基于STL模型的NURBS刀路軌跡規(guī)劃算法

錢 乘，江本赤，周 輝，李 震

利用STL模型加工部件時(shí)，STL切片輪廓數(shù)據(jù)是生成刀路軌跡的基礎(chǔ)。在CAD模型轉(zhuǎn)換成STL模型時(shí)，需要把設(shè)定的弦高差作為模型轉(zhuǎn)換的精度誤差［1］。目前，基于STL模型的切片算法是主流的研究?jī)?nèi)容，該算法以封閉多邊形表示二維封閉輪廓，而基于STL模型數(shù)控加工刀路軌跡的規(guī)劃算法存在精度方面的損失，造成加工模型與CAD模型之間的誤差增大?；贑AD模型的直接切片算法雖然可以提高加工精度，但需要特定的軟件支持，且運(yùn)算量大、效率低［2］。STL模型具有輸出廣泛、切片易于處理、拓?fù)溥m應(yīng)能力強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，因此在加工一些復(fù)雜的零件時(shí)，經(jīng)常采用STL模型［3］。

研究人員提出了多種基于STL模型的刀路軌跡規(guī)劃算法。ZHU H等［4］利用頂點(diǎn)的非等距偏置性建立了偏置模型，生成了具有恒定扇貝高度的螺旋刀具路徑。徐金亭等［5］利用頂點(diǎn)鄰接三角形角度的正弦值加權(quán)計(jì)算了該頂點(diǎn)的單位法矢量，利用偏置距離建立了偏置模型，通過(guò)對(duì)該模型做離散處理得到了加工軌跡。該方法雖然邏輯表達(dá)簡(jiǎn)單直觀，可以取得較好的計(jì)算結(jié)果，但需要通過(guò)偏移頂點(diǎn)對(duì)偏置模型進(jìn)行計(jì)算，這會(huì)造成計(jì)算量偏大、效率偏低等后果。另外，偏置模型的精度誤差也會(huì)導(dǎo)致加工精度的下降。LI M等［6］利用STL切片直接生成刀觸點(diǎn)，通過(guò)刀觸點(diǎn)計(jì)算刀位點(diǎn)，并對(duì)刀位點(diǎn)進(jìn)行干涉檢測(cè)處理。陳曉兵等［7］用刀觸點(diǎn)計(jì)算了刀位點(diǎn)，并用最小二乘法將其擬合成NURBS刀路軌跡。趙萍等［3］對(duì)切片輪廓進(jìn)行三次分段NURBS曲線插值，通過(guò)刀觸點(diǎn)計(jì)算出刀位點(diǎn)，提出了數(shù)控加工路徑的規(guī)劃算法。雖然該算法的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，可以得到精確的刀路軌跡，但是離散技巧的運(yùn)用降低了加工精度。針對(duì)這一問(wèn)題，我們提出了基于STL模型的NURBS刀路軌跡規(guī)劃算法。在去除STL模型切片冗余數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，先根據(jù)預(yù)設(shè)的閾值對(duì)封閉多邊形輪廓進(jìn)行分段，通過(guò)NURBS曲線進(jìn)行擬合，然后設(shè)定容差閾值，利用容差離散法對(duì)擬合的曲線進(jìn)行離散，得到了刀觸點(diǎn)，給出了刀路軌跡規(guī)劃算法。

1 STL模型切片數(shù)據(jù)的預(yù)處理

STL模型由CAD模型表面三角化處理生成。通過(guò)對(duì)STL模型的切片處理，可獲得一系列二維封閉多邊形輪廓，由這些多邊形輪廓生成的數(shù)據(jù)點(diǎn)是生成刀路軌跡的基礎(chǔ)。

1.1 切片數(shù)據(jù)的獲取

獲取切片數(shù)據(jù)通常分為3步，這3步分別是分層方向的選取與分層厚度的確定、三角形與切平面交點(diǎn)計(jì)算、根據(jù)三角形鄰接關(guān)系排序與連接交點(diǎn)［8］。其中分層方向一般選取與z軸平行的方向，分層厚度需要根據(jù)模型的成型精度確定。分層厚度越小，打印精度越高，但耗費(fèi)的打印時(shí)間也就越長(zhǎng)。

用一系列平行于xoy平面的切平面分割STL模型，得出切平面與相交三角形的交點(diǎn)，此時(shí)交點(diǎn)屬于無(wú)序狀態(tài)，需要根據(jù)三角形間的拓?fù)潢P(guān)系以逆時(shí)針或者順時(shí)針的順序?qū)⑵渑判颉⑦B接。例如，圖1所示的就是簡(jiǎn)單STL模型和切片模型。

圖1 STL模型與切片模型

1.2 冗余數(shù)據(jù)的刪除

STL模型本身的缺陷導(dǎo)致了獲取的切片數(shù)據(jù)存在大量的冗余交點(diǎn)。這些冗余交點(diǎn)分為兩種類型，即同一交點(diǎn)有多個(gè)重合交點(diǎn)和同一直線上存在多個(gè)交點(diǎn)。例如，在圖2所示的模型中，切平面 zi、 zi+1與STL模型相切時(shí)，從交點(diǎn) P5與 P6得到的二維輪廓信息中，存在重合的交點(diǎn)。若 T1、 T2和 T3處于同一平面，則從得到的二維輪廓信息中，可以發(fā)現(xiàn) P1和 P4可決定該線段，而P2和 P3為冗余數(shù)據(jù)點(diǎn)。

圖2 冗余數(shù)據(jù)點(diǎn)的說(shuō)明

對(duì)于同一交點(diǎn)有多個(gè)重合交點(diǎn)的情況可以進(jìn)行去重處理。假設(shè)切片之后得到一系列二維輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi( i = 1 ,2,… ,t )，依次按順序從中選取3個(gè)交點(diǎn) Pk?1、Pk和Pk+1(k = 2,… ,t ?1)， 計(jì)算 Pk?1Pk與 PkPk+1之間的夾角 α （圖3）， P0點(diǎn)對(duì)應(yīng)的夾角可通過(guò) Pt、 P0和 P1計(jì)算。在數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的夾角中，有的夾角度數(shù)小于10-5，甚至更小。因此，需要設(shè)定一定的閾值 θ ，當(dāng) α <θ 時(shí)，就認(rèn)為該數(shù)據(jù)點(diǎn)為同一直線上的交點(diǎn)，并將此點(diǎn)刪除。例如，在圖4中，圖4a為切片模型某一層輪廓數(shù)據(jù)圖，圖4b為冗余數(shù)據(jù)點(diǎn)刪除之后的輪廓數(shù)據(jù)圖。

圖3 Pk-1Pk與PkPk+1夾角

圖4 輪廓數(shù)據(jù)的對(duì)比

2 NURBS刀路軌跡規(guī)劃算法

基于CAD模型的直接切片算法的二維輪廓用NURBS曲線表示，這類算法雖然能提高加工精度，但需要特定軟件支持，且運(yùn)算量大、效率較低。基于STL模型的切片算法的二維輪廓用封閉多邊形表示，將CAD模型轉(zhuǎn)換為STL模型時(shí)，這類算法因給定的弦高差會(huì)導(dǎo)致加工精度下降，故將由STL模型切片得到的二維封閉輪廓分段擬合成NURBS曲線，再將其離散得到加工刀路軌跡就可以提高加工精度［2,9］。

2.1 輪廓的分段處理

在對(duì)經(jīng)過(guò)預(yù)處理之后的輪廓數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi( i =0,1,2,…,m)進(jìn)行擬合之前，必須做進(jìn)一步處理，才能判斷二維輪廓中是否存在需要擬合的頂點(diǎn)。在本文中，我們采用角度與長(zhǎng)度判斷準(zhǔn)則來(lái)判斷待擬合的頂點(diǎn)，角度閾值設(shè)為 β ，并可根據(jù)模型成型精度自行定義。

任取3個(gè)連續(xù)的數(shù)據(jù)點(diǎn) Pk?1、 Pk和Pk+1(k =1,2,…,m ?1)，計(jì)算 Pk?1Pk與 PkPk+1之間的夾角 α （圖3）。在判斷長(zhǎng)度時(shí)，先設(shè)定閾值 δ ，再根據(jù)弦高差的定義計(jì) 算 | Pk?1Pk|與 | PkPk+1|的長(zhǎng) 度。

該方法可描述為：讀取一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，若該數(shù)據(jù)點(diǎn)不滿足

或不滿足

就以順時(shí)針或逆時(shí)針的方式讀取相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)，直到滿足式（1）和式（2），并將該數(shù)據(jù)點(diǎn)作為擬合的起點(diǎn) q0。依次讀取數(shù)據(jù)點(diǎn)，若這些數(shù)據(jù)點(diǎn)滿足式（1）和式（2），就將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)作為輪廓的擬合點(diǎn) qi( i = 1 ,2,… ,z )。若讀到的數(shù)據(jù)點(diǎn)不滿足式（1）或式（2），就將該數(shù)據(jù)點(diǎn)作為輪廓擬合的終點(diǎn)（記為qn），這樣就可以得到待擬合的分段輪廓數(shù)據(jù)Ci={q0, q1,… ,qz, qn}(i= 1 ,2,…,t )（圖5）。其中，數(shù)據(jù)點(diǎn)c與i對(duì)應(yīng)的夾角不滿足式（1），數(shù)據(jù)點(diǎn) a、f、g、m 對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度不滿足式（2），因此可將二維輪廓分為4段進(jìn)行NURBS擬合，這4段分別為abc、cdef、ghi、ijlm。

圖5 輪廓的分段

2.2 三次NURBS擬合

2.2.1 NURBS曲線的定義

一條 k 次 NURBS 曲線［10］可表示為

其中：wi( i = 0 ,1,2,… ,n)為權(quán)因子，采用NURBS擬合時(shí)，若權(quán)因子選擇不當(dāng)，會(huì)產(chǎn)生較大的非線性誤差，因此取 wi= 1 ；di( i = 0 ,1,2,… , n)為控制頂點(diǎn)； Ni,k(u)為定義在節(jié)點(diǎn)矢量 U = ( u1, u2, uk, … ,un+k+1)上的第i個(gè)k次B樣條基函數(shù)，其德布爾-考克斯遞推公式為

2.2.2 節(jié)點(diǎn)矢量的確定

由式（3）與式（4）可知，給定控制頂點(diǎn) di和節(jié)點(diǎn)矢量U便可定義一條3次NURBS曲線。對(duì)于任意一條待擬合的分段輪廓，該輪廓存在 n +1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。在反算控制頂點(diǎn)di的過(guò)程中，通常使首末數(shù)據(jù)點(diǎn)與曲線首末端點(diǎn)一致，并使內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)變?yōu)榍€的分段連接點(diǎn)，以保證與三次NURBS曲線定義域的內(nèi)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)［10］。該三次NURBS可由 n + 3 個(gè)控制頂點(diǎn)di( i = 0,1,2,… ,n, n +1,n+2)決定，對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量為 U = ( u0, u1, …,un+5, un+6)。

節(jié)點(diǎn)矢量的確定可選擇均勻參數(shù)法、向心參數(shù)法、積累弦長(zhǎng)參數(shù)法等。在本文中，我們選擇了積累弦長(zhǎng)參數(shù)法，其中端節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度為4，相應(yīng)的積累弦長(zhǎng)參數(shù)法公式［10］為

其中，i = 1,2,… ,n ?1。

2.2.3 控制頂點(diǎn)的確定

將曲線定義域 u ∈ [ ui, ui+1]∈[0,1]內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值代入以下公式［11］

可得到 n + 1 個(gè)方程，但未知頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 n +3。由這n+1個(gè)方程無(wú)法解出 n +3個(gè)未知頂點(diǎn)數(shù)的對(duì)應(yīng)的解。為了求解由這 n +1個(gè)方程組成的方程組，常常通過(guò)增加邊界條件的方法增加附加方程，而邊界條件的確定可通過(guò)選用自由端點(diǎn)、拋物線、切矢條件等實(shí)現(xiàn)。在本文中我們選取切矢條件公式

作為附加方程。

對(duì)于 C 2上的三次NURBS曲線，節(jié)點(diǎn)矢量的首、末節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度為4，故有 d0= q0和 dn+2=qn，三次NURBS插值曲線的其他控制頂點(diǎn)可通過(guò)

經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)矢量的確定與控制頂點(diǎn)的反求，通過(guò)式（3）便可確定一條NURBS曲線。圖6為該二維輪廓的NURBS擬合效果。

圖6 二維輪廓的NURBS擬合效果

2.3 刀路軌跡的確定

確定二維輪廓的分段三次NURBS差值曲線后，所有的刀觸點(diǎn)都在該條曲線上。由于數(shù)控加工中輸入的是刀觸點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)控機(jī)床依據(jù)該坐標(biāo)對(duì)毛坯進(jìn)行加工，因此需要對(duì)NURBS曲線進(jìn)行離散以獲取刀觸點(diǎn)。為了提高NURBS曲線在曲率變化較大處的離散精度，我們利用容差離散法對(duì)曲線進(jìn)行離散。容差的定義見(jiàn)圖7。其中：t為由加工精度定義的容差； Lstep為給出的步長(zhǎng)，通常為0.05。刀觸點(diǎn)的軌跡如圖8所示。其中：圖8a是步長(zhǎng)等于0.05、容差等于0.06的刀觸點(diǎn)軌跡圖，圖8b是步長(zhǎng)等于0.05、容差等于0.04的刀觸點(diǎn)軌跡圖。

采用容差離散法獲取刀觸點(diǎn)步驟如下：

1）讀取一條NURBS曲線。

2）U1為該NURBS的參數(shù)定義域的下界，取初值

3）計(jì)算 U1U2所對(duì)應(yīng)的容差t。若t大于給定的容差，則有

4） U2大于該NURBS的參數(shù)定義域的上界，即U2>1，轉(zhuǎn)向步驟1）；否則轉(zhuǎn)向步驟3）。

5）所有NURBS曲線處理完，結(jié)束該程序。

圖7 容差的定義

圖8 相同步長(zhǎng)不同容差的刀觸點(diǎn)軌跡

3 結(jié)論

在本文中，我們對(duì)STL模型切片形成的二維輪廓進(jìn)行了分段三次NURBS插值，提高了STL模型切片的精度；利用容差離散法通過(guò)離散NURBS曲線獲取了刀觸點(diǎn)，提高了NURBS曲線在曲率變化較大處的離散精度，使得刀路軌跡變得更加精確，也使加工后的模型表面更加光滑。

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