一類分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性

薛益民，蘇有慧，劉 潔，蘇 瑩

(徐州工程學院 數(shù)學與物理科學學院,江蘇 徐州 221018)

分數(shù)階微分方程具有深刻的物理背景和豐富的理論內(nèi)涵，與整數(shù)階微分方程相比，分數(shù)階微分方程在描述自然、物理、化學等諸多現(xiàn)象時更具準確性，因此，分數(shù)階微分方程邊值問題的研究，對解決現(xiàn)實生活中的非線性問題具有重要意義.幾十年以來，分數(shù)階微分方程發(fā)展迅速，逐漸成為非線性分析的重要的分支之一，受到越來越多研究者關注[1-5]，同時，對分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)的研究也日益得到重視，其在熱力學、流體力學、生物科學、擴散過程等科學領域正在被廣泛應用[6-9].

文獻[10]研究了下面Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程

借助于錐上的不動點定理，獲得了正解的存在性以及多重性結(jié)果，其中1<α≤2.

文獻[11]研究了如下Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程

利用錐拉伸與壓縮不動點定理，給出了上述方程正解的存在性定理，其中2<α≤3，λ>0.

文獻[12]研究了下列Riemann-Liouville型分數(shù)階微分方程

運用錐上的不動點定理與Leray-Schauder非線性抉擇理論等方法，給出了上述方程正解的存在性、多重性和唯一性的充分條件，其中3<α≤4.

受文獻[10-12]啟發(fā)，將研究下列非線性分數(shù)階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題

(1)

解的存在性，其中α<2,β≤3,1<γ,δ≤2,1+γ≤α,1+δ≤β,f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)),Dλ表示λ階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，λ∈{α,β,γ,δ}.借助格林函數(shù)的性質(zhì)和Guo-Krasnosel'skii's不動點定理，得到該耦合系統(tǒng)解的存在性結(jié)果.

1 預備知識

為研究需要，本節(jié)給出Riemann-Liouville型分數(shù)積分等定義以及相關結(jié)果，詳見[13-18].

定義1[13]函數(shù)f:R+→R的α>0階Riemann-Liouville積分為

其中右邊在R+上逐點定義.

定義2[13,14]函數(shù)f:R+→R的α>0階Riemann-Liouville導數(shù)為

其中n=[α]+1,[α]表示實數(shù)α的整數(shù)部分，右邊在R+上逐點定義.

引理2[13]若α,β>0,f(t)∈L(0,1)，則有

1)DβIαf(t)=Iα-βf(t),α>β；

2)DαIαf(t)=f(t)；

下面介紹本文的主要工具.

1) ‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω2；

2) ‖Ax‖≥‖x‖,?x∈P∩?Ω1且‖Ax‖≤‖x‖,?x∈P∩?Ω2.

引理4對于?y(t)∈C[0,1],2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α分數(shù)階微分方程邊值問題

(2)

(3)

證明 由引理2的3)，方程(2)等價于積分方程

(4)

由u(0)=0，可得c3=0.由引理2的1)和2)，可得

由Dγu(0)=Dγu(1)=0，有

將c1,c2,c3代入(4)，有

類似可得

引理5假設G(t,s)=(Gα(t,s),Gβ(t,s))，則G(t,s)滿足：

1) 對?t,s∈[0,1]，有G(t,s)∈C([0,1]×[0,1])；

2) 對?t,s∈[0,1]，有G(t,s)≥0，且對?t,s∈(0,1)，有G(t,s)>0；

證明：為敘述方便，在Ga(t,s),的表達式中，記

由G(t,s)的表達式，易知1)和2)成立.下面主要證明3)和4).

3) 由2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α，有

因此，Gα(t,s)關于t是單調(diào)增函數(shù).類似可得，Gβ(t,s)關于t也是單調(diào)增函數(shù)，故3)成立.

4) 由3)，對于2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α,s∈[0,1]，有

因此

類似可得

故4)成立.

2 主要結(jié)論

本節(jié)將借助格林函數(shù)的性質(zhì)和Guo-Krasnosel'skii's不動點定理，研究耦合系統(tǒng)(1)解的存在性.

U={(u(t),v(t))∈X×Y:u(t)≥0,v(t)≥0,t∈[0,1]}.

定義錐V?X×Y為

其中μα和μβ由引理5的(4)給出.對?(u,v)∈X×Y，定義算子T:X×Y→X×Y為

(5)

由引理4知T的不動點即為耦合系統(tǒng)(1)的解.

引理6設f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))，則算子T:U→U和T:V→V是全連續(xù)的.

證明： 對?(u,v)∈U，由f,g和G(t,s)的非負性，知T(u,v)(t)≥0，因此，T(U)?U，即T:U→U.首先，證明算子T:U→U一致有界.對?(u,v)∈U，由f,g和G(t,s)的連續(xù)性，知算子T是連續(xù)的.令

Ω={(u(t),v(t))|(u,v)∈U,‖(u(t),v(t))‖≤R,R>0,t∈[0,1]}，

則Ω是U的一個非空有界閉子集.由f,g的連續(xù)性，知對?(u,v)∈Ω,t∈[0,1]，存在K1,K2>0，使得f(t,v(t))≤K1，g(t,u(t))≤K2.

由Gα(t,s),Gβ(t,s)的非負性，有

和

其次，證明算子T:U→U等度連續(xù).對?t,s∈[0,1]，由引理5的1)，知Gα(t,s)是連續(xù)的，從而Gα(t,s)在[0,1]×[0,1]上一致連續(xù).因此，對固定的s∈[0,1]和任意的t∈[0,1]，存在δ>0，當t1,t2∈[0,1]且|t2-t1|<δ時，有|Gα(t2,s)-Gα(t1,s)|<ε/(2K1).

所以

(6)

類似可得

(7)

由(6)、(7)，可得

‖T(u,v)(t2)-T(u,v)(t1)‖<ε,

因此，算子T:U→U是等度連續(xù)的.依據(jù)Arzela-Ascoli定理，可知算子T:U→U是全連續(xù)的.

下面證明T(V)?V.對?(u,v)∈U，根據(jù)U和T的定義，可得T(U)∈U.由引理5的4)，對?t∈[1/2,1]，有

(8)

由引理6，有

(9)

由(8)、(9)，可得

Tαv(t)≥μα‖Tαv‖,?t∈[1/2,1],

類似可得

Tβu(t)≥μβ‖Tβu‖,?t∈[1/2,1].

因此T(u,v)∈V，即T(V)?V.接下來，類似T:U→U的證明過程，即得T:V→V是全連續(xù)的.

為敘述方便，記

定理1設f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))，若下面條件成立：

(H1)存在常數(shù)a1,a2>0且min{a1,a2}≥1滿足

a1Lα

(H2)存在常數(shù)b1,b2>0且b1+b2≤1滿足

0≤f∞

則耦合系統(tǒng)(1)至少有一個解.

證明由(H1)，可選擇充分小的正常數(shù)ε1和ε2滿足

0<ε1

因此，存在常數(shù)r>0滿足

f(t,v)≥(f0+-ε1)v,(t,v)∈[0,1]×[0,r]

(10)

和

g(t,u)≥(g0+-ε2)u,(t,u)∈[0,1]×[0,r],

令

Ωr={(u,v):(u,v)∈X×Y,‖(u,v)‖

由V的定義，設(u,v)∈V∩?Ωr，對?s∈[1/2,1]，有

(11)

設t∈[1/2,1]，由(H1)、(10)、(11)和引理5的4)，對?(u,v)∈V∩?Ωr，有

類似可得

‖Tβu(t)‖≥a2‖u‖,

因此

‖T(u,v)‖ =‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≥a1‖v‖+a2‖u‖≥min{a1,a2}(‖v‖+‖u‖)

=min{a1,a2}‖(u,v)‖≥‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≥‖(u,v)‖，?(u,v)∈V∩?Ωr.

另一方面，由(H2)，可選擇充分小的正常數(shù)ε3和ε4滿足

0<ε3

因此，存在常數(shù)R>0滿足

f(t,v)≤(f∞+ε3)v,(t,v)∈[0,1]×(R,∞)

(12)

和

g(t,u)≤(g∞+ε4)u,(t,u)∈[0,1]×(R,∞).

(13)

由f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))，可知存在非負常數(shù)Nα,Nβ,使得

(14)

由(12)、(13)和(14)，可得

f(t,v)≤(f∞+ε3)v+Nα,(t,v)∈[0,1]×[0,∞)

和

g(t,u)≤(g∞+ε4)u+Nβ,(t,u)∈[0,1]×[0,∞).

令

ΩR*={(u,v):(u,v)∈X×Y,‖(u,v)‖

其中

(15)

設(u,v)∈V∩?ΩR*,t∈[0,1]，由引理5的3)和(15)，有

因此

‖Tαv(t)‖≤b1‖(u,v)‖,(u,v)∈V∩?ΩR*,

類似可得

‖Tβv(t)‖≤b2‖(u,v)‖,(u,v)∈V∩?ΩR*,

所以

‖T(u,v)‖ =‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≤b1‖(u,v)‖+b2‖(u,v)‖

=(b1+b2)‖(u,v)‖≤‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≤‖(u,v)‖，(u,v)∈V∩?ΩR*.

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