邊坡形變Verhulst建模及后驗(yàn)差檢驗(yàn)

楊豪 劉永來 徐瀚周

摘要：基于GNSS監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，采用Verhulst模型對(duì)水庫邊坡區(qū)域地表沉降與時(shí)間問題進(jìn)行建模研究，并以后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對(duì)建模結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明，該模型計(jì)算簡單，模型參數(shù)較少，預(yù)測(cè)精度較高，能夠有效的表征邊坡監(jiān)測(cè)體的沉降變化規(guī)律。

Abstract： Based on the GNSS monitoring data， the Verhulst model is used to modeling the surface subsidence and the time problem in the slope area of the reservoir. The model test results are verified by the post-test difference method. The results show that the model is simple， the model parameters are less， the prediction accuracy is higher， which can effectively characterize the variation of slope monitoring body settlement.

關(guān)鍵詞：Verhulst模型；邊坡沉降；后驗(yàn)差檢驗(yàn)

Key words： Verhulst model；slope settlement；posterior difference test

中圖分類號(hào)：P258 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2018）12-0110-03

0 引言

隨著自然災(zāi)害的頻繁發(fā)生，變形監(jiān)測(cè)與數(shù)據(jù)分析已成為工程實(shí)踐的重要組成部分。在長期的斗爭中，人們逐漸認(rèn)識(shí)到監(jiān)測(cè)只是基礎(chǔ)，數(shù)據(jù)分析和預(yù)警才是關(guān)鍵[1，2]?；伦鳛橹卮蟮倪吰率鹿?，具有較大的破壞性[3]。因此，有必要對(duì)其受力過程和變形機(jī)理進(jìn)行深入的分析，建立動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)模型，合理、科學(xué)的作出預(yù)警。

縱觀已有的研究成果，變形觀測(cè)數(shù)據(jù)分析主要包括回歸分析、灰色理論和時(shí)間序列等方法[4，5]。費(fèi)爾哈斯（Verhulst）模型[6]作為灰色理論的一種特殊模型，是由德國生物學(xué)家Verhulst于1837年在研究生物繁殖規(guī)律時(shí)提出的[6]。主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，即S形過程。該過程與邊坡沉降機(jī)理具有良好的對(duì)應(yīng)關(guān)系。本文以此來研究水庫邊坡區(qū)域地表沉降與時(shí)間問題，以期能夠有效地反映邊坡監(jiān)測(cè)體的沉降變化規(guī)律。

1 邊坡形變Verhulst建模

1.1 粗差探測(cè)與數(shù)據(jù)插補(bǔ)

由于形變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)受監(jiān)測(cè)設(shè)備、外界監(jiān)測(cè)環(huán)境以及觀測(cè)者主觀因素的影響，外業(yè)獲取的數(shù)據(jù)中很有可能存在粗差。因此需要對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。

變形粗差通常滿足以下的條件[7]：

式中，et為監(jiān)測(cè)值的殘差，s為標(biāo)準(zhǔn)差，k為待定參數(shù)，可由所選擇的統(tǒng)計(jì)判別準(zhǔn)則和樣本特征確定。本文采用格拉布斯準(zhǔn)則進(jìn)行粗差探測(cè)：

假設(shè)存在一組等精度獨(dú)立觀測(cè)序列：x1，x2，…，xn，其算術(shù)平均值為：

則觀測(cè)序列的殘差為：

則殘差中誤差為：

m= （4）

由式（4）可知：當(dāng)et>km時(shí)，認(rèn)為xt中含有粗差，應(yīng)予以剔除，以保證后期數(shù)據(jù)處理的精度。k=λ（α，n），k的值可根據(jù)剔除水平α和樣本數(shù)n查表求得，具體數(shù)值見相應(yīng)規(guī)范。

在對(duì)含有粗差的形變監(jiān)測(cè)序列進(jìn)行粗差剔除后，為了不改變?cè)急O(jiān)測(cè)序列的完整性，有必要對(duì)剔除粗差后的序列進(jìn)行數(shù)據(jù)插補(bǔ)。數(shù)據(jù)插補(bǔ)滿足以下條件：

①當(dāng)為單點(diǎn)粗差時(shí)，即xt為粗差，則相應(yīng)的插補(bǔ)值為：

xt？坩 （5）

②當(dāng)為雙點(diǎn)粗差時(shí)，即xt，xt+1為粗差，則相應(yīng)的插補(bǔ)值為：

xt？坩xt+1？坩 （6）

1.2 建模數(shù)據(jù)預(yù)處理

在對(duì)數(shù)據(jù)序列進(jìn)行建模分析前，需要進(jìn)行預(yù)處理，以保證數(shù)據(jù)的合理性。設(shè)序列為x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），計(jì)算序列的級(jí)比為：

λ（k）=，（k=2，3，…，n） （7）

當(dāng)所有的級(jí)比λ（k）都落入可容覆蓋范圍Θ=（e，e）內(nèi)時(shí)，說明序列x（0）滿足建立Verhulst模型的數(shù)據(jù)要求，則可進(jìn)行擬合、預(yù)測(cè)。否則，需對(duì)序列進(jìn)行變換處理，常用的變換方法有加常數(shù)的平移變換。

1.3 Verhulst建模原理

設(shè)x（0）為原始數(shù)據(jù)序列，有

x（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）） （8）

x（1）為x（0）的一次累加生成（1-AGO）序列，有

x（1）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）） （9）

z（1）為x（1）的均值生成序列，有

z（1）=（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）） （10）

則稱

x（0）+az（1）=b（z（1））2（11）

為Verhulst模型，a和b為參數(shù)。稱

+ax（1）=b（x（1））2 （12）

為Verhulst模型的白化方程，其中t為時(shí)間。

設(shè)Verhulst模型如上所述，若

=[a，b]T （13）

為參數(shù)列，且

B=-z（1）（2） （z（1）（2））2-z（1）（3） （z（1）（3））2 -z（1）（n） （z（1）（n））2，Y=x（0）（2）x（0）（3） x（0）（n） （14）

則參數(shù)列的最小二乘估計(jì)滿足

=[，]T=（BTB）-1BTY （15）

設(shè)Verhulst模型如上所述，則白化方程的解為

x（1）t= （16）

灰色Verhulst模型的時(shí)間響應(yīng)序列為

（1）（k+1）= （17）

累減還原式為

（0）（k+1）=（1）（k+1）-（1）（k）（18）

2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證Verhulst模型的有效性，應(yīng)用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法[8]對(duì)模型擬合結(jié)果進(jìn)行分析。設(shè)t時(shí)刻的邊坡形變觀測(cè)值為x（0）（t），模型的擬合值為（0）（t），x為原始序列的平均值，即x=x（0）（t），e（t）為觀測(cè)值與擬合值之差，也稱為t時(shí)刻的殘差，即e（t）=x（0）（t）-（0）（t），e為其平均值，即e=e（t）。原始數(shù)據(jù)的均方差為S1=，殘差均方差為S2=，則后驗(yàn)差比值C定義為：

C= （19）

小誤差概率定義為：

p=P{e（t）-<0.6745S1} （20）

C和p作為評(píng)價(jià)Verhulst模型擬合性能好壞的兩個(gè)指標(biāo)，按p、C的大小，一般可將擬合精度分為4類，見表1。

3 Verhulst建模及后驗(yàn)差檢驗(yàn)流程

采用流程圖的形式表示Verhulst模型的計(jì)算過程如圖1所示。

4 算例與分析

以阿海水電站庫區(qū)邊坡某監(jiān)測(cè)點(diǎn)的GNSS沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例（表2）。采用Verhulst模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模研究，以1-10期為擬合區(qū)間，11-12期為預(yù)測(cè)區(qū)間，計(jì)算結(jié)果見表2。

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，繪制預(yù)測(cè)曲線如圖2所示。

以后驗(yàn)差檢驗(yàn)法對(duì)模型擬合能力進(jìn)行驗(yàn)證，相關(guān)指標(biāo)數(shù)值及所對(duì)應(yīng)的精度等級(jí)見表3。

后驗(yàn)差驗(yàn)證結(jié)果表明，Verhulst模型能夠有效地表征水庫邊坡區(qū)域地表沉降與時(shí)間的關(guān)系問題，且具有較好的擬合、預(yù)測(cè)能力。

5 結(jié)論

研究結(jié)果表明，Verhulst模型能夠較好地表征水庫邊坡的沉降變化情況。這主要是由于模型本身所描述的系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律與水庫邊坡沉降的發(fā)生過程具有內(nèi)在的一致性。因此，在實(shí)際工程中，可以依據(jù)GNSS監(jiān)測(cè)水庫邊坡的沉降觀測(cè)資料，利用Verhulst模型來預(yù)測(cè)其不同時(shí)刻的沉降量。由于Verhulst模型要求的觀測(cè)數(shù)據(jù)不多，且計(jì)算較為簡單，因此，值得在實(shí)際工程中驗(yàn)證與運(yùn)用。

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