《鴿巢問題》課堂實(shí)錄

孟繁榮

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：今天老師給大家?guī)硪粋€(gè)推理游戲，想玩嗎？

生：想！

師：一副撲克牌去掉大小王，一共多少?gòu)垼?/p>

生：52張。

師：撲克牌有幾種花色呢?

生：四種。

師：現(xiàn)在我就用這52張牌來做一個(gè)推理游戲。老師需要5名同學(xué)當(dāng)助手，請(qǐng)上來5名同學(xué)。

師：請(qǐng)你們每人任意抽取一張牌，不要讓我看到，自己看好牌記在心里，把牌收好了。

（五名學(xué)生每人各抽取一張牌）

師：下面就是老師展示自己推理能力的時(shí)刻了！我敢肯定在你們這5張牌里，至少有兩張是同一花色的，相信嗎？

生：不信！

師：好，請(qǐng)亮牌，大聲報(bào)出你手中牌的花色！

（學(xué)生大聲報(bào)出抽到的牌的花色）

師：同一花色的請(qǐng)站到一起，把牌舉起來面向大家，老師猜對(duì)了嗎？

生：猜對(duì)了！

師：如果讓這5名同學(xué)反復(fù)抽牌，不管怎樣，總是至少有2張牌是同一花色的！

師：同學(xué)們，你們想知道其中的奧秘嗎？其實(shí)，在剛才的推理游戲中蘊(yùn)涵著一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)原理，下面我們就來研究這個(gè)數(shù)學(xué)原理，讓我們先從最簡(jiǎn)單的情況入手。

二、自主探究，感知模型

出示例1：把4支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆。

師“：總有”和“至少”這兩個(gè)詞是什么意思？

生“：總有”就是總是有，一定有。

生“：至少”就是最少、最起碼。

師：下面就請(qǐng)同學(xué)們想辦法驗(yàn)證，可以動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫一畫或?qū)懸粚憽?/p>

（學(xué)生驗(yàn)證，展示交流）

生：我們用畫圖的方法把擺的過程記錄了下來，一共有四種情況：第一種情況第一個(gè)筆筒中放4支，后兩個(gè)筆筒中不放；第二種情況第一個(gè)筆筒中放3支，第二個(gè)筆筒放1支，最后一個(gè)筆筒不放；第三種情況前兩個(gè)筆筒各放2支，第三個(gè)筆筒不放；第四種情況第一個(gè)筆筒放2支，后兩個(gè)筆筒各放1支。不管哪種情況，總有一個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆，從而驗(yàn)證了這一結(jié)論的正確性。

師：請(qǐng)你把符合要求的筆筒用彩筆圈出來供大家檢驗(yàn)。

（學(xué)生逐一圈出）

生：我覺得這個(gè)結(jié)論有問題，（4，0，0）有一個(gè)筆筒里有4支鉛筆，不是2支。

生：至少是2支，4支不也至少是2支嗎？

生：（2，2，1）就不符合剛才的結(jié)論，有兩個(gè)筆筒里都是2支鉛筆。

生：“總有一個(gè)”的意思就是存在1個(gè)即可，可以存在2個(gè)或多個(gè)。

師：像這樣把所有情況都一一列舉出來，從而得出結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中叫“枚舉法”。

生：我們組用了分解數(shù)字的方法，看起來比畫圖更清楚，也有四種情況：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1），總有一個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。

師：把4分解成3個(gè)數(shù)，與枚舉法相似，也有4種情況，每一種情況分得的3個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)是不小于2的數(shù)。

生：我們組是這樣做的：先往每個(gè)筆筒里放入1支鉛筆，這樣還剩下1支鉛筆，剩下的這1支還要放在筆筒里，但是不管放進(jìn)哪個(gè)筆筒，都會(huì)出現(xiàn)1個(gè)筆筒中放入2支鉛筆的情況。這其實(shí)就是先將4支鉛筆平均分，余下的1支放入其中任意1個(gè)筆筒里。

師：她說的你們明白了嗎？

生：就是先平均分，4÷3=1……1，先往每個(gè)筆筒里放1支，三個(gè)筆筒中共放進(jìn)3支，還剩1支，這1支無(wú)論放進(jìn)哪個(gè)筆筒中，那個(gè)筆筒中就至少有2支鉛筆。

師：為什么要平均分呢？（板書：平均分）

生：平均分就可以使每個(gè)筆筒中的筆盡可能地少一點(diǎn)。題目說總有一個(gè)筆筒中至少有2支筆，想辦法讓每個(gè)筆筒中筆的支數(shù)盡可能地少，就有可能出現(xiàn)和題目意思不一樣的情況。

師：但是這樣只能證明總有一個(gè)筆筒中肯定會(huì)有2支筆，怎么能證明至少有2支呢？

生：平均分已經(jīng)使每個(gè)筆筒中的筆盡可能地少了，如果這樣也符合，那么其他的情況就更符合了。

師：剛才我們用了“平均分”的方法，商1和余數(shù)1意義相同嗎？

生：不相同。商1表示每個(gè)筆筒里放1支，余數(shù)1表示還剩1支。

師：到現(xiàn)在為止，我們可以得出什么結(jié)論？

生：把4只鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，無(wú)論怎么放，總有1個(gè)筆筒里至少放進(jìn)2只鉛筆。

三、適時(shí)引導(dǎo)，構(gòu)建模型

師：剛剛我們用多種方法驗(yàn)證了這一結(jié)論的正確性，在諸多方法中，你覺得哪種方法最簡(jiǎn)便？

生：用平均分的方法最簡(jiǎn)便。

師：如果把5支鉛筆放進(jìn)4個(gè)筆筒里，會(huì)是什么結(jié)果呢？能用算式表示嗎？

生：不管怎么放，總有1個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。因?yàn)?÷4=1……1，假設(shè)先往每個(gè)筆筒里放進(jìn)1支筆，還剩1支，這1支無(wú)論放進(jìn)哪個(gè)筆筒，那個(gè)筆筒里就至少有2支鉛筆了。

師：6支鉛筆放進(jìn)5個(gè)筆筒，結(jié)果如何？

生：不管怎么放，總有1個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。因?yàn)?÷5=1……1，假設(shè)先往每個(gè)筆筒里放進(jìn)1支筆，還剩1支，這1支無(wú)論放進(jìn)哪個(gè)筆筒，那個(gè)筆筒里就至少有2支鉛筆了。

師：你能像老師這樣再舉些例子嗎？

生：把7支鉛筆放進(jìn)6個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。

生：把10支鉛筆放進(jìn)9個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。

生：把100支鉛筆放進(jìn)99個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒中至少有2支鉛筆。

……

（引導(dǎo)學(xué)生采用假設(shè)的思路熟練地表達(dá)）

師：你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：只要鉛筆的數(shù)量比筆筒多1，那么總有一個(gè)筆筒至少要放進(jìn)2支筆。

師：如果有n（n≠0）個(gè)筆筒，鉛筆的支數(shù)如何表示呢？總有一個(gè)筆筒中至少放進(jìn)幾支鉛筆？

生：鉛筆的支數(shù)用n+1表示。（n+1）÷n=1……1，所以總有一個(gè)筆筒中至少放進(jìn)2支鉛筆。

師：剛才我們研究了筆放入筆筒中，類似的問題還有把書放進(jìn)抽屜里、鴿子飛回鴿巢里等等。

師：同學(xué)們的這一發(fā)現(xiàn)，稱為“鴿巢問題”（板書：鴿巢問題），最先是由19世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷提出來的，所以又稱“狄里克雷原理”，也稱為“鴿巢原理”。

四、運(yùn)用模型，解決問題

師：“鴿巢原理”的應(yīng)用是千變?nèi)f化的，運(yùn)用這個(gè)原理可以解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結(jié)果。運(yùn)用時(shí)關(guān)鍵是找出誰(shuí)是“鴿巢”，誰(shuí)是“鴿子”。下面我們應(yīng)用這一原理解決問題。

師：三個(gè)小朋友同行，其中必有幾個(gè)小朋友性別相同？為什么？

生：這道題中男、女兩個(gè)性別相當(dāng)于“鴿巢”，三個(gè)小朋友相當(dāng)于“鴿子”。假設(shè)兩個(gè)小朋友的性別分別是“男”“女”，剩下的一個(gè)小朋友不管是什么性別都至少有兩人是同一性別。

師：隨意找13位老師，他們中至少有幾個(gè)人的屬相相同？為什么？

生：這道題的12屬相相當(dāng)于“鴿籠”，13位老師相當(dāng)于“鴿子”。假設(shè)12位老師分別是12個(gè)不同的屬相，那么剩下的1位老師不管是什么屬相，都至少有兩位老師的屬相是相同的。

師：現(xiàn)在你能解釋課前老師的推理游戲中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理了嗎？

生：假設(shè)4人每人抽到了一種花色，剩下的一人不管抽到哪種花色，都至少有2人是同一花色的。

師：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了《鴿巢問題》，其實(shí)生活中還有好多類似的知識(shí)等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)、去發(fā)掘，老師希望通過你的努力學(xué)習(xí)，在不久的將來能有一條真正屬于你自己的“狄里克雷原理”！