吃一塹長(zhǎng)一智

徐永軍

易錯(cuò)點(diǎn)1：未分類思考

例1 若一個(gè)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離為4cm，最大距離為10cm，則該圓的半徑是____cm.

【錯(cuò)解】7cm.

【正解】3cm或7cm.

【錯(cuò)解辨析】有兩種情況：（1）當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖1所示，半徑OB=（PA+PB）÷2=7；（2）當(dāng)此點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖2所示，半徑OB=（PB-PA）÷2=3.故該圓的半徑為3cm或7cm.所以求解點(diǎn)與圓位置關(guān)系時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用.

圖1

圖2

例2 已知半圓O的半徑為R，M為其直徑AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作PM⊥AB交半圓于點(diǎn)P，且，則AM=_______.

【錯(cuò)解辨析】本題沒有圖，所以要注意點(diǎn)M在半徑OA上和在半徑OB上的兩種情形：（1）點(diǎn)M在圓心O與點(diǎn)A之間（如圖3所示）；（2）點(diǎn)M在圓心O與點(diǎn)B之間（如圖4所示）.

圖3

圖4

易錯(cuò)點(diǎn)2：對(duì)題意理解不清

例3 如圖5，已知⊙O的直徑為10，點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP=3，則過(guò)點(diǎn)P且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦的條數(shù)是（ ）.

圖5

A.1 B.2 C.3 D.4

【錯(cuò)解】C.

【正解】D.

【錯(cuò)解辨析】過(guò)點(diǎn)P且與OP垂直的弦的長(zhǎng)度為8，它是最短的弦，只有一條；過(guò)點(diǎn)P的直徑是最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)度為10，只有1條；過(guò)點(diǎn)P且長(zhǎng)度為9的弦有2條.這樣過(guò)點(diǎn)P且長(zhǎng)度為整數(shù)的弦共有4條.錯(cuò)解的原因在于可能漏掉了最短的弦或最長(zhǎng)的弦（直徑）.

易錯(cuò)點(diǎn)3：考慮問題不全面

例4 平面上的A、B、C三點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)作圓，則作出的圓有（ ）.

A.0個(gè) B.1個(gè) C.1個(gè)或0個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)

【錯(cuò)解】B.

【正解】C.

【錯(cuò)解辨析】由于三點(diǎn)可能在同一條直線上，也有可能不在同一條直線上，因此需要分情況加以討論，即作出的圓有1個(gè)或0個(gè).

例5 已知⊙O的直徑為6，P為直線l上一點(diǎn)，OP=3，那么直線l與⊙O的位置關(guān)系為________.

【錯(cuò)解】相切.

【正解】相交或相切.

【錯(cuò)解辨析】錯(cuò)因：誤將OP長(zhǎng)當(dāng)成距離.如圖6所示，d=r；如圖7所示，d＜r.直線與圓相切是指圓心到直線的距離等于半徑，這里OP=3并不一定是圓心O到直線l的距離.

圖6

圖7

易錯(cuò)點(diǎn)4：不能準(zhǔn)確根據(jù)圓的半徑確定符合條件的圓的個(gè)數(shù)

例6 已知點(diǎn)A、B，經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)作圓，則半徑為2cm的圓有_______個(gè).

【錯(cuò)解】2個(gè).

【正解】2個(gè)、1個(gè)或0個(gè).

【錯(cuò)解辨析】本題應(yīng)分為三種情況：（1）如圖8所示，當(dāng)AB＜4cm時(shí)，能作2個(gè)圓，圓心在AB的垂直平分線上；（2）如圖9所示，當(dāng)AB=4cm時(shí)，只能作出一個(gè)圓，圓心為AB中點(diǎn)，AB為直徑；（3）當(dāng)AB＞4cm時(shí)，不能作圓.

圖8

圖9

易錯(cuò)點(diǎn)5：對(duì)畫圖時(shí)的多種情況掌握不熟，從而丟解

例7 已知點(diǎn)O是鈍角三角形ABC外接圓的圓心，則∠A與∠BOC的數(shù)量關(guān)系為____ .

【錯(cuò)解辨析】錯(cuò)解未弄清楚哪個(gè)角是鈍角，如圖 10所示，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，∠A=180°-OC.若∠ABC（或∠ACB）為鈍角，如圖11所示，BOC.解答此題的關(guān)鍵是把所有符合題意的圖形畫出來(lái).

圖10

圖11

易錯(cuò)點(diǎn)6：求圓周角的度數(shù)時(shí)易丟解

例8 已知⊙O的半徑為2，A、B、C為⊙O上的三點(diǎn)，且BC=23，求∠A的度數(shù).

圖12

圖13

【錯(cuò)解】如圖12所示，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，則BD=4.

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，∴∠A=60°.

【正解】分兩種情況討論.（1）當(dāng)點(diǎn)A在BC所對(duì)的優(yōu)弧上時(shí)，如圖12所示，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，則BD=4.

∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，∴∠A=60°.

（2）當(dāng)點(diǎn)A在BC所對(duì)的劣弧上時(shí)，如圖13所示，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，則BD=4.

∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD=90°，

又∵BC=23，

∴∠D=60°，

∴∠A=120°.

綜合（1）（2）得∠A的度數(shù)為60°或120°.

【錯(cuò)解辨析】很多同學(xué)只考慮了點(diǎn)A在BC所對(duì)的優(yōu)弧上的情況，忽略了點(diǎn)A還有可能在弦BC所對(duì)的劣弧上.在同圓中，當(dāng)一條弦所對(duì)的兩個(gè)圓周角在弦同側(cè)時(shí)，它們相等，在弦異側(cè)時(shí)，它們互補(bǔ).

易錯(cuò)點(diǎn)7：錯(cuò)用弧、弦之間的關(guān)系

圖14

A.AB＞2AM

B.AB=2AM

C.AB＜2AM

D.AB與2AM的大小關(guān)系不能確定

【錯(cuò)解】B.

【正解】C.

【錯(cuò)解辨析】在?各選項(xiàng)中，AB與AM均指的是弦長(zhǎng)，而“M為的中點(diǎn)”指的是弧的數(shù)量關(guān)系，兩者不能一概而論.?

又∵AM+BM＞AB，

∴2AM＞AB，即AB＜2AM.

易錯(cuò)點(diǎn)8：忽視圓心與角的位置關(guān)系

例10 已知AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，AC是⊙O內(nèi)接正三角形的一邊，則∠BAC=_______.

【錯(cuò)解】75°.

【正解】75°或15°.

【錯(cuò)解辨析】錯(cuò)解只考慮了圓心在∠BAC內(nèi)部的情形，如圖15所示，連接OA，OB，OC，因?yàn)锳C、AB分別為⊙O內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的邊，所以∠AOC=120°，∠AOB=90°，此時(shí)∠CAO=∠ACO=30°，∠OAB=∠OBA=45°，所以∠CAB=75°.而當(dāng)圓心在∠CAB外部時(shí)，如圖16所示，連接OA，OB，OC，則∠CAB=15°.解決此題的關(guān)鍵是弄清圖形的不同情況，再利用正多邊形的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

圖15

圖16

“圓”的學(xué)習(xí)過(guò)程中要注意對(duì)概念的辨析，加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，考慮問題一定要全面細(xì)致.以上是對(duì)同學(xué)們?cè)诮鉀Q圓有關(guān)問題時(shí)容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)的一些總結(jié)和思考，希望能為同學(xué)們的學(xué)習(xí)提供參考.