這樣，非賦形區(qū)域內方向圖的積分和賦形區(qū)域內方向圖的積分之間即可保持這恒定的關系，從而使得綜合出來的方向圖盡可能地達到先前設定的最高副瓣電平及主瓣增益的目標。

根據離散數值積分的概念，可將式(21)中的3個優(yōu)化項寫為

(22)

(23)

式中：W1、W2和W3為3個對角矩陣，分別代表了式(22)中3個積分優(yōu)化項里數值積分的矩陣形式。其形式如下

(24)

此外

(25)

其中：

(26)

其中：Gd為Gd(u,v)的向量形式；./代表了兩個矩陣中對應位置的元素相除。

假設向量Ip代表陣元激勵的相位部分，則波束的陣元激勵可表示為I=diag(Ir)Ip的形式。代入式(23)中，則可得

(27)

式中：

(28)

根據文獻[24]，使用如下關系

ρHQρ=Tr(QρρH)

(29)

(30)

將式(30)代入式(25)中，可得

(31)

式中：Zi為一個N×N維的矩陣，其中的元素除了Zi(i,i)=1之外皆為0。由于對于Yp秩約束的存在，式(31)并不是一個凸優(yōu)化問題。因此，將秩約束去掉后，式(31)即可轉換成一個如下的凸優(yōu)化問題

(32)

使用CVX工具箱[28]即可求得Yp。

求得Yp后，如何從中分解出合適的陣元激勵相位便成了需要進一步解決的問題。傳統的分解方法有3種：① 特征值分解法(文獻[24]) ；② 降秩特征分解法(文獻[29])；③ 隨機分解法(文獻[24])。

其中，隨機分解法在三者中有最好的效果[24]，因此本文選擇隨機分解法來獲取陣元激勵的相位信息。3種方法的分析和效果已在文獻[24]中給出，因此本文不再贅述，這里直接給出相位獲取步驟。

步驟1 設定一個隨機變量個數D。

則Ip=δimin即為最終得到的相位解。

4 量化陣元激勵幅度下的方向圖綜合步驟

綜上所述，本文提出的基于概率密度分布的量化陣元激勵幅度方向圖綜合步驟如下：

步驟1 輸入方向圖的腳印圖信息。

步驟2 設定Gd(u,v)和μ1。

步驟3 使用加權交替投影算法得到綜合方向圖的無陣元激勵幅值限制的歸一化陣元激勵Id。 步驟4 對Id使用概率密度方法處理得到量化后的陣元激勵幅值。

步驟5 通過式(25)和式(26)得到Q1、Q2和Q3。 步驟6 將Q1、Q2和Q3代入式(30)得到式(32)，使用cvx工具箱求解式(32)得到Yp。

步驟7 使用隨機法從Yp中提取出最優(yōu)陣元激勵相位Ip，并得到最終陣元激勵I=diag(Ir)Ip，從而得到相應的賦形波束綜合方向圖。

5 仿真算例

本節(jié)通過3組算例對文中算法的性能進行了例證。第1組算例給出了平頂方向圖的賦形效果，算例中使用的陣元方向圖為嵌入式陣元方向圖。算例使用的腳印圖和陣列陣元排布形狀較為規(guī)則，為一個正六邊形的區(qū)域。算例給出了使用量化陣元激勵幅度綜合的方向圖與非量化陣元激勵幅度綜合的方向圖性能對比，以此來得出量化陣元激勵幅度的效果。第2組算例為對賦形波束的方向圖綜合仿真，陣列的陣元方向圖同樣均為嵌入式陣元方向圖。該算例主要意義在于檢測文中算法對于非平頂方向圖的賦形效果。第3組算例為一組對比算例，算例中給出了在陣列陣元個數相同，陣元激勵法幅度量化的檔位個數不同，以及陣列陣元個數不同，陣元激勵法幅度量化的檔位個數相同的兩種情況下，綜合方向圖的效果，從而給出了量化檔位對于綜合方向圖的影響。在這里，一些仿真參數設定如下：

1)ri=max{d(x)|x∈Si}，rt=max{d(x)|x∈St},其中d(·)代表與原點的歐幾里得距離。

2) 所有的綜合方向圖都為歸一化方向圖了。

3)M=91×181。

4) 所有陣元都是微波貼片天線。

5) 算例中的陣元激勵幅度均為歸一化陣元激勵幅度。

6) 所有算例均是在2.6 GHz主頻的筆記本電腦(Intel I5-4200M CPU 4 GB SDRAM)上進行的。

5.1 平頂方向圖綜合

圖2 陣列結構和腳印圖Fig.2 Array structure and footprint

圖3 歸一化量化陣元激勵幅度及其對數值Fig.3 Excitation amplitude and logarithmic value of normalized element array

圖4 使用非量化幅度的陣元激勵得到的綜合 方向圖及等高線 Fig.4 Synthesized pattern and its contour line with non-normalized element excitations amplitudes

本節(jié)給出了平頂方向圖的綜合算例。該算例使用的陣列在圖2(a)中被給出，為一個由91個陣元組成的六邊形陣列，陣元間距為半波長，同時腳印圖為圖2(b)中給出的六邊形規(guī)則腳印圖。賦形區(qū)域Si、過渡區(qū)域St和非賦形區(qū)域So在圖中被標出，采樣點數Min=9 931，Mext=17 924，ri=0.5，rt=0.72。圖3(a)給出了陣元激勵幅度的量化分檔。共分6檔，0、0.337 1、0.380 9、0.529 4、0.736 8和1。圖3(b)為量化檔位的對數值，可以看出量化后陣元激勵的動態(tài)范圍為4.7 dB，可以滿足大部分的工程應用要求。綜合結果在圖4中被給出。其中圖4(a)和圖4(b)為使用普通陣元激勵得到的綜合方向圖及其等高線圖，圖5(a)和圖5(b)為使用幅度量化的陣元激勵得到的綜合方向圖及其等高線圖。從圖4和圖5中可看出，不論是使用量化幅度的陣元激勵還是使用非量化幅度的陣元激勵，綜合方向圖的賦形區(qū)域均被-3 dB等高線完全圍住。其中，使用非幅度量化的陣元激勵得到的綜合方向圖在主瓣區(qū)域內的波動度為2 dB，而使用量化幅度的陣元激勵得到的綜合方向圖在主瓣內最大波動度為3 dB。與此同時，副瓣最高電平值分別為-23.62 dB和-20 dB。因此，幅度量化后的陣元激勵綜合出的方向圖性能相比量化前并沒有很大的衰退。此外，圖4中的綜合方向圖在波束離開賦形區(qū)域后立刻開始下降，并且在賦形區(qū)域達到了-20 dB，這說明綜合方向圖能夠滿足腳印圖的設定。算例中方向圖的方向性系數為13.001。

圖5 使用量化幅度的陣元激勵得到的 綜合方向圖及等高線 Fig.5 Synthesized pattern and its contour line with normalized element excitations amplitudes

5.2 賦形方向圖綜合

本節(jié)給出了使用幅度量化的陣元激勵對賦形方向圖的綜合結果。圖6(a)給出了綜合方向圖的腳印圖和所用的陣列。波束的腳印圖為一個長方形，Min=3 898，Mext=24 857,ri=0.316 2，rt=0.514 8。賦形波束頂部形狀為

Gd(um,vm)=((um)2+(vm)2+0.2)|(um ,vm )∈Si

(33)

圖6(b)給出了賦形所用的陣列圖。陣列為13×13的方陣，陣元間距半波長，每個陣元的陣元方向圖為嵌入式陣元方向圖。

圖7和圖8給出了賦形方向圖的綜合展示。其中，圖7為使用非幅度量化的陣元激勵綜合的方向圖賦形結果，圖8為使用幅度量化的陣元激勵綜合的方向圖賦形結果。兩種情況下，波束的最大副瓣電平值均未超過-20 dB，同時賦形波束在賦形區(qū)域內的形狀與理想方向圖基本一致，最大差距不超過1 dB。此外，從圖中可以看出，使用本文算法得到的賦形方向圖在性能上與使用非量化幅度陣元激勵得到的賦形方向圖相差無幾，這說明本文算法得到的量化幅度的陣元激勵可以較好地完成賦形波束的方向圖綜合。圖9給出了該組算例的陣元激勵量化幅度分布圖。陣元激勵幅度的量化共分成了9個檔位，分別是1、0.81、0.76、0.67、0.64、0.61、0.56、0.55和0。圖9(a)給出了量化陣元激勵幅度的分布，圖9(b)為其對數取值。

圖6 賦形波束腳印圖及陣列Fig.6 Footprint of shaped-beam pattern and array structure

圖7 非幅度量化陣元激勵綜合的長方形賦形波束Fig.7 Rectangular shaped-beam pattern synthesis with non-normalized element excitation amplitudes

圖8 幅度量化陣元激勵綜合的長方形賦形波束Fig.8 Rectangular shaped-beam pattern synthesis with normalized element excitation amplitudes

圖9 歸一化量化陣元激勵幅度及其對數值Fig.9 Normalized element excitation amplitudes and logarithm value of arrary

5.3 量化檔位個數的影響

在方向圖綜合問題中，陣元激勵的幅度個數作為變量的自由度對綜合方向圖的性能有著極大的影響，因此本節(jié)給出了陣元激勵幅度量化檔位個數對于綜合方向圖的影響。賦形算例為使用圖2(a)中的正六邊形陣列來完成一個腳印圖為正方形的平頂方向圖。腳印圖如圖10所示，其中Min=6 063,Mext=23 039,ri=0.282 9,rt=0.565 7。

表1給出了在不同陣元激勵幅度量化檔位個數的情況下，綜合方向圖的性能。表中列出了賦形區(qū)域波束的波動度和副瓣區(qū)域的最高電平值兩個評判標準， 陣元激勵幅度的量化檔位個數為12、10、8、6、4。陣元激勵的幅度和相位可以看做方向圖綜合問題中的優(yōu)化變量，因此量化檔位的個數即為優(yōu)化變量的自由度。當自由度大的時候，就可以得到較好的優(yōu)化結果。而這一現象也從表中可以看出。當量化檔位個數為12時，綜合出的方向圖性能和使用非幅度量化的陣元激勵得到的方向圖性能相似，并沒有相差太多；而隨著陣元激勵幅度的量化檔位個數減少，綜合方向圖的性能出現了大幅度的衰退。當檔位個數為4時，綜合方向圖的性能已經嚴重失真。因此，當陣元個數固定時，量化檔位越多，綜合方向圖效果越好。圖11給出了綜合方向圖主瓣波動度和最高副瓣電平隨陣元激勵幅度量化檔位變化而變化的趨勢圖。

圖10 正方形腳印圖Fig.10 Rectangular footprint

表1 不同陣元激勵幅度量化檔位個數下波束性能

Table 1 Beam performance with different quantizations of normalized elements excitation amplitudes

陣元激勵幅度量化檔位個數最大副瓣電平值/dB賦形區(qū)域波束最大波動度/dB4-14.65.86-15.92.38-18.42.010-22.41.912-23.11.9

表2給出了在相同的陣元激勵幅度量化臺階個數下，不同陣列陣元數對綜合方向圖的性能影響。表中同樣列出了賦形區(qū)域波束波動度和副瓣區(qū)域最高電平值兩個評判標準，陣元激勵幅度的量化檔位個數為10，陣列陣元數為91、127、169、217、271和331。從表中可以看出，在同等個數的量化檔位個數下，綜合方向圖的效果的性能和陣列陣元個數并沒有線性的關系。這是因為，當陣列陣元個數變多的時候，雖然量化檔位個數相對減少導致陣元激勵幅度的自由度在減少，然而陣元激勵相位的自由度卻在增加，因此綜合方向圖的性能并沒有過多的惡化。

圖11 量化檔位個數變化時綜合方向圖的性能曲線 Fig.11 Synthesized pattern performance curves with changing normalized element excitations amplitudes quantizations

表2 陣元激勵幅度量化檔位個數為10時波束性能和陣列陣元個數的關系

Table 2 Relationship between beam performance and array element numbers when quantizations of element excitation amplitudes are 10

陣列陣元個數最大副瓣電平值/dB賦形區(qū)域波束最大波動度/dB91-22.413.0127-23.003.1169-23.003.0217-22.903.2271-27.532.9

5.4 算例比對

除了使用文中算法來對方向圖進行仿真外，本文給出了使用其他算法來綜合方向圖的算例，以此來進行比較。使用粒子群算法來得到帶有量化陣元激勵幅值[30,31]是近來提出的一種新方法，由于其良好的綜合效果而被廣泛的應用于各種背景中。因此這里本文選擇文獻[30]和文獻[31]中的兩個算法來作為對比。

為了使對比更具有說服力，使用了文獻[30]中的仿例作為仿真場景來完成3個算法的對比。使用的陣列為陣元數為64的線陣，陣元間距半波長，同時所有陣元均為各向同性陣元。仿真波束為一個指向零點的針狀波束。圖12中給出了本文算法以及文獻[30]和文獻[31]中算法的綜合結果比較。圖12(a)及圖12(b)為使用本文算法得到的綜合方向圖以及陣元激勵幅度檔位分布，圖12(c)及圖12(d)為使用文獻[30]中算法得到的綜合方向圖以及陣元激勵幅度檔位分布，圖12(e)及圖12(f)為使用文獻[31]中算法得到的綜合方向圖以及陣元激勵幅度檔位分布。陣元激勵幅度檔位設置為8個檔位，兩個算法得到的量化陣元激勵幅值均為對稱式分布。使用本文算法得到的量化陣元激勵幅度為(0.079 3，0.197 5，0.334 7，0.453 3，0.606 0，0.746 3，0.880 1，1)，使用文獻[30]中算法得到的量化陣元激勵幅度為(0.075 5，0.206 4，0.360 6，0.532 5，0.698 6，0.841 1，0.945 1，1)，使用文獻[31]中算法得到的量化陣元激勵幅度為(0.139，0.260 8，0.388 0，0.520 1，0.624 4，0.755 4，0.881 2，0.999 8)。表3給出了該對比算例中兩個綜合方向圖的具體參數。

從圖12和表3中可以看出，本文算法在陣元激勵幅值動態(tài)范圍一項上占有優(yōu)勢，在方向圖性能方面略遜于文獻[30,31]中的算法。然而，文獻[30,31]使用了粒子群算法作為優(yōu)化方法，其良好的綜合結果是以綜合時間以及計算復雜度作為代價來獲取的。因此這里對3個算法的綜合時間及計算復雜度進行分析對比。

圖12 64陣元線陣的綜合方向圖效果對比Fig.12 Comparison of performance of synthesized pattern using linear array with 64 elements

表3 使用3個算法得到的針狀波束綜合效果

Table 3 Comparison of performance of pencil beam synthesis using three algorithms

算法最高副瓣電平值/dB3dB寬度/(°)陣元激勵幅度動態(tài)范圍/dB本文算法-33.13.8920文獻[30]中算法-35.482.41825文獻[31]中算法-35.592.4120

表4給出了3個算法的計算復雜度以及在綜合5.4節(jié)的算例時3個算法所用時間。由于3個算法的核心及主要工作量均在于如何獲取陣元激勵幅度檔位和加權寬度，因此這里的對比也將著重于分析獲陣元激勵幅度檔位和加權寬度的時間及復雜度。

1) 本文對式(19)的求解使用了MATLAB中的fmincon工具箱，求解算法為序列二次規(guī)劃算法(SQP)[32]。根據文獻[32]中提及的sqp算法的復雜度，本文算法獲取陣元激勵幅度檔位和加權寬度的時間復雜度可以寫為O(K3.5)，其中K為量化陣元激勵幅度檔位。

表4 使用本文算法以及文獻[30,31]中算法綜合針狀波束的時間

Table 4 Comparison of time of pencil beam synthesis using proposed algorithm and algorithms of Refs.[30,31]

算法綜合時間/s計算復雜度本文算法4.36O(K3.5)文獻[30]中算法45.00O(χ1(MCI1NCP1K+MSI1NSP1K))文獻[31]中算法60.00O(χ2(MCP2NCP2K+MSI2NSP2K+TpMp(Np)2))

從上述分析中可以看出，本文算法的優(yōu)點可以歸納如下：

1) 效果良好。從仿真算例可以看出，仿真結果滿足大部分實際工程需求。

2) 速度快，計算步驟不繁瑣。從對比中可以看出，由于計算過程較為復雜，文獻[30,31]中算法的計算復雜度含有較多的變量，這些變量的取值往往大于陣元激勵幅度檔位個數，因此整個綜合時間會受到多個變量的共同影響，這不僅會增大計算量，也對預先估計算法的運行時間增添了難度。本文算法的計算復雜度僅和量化陣元激勵幅度的檔位個數有關，不僅綜合過程簡單，同時也能提供較快的綜合速度，這也是本文算法最大的優(yōu)勢所在。

3) 陣元激勵幅值動態(tài)范圍的減少也使得本文算法有著更廣泛的工程應用性。

6 結 論

本文提出了一種如下的新型的基于幅度分檔的賦形波束方向圖綜合算法。

1) 提出了使用概率密度理論得到量化的陣元激勵幅度的方法，使得量化過程可以根據任意形狀的陣面和陣元柵格排布來劃分幅度的檔位區(qū)間。

2) 在1)的基礎上使用半松弛正定方法來得到陣元激勵的相位分布，利用優(yōu)化過的相位分布減小因陣元激勵幅度量化所帶來的誤差，從而進一步提高最終方向圖的性能效果。

本文實現方法簡單，無需迭代，從而有著更廣泛的適用性。仿真結果驗證了本文方法的正確性和有效性。

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