從“引而不發(fā)”到“水到渠成”
———兩次執(zhí)教《最小公倍數(shù)》的感悟和反思

倪斌強(qiáng)

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版五年級(jí)下冊(cè)第68、69頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)片斷一

第一次執(zhí)教

出示：有一種墻磚長(zhǎng)3分米、寬2分米，如果用這種墻磚鋪圖形（用的墻磚都是整塊），能鋪成正方形嗎？如果能，正方形的邊長(zhǎng)可以是多少分米？最小是多少分米？

師：拿出墻磚模型自己擺一擺、想一想。

（每位學(xué)生準(zhǔn)備若干塊長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形硬紙板）

（學(xué)生獨(dú)自拼擺，教師巡視發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)問(wèn)題）

問(wèn)題一：學(xué)生盲目地拼擺，很長(zhǎng)時(shí)間拼不出。

問(wèn)題二：很多學(xué)生在拼的過(guò)程中不停地?cái)[弄長(zhǎng)方形模型，把各個(gè)長(zhǎng)方形的邊緊緊貼在一起，唯恐長(zhǎng)方形的邊之間有縫隙。

第二次執(zhí)教

師：今天我們一起來(lái)解決鋪墻磚的問(wèn)題，大家看課件：這里有一種長(zhǎng)3分米、寬2分米的墻磚，如果我往墻上拼上一塊，拼成一個(gè)怎樣的長(zhǎng)方形？再拼一塊呢？……

（課件演示拼的方法）

師：剛才我們都鋪了一些長(zhǎng)方形，那么有沒(méi)有可能鋪成正方形呢？

［出示：用長(zhǎng)3分米、寬2分米的墻磚鋪正方形（用的墻磚都是整塊）］

想象：如果能拼成正方形，它的邊長(zhǎng)可能是幾？

操作：用長(zhǎng)方形模型動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫(huà)一畫(huà)。（把能畫(huà)出來(lái)的正方形都在作業(yè)紙上畫(huà)出來(lái)）

思考：鋪成的正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？

（每位學(xué)生一塊長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形硬紙板，獨(dú)自擺畫(huà)）

【反思：第一次執(zhí)教雖放得很開(kāi)，但是由于用長(zhǎng)方形鋪成正方形容易受到面積的干擾，學(xué)生的思維很難聚焦到邊上，因此難度很大，所以會(huì)導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生盲目地?cái)[和拼，甚至很長(zhǎng)時(shí)間也沒(méi)有拼出正方形，影響了上課的效率。另外提供給學(xué)生操作的學(xué)具過(guò)多（每位學(xué)生若干個(gè)），學(xué)生會(huì)不停地拼擺長(zhǎng)方形模型的邊與邊，使邊與邊能緊密相連，唯恐它們分開(kāi)，因此學(xué)生的思維會(huì)流離于主題之外。第二次執(zhí)教通過(guò)細(xì)致鋪墊，一方面讓學(xué)生知道該怎樣整齊有序地鋪，避免由于學(xué)生把墻磚放得方向不同（橫豎亂擺），干擾對(duì)概念的理解；另一方面使學(xué)生理解拼成圖形的邊與原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，為后面理解正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系做好鋪墊。讓學(xué)生在坐標(biāo)圖上擺一擺、畫(huà)一畫(huà)更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系，給學(xué)生的操作也降低了難度。只提供給學(xué)生1個(gè)長(zhǎng)方形模型，而沒(méi)有提供充足的塊數(shù)，充分考慮到了小學(xué)生拼圖形的特點(diǎn)，排除了干擾的因素，使得學(xué)生的思維會(huì)更聚焦于主題中，同時(shí)，用一塊拼畫(huà)更能促進(jìn)學(xué)生的思考?！?/p>

教學(xué)片斷二

第一次執(zhí)教

師：能否拼成正方形？

生：能。

教師請(qǐng)拼成的學(xué)生上臺(tái)展示拼成的正方形。（學(xué)生小心翼翼地拿上來(lái)，并不停地?cái)[弄各長(zhǎng)方形的邊，使之靠緊）

師：說(shuō)說(shuō)你是怎么拼的？

生：我橫的擺3塊，豎的擺2排，剛好能拼成邊長(zhǎng)是6厘米的正方形。

師：很好，還可以拼成邊長(zhǎng)不一樣的正方形嗎？

生：這個(gè)我沒(méi)想好。

師：其他同學(xué)還有不同的正方形嗎？

（學(xué)生默不作聲）

師：大家看，拼成正方形的邊長(zhǎng)與小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？

生：邊長(zhǎng)是長(zhǎng)的倍數(shù)，也是寬的倍數(shù)。

師：對(duì)了，那既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)的數(shù)還有沒(méi)有呢？

生：還有 12、24……

師：對(duì)了，像 6、12、18、24……這樣，既是 2 的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)，也就是2和3公有的倍數(shù)，我們就叫這個(gè)數(shù)是2和3的公倍數(shù)。

第二次執(zhí)教

師：能否拼成正方形？

生：能。

師：（請(qǐng)畫(huà)出3個(gè)正方形的同學(xué)展示自己的作業(yè)紙）你是怎么思考的？

生：橫的擺過(guò)去，邊的長(zhǎng)度分別是2、4、6、8、10、12、14、16、18 厘米。

師：這些數(shù)有什么共同點(diǎn)？（板書(shū)：2的倍數(shù)）

生：豎的擺上去，邊的長(zhǎng)分別是 3、6、9、12、15、18厘米。

師：這些數(shù)有什么共同點(diǎn)？（板書(shū)：3的倍數(shù)）

師：拼成的邊長(zhǎng)可以是哪些數(shù)？（教師圈一圈）

師：要怎樣的數(shù)才可以？

生：既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。（板書(shū)）

師：邊長(zhǎng)可以是哪些數(shù)？

生：24、30……

師：為什么？

生：因?yàn)檫@些數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。

師：你是怎么這么快找到這些數(shù)的？

生：它們是6個(gè)、6個(gè)增加的。

師：你真善于發(fā)現(xiàn)，確實(shí)是這樣的。像6、12、18、24……這樣，既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)的數(shù)，也就是2和3公有的倍數(shù)，我們就叫這個(gè)數(shù)是2和3的公倍數(shù)，2和3的公倍數(shù)有哪些？

生：6、12、18、24……

【反思：第一次執(zhí)教時(shí)學(xué)生由于受到學(xué)具的影響最多拼成了一個(gè)正方形，只拼成一個(gè)正方形而要發(fā)現(xiàn)拼成的正方形的邊長(zhǎng)和小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系很難，所以會(huì)出現(xiàn)冷場(chǎng)的一幕，只能由教師直接引導(dǎo)和告知，這樣的學(xué)習(xí)是低效的。第二次執(zhí)教時(shí)由于課始恰到好處的鋪墊，并精心設(shè)計(jì)了在坐標(biāo)圖上用一個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)畫(huà)，動(dòng)手之前先讓學(xué)生思考如果能鋪成正方形，它的邊長(zhǎng)可能是幾？再動(dòng)手?jǐn)[一擺，畫(huà)一畫(huà)。然后思考：鋪成的正方形邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？（這里采用先想后拼擺驗(yàn)證的方式，一方面對(duì)于學(xué)優(yōu)生來(lái)說(shuō)可以培養(yǎng)他們的想象力，另一方面對(duì)于學(xué)習(xí)較為困難的學(xué)生一開(kāi)始雖然想不出，但在拼擺過(guò)程中還是可以找到最小的正方形的）；學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)自思考、動(dòng)手操作后，集體交流時(shí)教師在關(guān)鍵點(diǎn)恰到好處的提問(wèn)：你是怎么思考的？邊長(zhǎng)可以是哪些數(shù)？這些數(shù)有什么共同點(diǎn)？使學(xué)生的思維從開(kāi)始的面，到后來(lái)的邊，再到后面的點(diǎn)（數(shù)），逐步抽象，思維逐步走向清晰，學(xué)生發(fā)現(xiàn)光是3的倍數(shù)是不行的，同樣光是2的倍數(shù)也不行，要拼成正方形，它的邊長(zhǎng)要既是3的倍數(shù)，又是2的倍數(shù)，這是理解公倍數(shù)這個(gè)概念的關(guān)鍵?！?/p>

教學(xué)片斷三

第一次執(zhí)教

師：剛才我們通過(guò)鋪地磚，知道了公倍數(shù)，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)什么是公倍數(shù)？

師：像6、12、18……是3和2公有倍數(shù)的數(shù)，叫做這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。

師：觀察一下，這些公倍數(shù)有最大的嗎？

生：沒(méi)有。

師：那有最小的嗎？

生：有。

師：最小的那個(gè)公倍數(shù)，我們叫做這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

第二次執(zhí)教

師：小松鼠一次能跳4格，小猴一次能跳6格，它們從同一起點(diǎn)往前跳，跳到同一點(diǎn)會(huì)是哪幾格？

師：先想一想，會(huì)是哪幾格？再畫(huà)一畫(huà)，驗(yàn)證一下你的想法。

（學(xué)生獨(dú)自完成后集體交流）

師：我們一起看一看跳格子和前面的鋪地磚有什么共同點(diǎn)？

生：找的都是兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。

師：什么是兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)？

生：兩個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)。

生：都沒(méi)有最大的公倍數(shù)，都只有最小公倍數(shù)。

師：什么是最小公倍數(shù)？

生：所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)。

師：從兩個(gè)數(shù)有公倍數(shù)可以聯(lián)想到什么？

生：三個(gè)數(shù)之間是否也有公倍數(shù)？四個(gè)數(shù)呢？五個(gè)數(shù)呢？

（學(xué)生舉例驗(yàn)證）

師：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。

【反思：概念的形成是從一定的具體例子出發(fā)，以直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)材料觀察、比較所得到的感性認(rèn)識(shí)，以學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，形成表象，進(jìn)而以歸納方式抽象出事物的本質(zhì)屬性，獲得數(shù)學(xué)概念的過(guò)程。

第一次執(zhí)教通過(guò)一個(gè)例題直接引出公倍數(shù)和最小公倍數(shù)過(guò)于匆忙，學(xué)生在沒(méi)有找到事物的共性前是不可能很好地理解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)這兩個(gè)概念的。通過(guò)一個(gè)例子就得出公倍數(shù)概念是草率的。在概念數(shù)學(xué)化的過(guò)程中最為核心的思維活動(dòng)是概括。但在此次教學(xué)中，這個(gè)應(yīng)當(dāng)充分展開(kāi)的思維過(guò)程，被壓縮為掌握概念的結(jié)果，甚至以記住概念、說(shuō)出它的定義來(lái)取代對(duì)概念本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)過(guò)程，這是輕過(guò)程、重結(jié)果的現(xiàn)象。

第二次執(zhí)教先讓學(xué)生解決鋪地磚的問(wèn)題，再讓學(xué)生解決跳格子問(wèn)題。通過(guò)兩個(gè)具體的例子讓學(xué)生比較這兩題的共同點(diǎn)（都是求兩個(gè)數(shù)的公用倍數(shù)），學(xué)生很自然地概括出公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等數(shù)學(xué)概念。這個(gè)教學(xué)過(guò)程使學(xué)生從生活進(jìn)到數(shù)學(xué)，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的反思抽象，獲得對(duì)公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征的直接體驗(yàn)，學(xué)生不僅能清楚地體會(huì)到數(shù)學(xué)的內(nèi)部聯(lián)系（倍數(shù)和公倍數(shù)），而且能真切地體會(huì)到數(shù)學(xué)與外部生活世界的聯(lián)系（公倍數(shù)與鋪墻磚、跳格子），體會(huì)到數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和價(jià)值。體會(huì)到“數(shù)學(xué)化”的真正含義，從而幫助他們獲得對(duì)數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識(shí)。】

【課后反思】

1.精選素材，學(xué)習(xí)從無(wú)味變得有味。

斟酌再三，還是選用課本上的素材——鋪地磚問(wèn)題，是因?yàn)閿?shù)學(xué)來(lái)源于生活，從學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活中尋找一些能夠“自動(dòng)地”反映公倍數(shù)、最小公倍數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)解決這些生動(dòng)具體的實(shí)際問(wèn)題，獲得對(duì)公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征的直接體驗(yàn)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)；在此基礎(chǔ)上，再引導(dǎo)學(xué)生從生活進(jìn)到數(shù)學(xué)，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的反思抽象，引出公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等數(shù)學(xué)概念，并通過(guò)對(duì)解決問(wèn)題過(guò)程的進(jìn)一步提煉，總結(jié)出求最小公倍數(shù)的方法。這樣，學(xué)生獲取知識(shí)的過(guò)程被“拉長(zhǎng)”了，花的時(shí)間可能也要稍多一些，但是比在“純數(shù)學(xué)”的范疇內(nèi)經(jīng)歷概念的形成過(guò)程更有挑戰(zhàn)性，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。在這一過(guò)程中，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性被充分地調(diào)動(dòng)起來(lái)，當(dāng)他們面對(duì)那些生動(dòng)有趣的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，會(huì)自覺(jué)地調(diào)動(dòng)起已有的生活經(jīng)驗(yàn)和那些“自己的”思維方式參與解決問(wèn)題的過(guò)程，主動(dòng)地借助各種外部的物質(zhì)材料來(lái)展示自己內(nèi)部的思維過(guò)程；通過(guò)經(jīng)歷這一過(guò)程，學(xué)生能獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)更深刻的理解。

2.活用教材，體驗(yàn)從單薄變得厚實(shí)。

教材出示用長(zhǎng)方形的墻磚鋪正方形的情境后讓學(xué)生直接動(dòng)手操作，用長(zhǎng)方形模型的硬紙板拼擺正方形，這時(shí)多數(shù)學(xué)生是盲目地拼，很多學(xué)生由于沒(méi)有教師的引導(dǎo)，橫擺豎擺的都有，很難拼成正方形，或者就是拼成正方形也只有單一的一個(gè)，不能很好地激發(fā)學(xué)生思考，這樣的體驗(yàn)是單薄的、淺層的。而我在實(shí)際的教學(xué)中讓學(xué)生在坐標(biāo)圖上擺一擺、畫(huà)一畫(huà)，用坐標(biāo)圖更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之間的關(guān)系，給學(xué)生的操作降低了難度。還有通過(guò)課始細(xì)致地鋪墊，學(xué)生知道該怎樣整齊有序地鋪，避免由于學(xué)生把墻磚放得方向不同，干擾對(duì)概念的理解。也使學(xué)生初步感知拼成圖形的邊與原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，為后面理解正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系做好鋪墊。這樣既尊重了教材，又用活了教材，使學(xué)生的操作體驗(yàn)變得更加具體、有效和厚實(shí)。

3.有效引導(dǎo)，交流由浮淺走向深入。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者?！币龑?dǎo)需要含而不露、指而不明、開(kāi)而不達(dá)、引而不發(fā)。只有這樣，才能讓學(xué)生更理性地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，學(xué)生之間、師生之間的交流也才能由浮淺走向深入。學(xué)生在拼擺過(guò)程中一直在思考：鋪成的正方形邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬有什么關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)自思考、動(dòng)手操作后，集體交流時(shí)教師提問(wèn)：是怎么思考的？邊長(zhǎng)可以是哪些數(shù)？這些數(shù)有什么共同點(diǎn)？教師進(jìn)行這樣有效地引導(dǎo)，使學(xué)生的思維從開(kāi)始的面，到后來(lái)的邊，再到后面的點(diǎn)（數(shù)），逐步抽象，思維逐步走向清晰，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有3的倍數(shù)是不行的，同樣只有2的倍數(shù)也不行，要拼成正方形，它的邊長(zhǎng)要既是3的倍數(shù)又是2的倍數(shù)，這是理解公倍數(shù)這個(gè)概念的關(guān)鍵。解決公倍數(shù)概念后，再讓學(xué)生比較“鋪地磚”與“跳格子”這兩題有什么共同點(diǎn)，學(xué)生很自然地想到都是求兩個(gè)數(shù)的公有倍數(shù)，水到渠成地概括出公倍數(shù)、最小公倍數(shù)等數(shù)學(xué)概念。