把握降維分析思想 巧構(gòu)立體圖形截面

廣東省廣州市第六中學(xué)

璩 斌 (郵編：510300)

在高中立體幾何里為了研究幾何體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、性質(zhì)及有關(guān)數(shù)量關(guān)系時(shí)，經(jīng)常需要使用截面作為分析工具.因?yàn)樘卣餍缘慕孛婵梢栽诙S層面集中反映幾何體的主要元素，揭示它們之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，把幾何體中的關(guān)鍵的內(nèi)隱元素及其關(guān)系集中展現(xiàn)或暴露在平面圖形上，將立體空間問題化歸為二維平面問題，達(dá)到降維分析的目的.多面體的特征性截面的尋找與構(gòu)造問題成了高中立體幾何的常見問題，也是高中立幾教與學(xué)的難點(diǎn)問題.高中立體幾何教學(xué)的一個(gè)很重要的目的就是培養(yǎng)學(xué)生具有較強(qiáng)的空間想象能力，對(duì)截面尋找與構(gòu)造問題的研究有利于立體幾何教學(xué)目的的實(shí)現(xiàn)，近年來有關(guān)截面的問題在高考、自主招生考試和高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常涉及到.

所謂截面，是指一個(gè)平面與幾何體相交所得的圖形，包括邊界及其內(nèi)部，截面的邊界叫交線.常見的截面有對(duì)角面、軸截面、直截面以及滿足某些特殊條件的截面，截面問題常涉及：①建構(gòu)截面并判斷截面形狀；②計(jì)算截面周長(zhǎng)和面積；③研究截面圖形的性質(zhì)和最值等問題.要解決這些問題必須首先掌握多面體截面的建構(gòu)，難點(diǎn)是找到“特征性”截面.對(duì)學(xué)生進(jìn)行特征性截面作圖訓(xùn)練正是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象力,綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)的有效辦法.

1 巧用平行性 建構(gòu)立體圖形截面

利用立體幾何中的線面平行、面面平行的判斷和性質(zhì)定理來尋找立體圖形截面.

圖1

略；

(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切角.

分析此題求二面角的關(guān)鍵是作出兩個(gè)平面的交線，根據(jù)公理可知兩平面若有一個(gè)公共點(diǎn)有且僅有過這個(gè)點(diǎn)的公共直線，現(xiàn)已知點(diǎn)S在交線上，尋找另一個(gè)公共點(diǎn)，延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連接SE，則SE是所求二面角的棱，易證∠BSC是所求二面角的平面角.

例2(2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽)設(shè)四棱錐P-ABCD的底面不是平行四邊形,用平面α去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形. 則這樣的平面α( )

A.不存在 B.只有一個(gè)

C.恰有兩個(gè) D.有無數(shù)多個(gè)

圖2

分析：如圖2,延長(zhǎng)BA、CD,交于點(diǎn)M, 連接PM，則PM為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD的交線；同理，PN為側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線. 所要構(gòu)造的平行四邊形截面上的相應(yīng)對(duì)邊平行，則這組平行對(duì)邊必同時(shí)平行于其所在對(duì)側(cè)面的交線，即如圖A1B1平行D1C1，則這組平行對(duì)邊必同時(shí)平行于MP；反之，若截平面α平行此對(duì)側(cè)面交線PM，則截面上的相應(yīng)對(duì)邊平行(降維分析思想的體現(xiàn)).

設(shè)由直線PM、PN所確定的平面為β，作與平面β平行的平面α與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截，則截得的四邊形是平行四邊形(圖中的四邊形A1B1C1D1).可知，這樣的平面α有無數(shù)個(gè).故選D.

2 巧用“對(duì)稱性”構(gòu)造立體幾何體的截面

充分利用長(zhǎng)方體、正方體、正棱錐、正棱臺(tái)和球等立體圖形的對(duì)稱性及其構(gòu)成對(duì)稱性的要素，尋找與構(gòu)造多面體的特征性截面.例如長(zhǎng)方體的對(duì)角線是長(zhǎng)方體外接球的直徑等的特征性來構(gòu)造立體幾何中的截面.

圖3

例3如圖3，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，求平面ACD1截球O的截面面積．

事實(shí)上，有關(guān)兩個(gè)幾何體相接或相切的問題，一般總要選取一個(gè)適當(dāng)?shù)慕孛妫@個(gè)截面要能充分反映這兩個(gè)幾何體的特點(diǎn)，并能反映它們之間的關(guān)系，也就是所謂的特征性截面. 本例中，由于透視圖上球O圖形干擾了學(xué)生對(duì)平面ACD1截球O的截面圖形形狀的判斷，教學(xué)中可以根據(jù)平行性和對(duì)稱性，將問題轉(zhuǎn)化為作平面A1C1B截球O的截面圖形，則容易判斷截面圖形為正三角形A1C1B的內(nèi)切圓．

例4半徑為r的球內(nèi)切于一個(gè)正三棱錐，求此正三棱錐的全面積的最小值.

分析半徑為r的球內(nèi)切于一個(gè)正三棱錐，由正三棱錐的對(duì)稱性，內(nèi)切球的球心必在棱錐的高上，因此應(yīng)該根據(jù)這一特征過高SO1及一條側(cè)棱作一截面，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.

圖4

如圖4，過正三棱錐高SO1與一側(cè)棱SC作截面，交棱AB于中點(diǎn)D，在此截面上，球的大圓O與SD及CD相切，OD平分∠SDC，設(shè)∠SDC=θ，則

例5如圖5，在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，有兩球相外切且又分別與正方體內(nèi)切.

圖5

(1)求兩球半徑之和；

(2)兩球的半徑各為多少時(shí)，兩球體積之和最?。?/p>

分析此題很多學(xué)生做起來很困難，主要是這個(gè)題對(duì)空間想象力要求比較高，若通過作特征性截面的辦法來研究，可大大降低難度.

(1)由球以及正方體的對(duì)稱性可知，可選取對(duì)角面D1DBB1為過球心的對(duì)角面見圖6，從而找到了特征性截面.

(2)設(shè)兩球體積之和為V，則

由于對(duì)稱性，正三棱錐內(nèi)切球和外接球的球心必在棱錐的高、長(zhǎng)方體對(duì)角線必是長(zhǎng)方體外接球的直徑等特征性，是尋找立體圖形特征性截面的重要線索.

3 巧用“相似性” 建構(gòu)立體圖形截面

利用平面圖形的全等或相似的性質(zhì)，計(jì)算數(shù)量關(guān)系，得出關(guān)鍵的數(shù)據(jù)，精準(zhǔn)作圖，構(gòu)造立體幾何體的特征性截面.

例6已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面邊長(zhǎng)為10，高為12，過底面的一邊AB作與底面ABC成600角的截面，求截面的面積.

圖6

錯(cuò)解設(shè)截面與棱CC1的交點(diǎn)為D，過C作CE⊥AB于E，連結(jié)DE，因?yàn)镃C1⊥底面ABC，所以AB⊥DE，∠DEC為截面與底面ABC所成的角，因?yàn)?/p>

注意此解錯(cuò)在沒有把截面的位置、形狀等特征性情況搞清楚，可見截面的準(zhǔn)確構(gòu)建對(duì)其對(duì)解題的重要性.

而CC1=12，故D在CC1的延長(zhǎng)線上，且CD=15.

連結(jié)BD交B1C1于M，AD交A1C1于N，連結(jié)MN，則ABMN為截面.

圖9

例7如圖9，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為S. (1)判斷CQ的不同取值，所對(duì)應(yīng)的S的形狀.(2) 當(dāng)CQ=1時(shí)，求S的面積.(2013安徽理科高考題改編)

分析本例已知截面S的一部分，即△APQ要構(gòu)造出截面S，需要找到截面S與面ADD1A1的交線及截面S與面CDD1C1的交線.注意到這兩交線必與棱DD1共點(diǎn)，即問題的關(guān)鍵在于確定這個(gè)點(diǎn)的位置.設(shè)截面S與棱DD1相交于T，則AT平行于PQ且AT=2PQ，從而DT=2CQ.

圖10

圖11

圖12

圖13

通過以上例題的分析，可見在立體幾何中通過巧構(gòu)立體圖形的截面將復(fù)雜抽象的空間問題化歸為平面問題，達(dá)到了降維的目的，從而有效的降低題目的難度，有利于正確解決問題，其關(guān)鍵是找到能代表其屬性的特征性截面.畫出正確的截面，因此在立體幾何的課堂的教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行截面作圖方面的訓(xùn)練，使其掌握截面的建構(gòu)和作圖的常見方法，提升空間想象能力，思維能力，這對(duì)解決空間問題的能力是行之有效的方法.

1 傅欽志. 立體幾何中的截面問題[J].中等數(shù)學(xué), 2007(3)

2 侯典峰.正方體截面問題的再研究[J].數(shù)學(xué)通訊, 2011(7)

3 陳群星. 正方體截面研究[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)), 2002(10):6-7

4 吳梁.作空間幾何體截面的方法[J].中學(xué)教學(xué)參考, 2010(2):33-34

5 滕于忠.空間幾何體截面的作法[J].河北理科教學(xué)研究, 2007(3):15-16