圖形計算器在對勾函數(shù)單調(diào)性教學中的應用

蔣培杰+馬恩榮

【摘 要】本文借助圖形計算器技術(shù)，以對勾函數(shù)單調(diào)性的教學為例，通過讓學生經(jīng)歷對勾函數(shù)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，體驗操作、觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)和證明的學習過程，從而感知圖形計算器技術(shù)在數(shù)學操作、觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)和證明中的重要作用，并進一步提出一般數(shù)學教育技術(shù)對數(shù)學認知活動的三大功能：提供驗證、啟示發(fā)現(xiàn)和促進理解。

【關(guān)鍵詞】圖形計算器 對勾函數(shù) 操作 觀察 歸納 發(fā)現(xiàn) 證明

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）09B-0081-03

現(xiàn)代信息技術(shù)已經(jīng)對全世界政治、經(jīng)濟和文化產(chǎn)生了重大而深遠的影響。被喻為“移動數(shù)學實驗室”的圖形計算器作為一種現(xiàn)代數(shù)學教育技術(shù)工具，對數(shù)學教育產(chǎn)生積極的影響。圖形計算器是一種具有函數(shù)（解析式、參數(shù)）作圖、動態(tài)圖形、方程求解、數(shù)據(jù)處理、簡單編程和 CAS 功能的計算器。它不僅能夠進行數(shù)值運算和簡單的符號運算，而且還可以直觀地繪制各種方程曲線、函數(shù)圖象，可以進行軌跡跟蹤、動態(tài)演示，具有一定的交互性，是一種現(xiàn)代手持技術(shù)。本文選取對勾函數(shù)單調(diào)性的發(fā)現(xiàn)和證明的教學過程為例，闡述圖形計算器在學生數(shù)學操作、觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)和證明中的作用。

一、對勾函數(shù)簡介

（一）對勾函數(shù)的概念

函數(shù) 的圖象是對稱的“雙勾”，因此一般形如 的函數(shù)稱為對勾函數(shù)。對勾函數(shù)作為一種特殊的函數(shù)模式有許多特殊的性質(zhì)，它的圖象優(yōu)美。學習對勾函數(shù)可以幫助學生理解函數(shù)圖象與性質(zhì)之間的關(guān)系，感悟利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法。此外，對勾函數(shù)的諸多性質(zhì)有著廣泛的應用，在各類測試和高考試題中都有考查。當 ab<0 時，函數(shù) 的單調(diào)性容易確定，因此，對勾函數(shù)單調(diào)性的學習的難點在于，當 ab>0 時，函數(shù) 的單調(diào)性。

（二）本文中探究的對勾函數(shù)及其教學目標

函數(shù)可變形為其單調(diào)性本質(zhì)上就是函數(shù) 的單調(diào)性的問題。因此本文探究的是函數(shù) 的單調(diào)性的教學問題。

研究對勾函數(shù)所用的最有效的工具是微積分，但學生最早接觸這類函數(shù)是在高中一年級第一個學期函數(shù)單調(diào)性的學習部分，尚不會使用導數(shù)來研究對勾函數(shù)的性質(zhì)。但課程標準要求學會運用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)，因此基于函數(shù)單調(diào)性的定義，從對勾函數(shù)圖象的角度觀察、歸納和發(fā)現(xiàn)對勾函數(shù)單調(diào)性的特點，并予以證明，從而使學生更好地理解它。

二、教學過程

（一）對特例的初步操作、觀察和歸納

〖教師〗我們來研究形如 的函數(shù)（以下簡稱對勾函數(shù)）的單調(diào)性。當 a=1 時，我們用圖形計算器畫出函數(shù) f（x）的圖象，仔細觀察圖象，并借助圖形計算器的分析功能進行分析。如圖 1 所示：

〖學生〗圖象是兩個“勾”，從圖象看，函數(shù)有 4 個單調(diào)性區(qū)間，分別是增區(qū)間、減區(qū)間、減區(qū)間和增區(qū)間。

〖教師〗很好，那你能寫出具體的單調(diào)區(qū)間嗎？分析命令中的極值點功能可以幫助你找到單調(diào)區(qū)間的端點。

〖學生〗（用圖形計算器分析功能標出極值點，得到圖2），函數(shù)在（-∞，-1]遞增，在[-1，0）遞減，在（0，1]遞減，在 [1，+∞）遞增。

〖教師〗這個函數(shù)有最值嗎？如果沒有，那么函數(shù)在其定義域子區(qū)間上有最值嗎？

〖學生〗函數(shù)整體沒有最值。但是，在（-∞，0）內(nèi)，當 x=-1 時函數(shù)有最大值 -2；在（0，+∞）內(nèi)，當 x=1 時函數(shù)有最小值 2。

（二）對特例進一步操作、觀察和歸納

〖教師〗你們說得很對。接下來請畫出函數(shù) 的圖象，觀察圖象特點，思考它與函數(shù) 圖象的異同。

〖學生〗（作圖如圖 3）函數(shù) 在（-∞，-2]遞增，在[-2，0）遞減，在（0，2]遞減，在[2，+∞）遞增。在（-∞，0）內(nèi)，當 x=-2 時函數(shù)有最大值 -4；在（0，+∞）內(nèi)，當 x=2 時函數(shù)有最小值 4。

〖教師〗好，你們操作正確，結(jié)果有效。請注意函數(shù)和的異同點，再畫函數(shù) 的圖象看看，是否有類似的結(jié)論？

（三）對特例的操作、觀察、歸納和發(fā)現(xiàn)

〖學生〗（作圖如圖 4）結(jié)論相似。函數(shù) 在（-∞，-3]遞增，在[-3，0）遞減，在（0，3]遞減，在[3，+∞）遞增。在（-∞，0）內(nèi)，當 x=-3 時函數(shù)有最大值 -6；在（0，+∞）內(nèi)，當 x=3 時有最小值 6。

〖教師〗你們的想法很好，方向正確。我們考查了 a=1，4，9 的情況，對于一般的 a 呢？是否也有這樣的性質(zhì)？（這是遵循從特殊到一般的思想方法）

〖學生〗應該也有。函數(shù) 在（-∞，]遞增，在[，0）遞減，在（0，]遞減，在[，+∞）遞增。在（∞-，0）內(nèi)，當 時函數(shù)有最大值 ；在（0，+∞）內(nèi)，當 時函數(shù)有最小值 。

〖教師〗很好，要注意，我們討論的這幾個特例都是 a>0 的情況，得到了有規(guī)律性的結(jié)論，現(xiàn)在，讓我們來證明這個結(jié)論。

（四）在發(fā)現(xiàn)中證明

〖教師〗我們以前是怎樣證明函數(shù)的單調(diào)性的？現(xiàn)在如何證明函數(shù) 的單調(diào)性？

〖學生〗根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先選定一個單調(diào)區(qū)間，在選定區(qū)間上任取兩個數(shù)，比較這兩個數(shù)的函數(shù)值，進而可以證明函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性。函數(shù) 有 4 個單調(diào)區(qū)間，因此要分區(qū)間求證。

〖教師〗很好，請大家證明（學生各自進行證明）。

〖教師〗下面我們請某某同學上黑板展示他的證明過程。

學生（上講臺板書）：

證明：任取兩個均不為 0 的數(shù) x1，x2，且 x1

在區(qū)間（-∞，]內(nèi)，

x1-x2<0，x1x2-a>0，x1x2>0

故 f（x1）-f（x2）<0

故函數(shù) 在（-∞，]遞增。

同理可得，函數(shù) 在[，0）遞減，在（0，]遞減，在[，+∞）遞增。

〖教師〗這位同學的證明很精彩，也很簡潔。在這個證明下，“在（-∞，0）內(nèi)，函數(shù)有最大值 ；在（0，+∞）內(nèi)，函數(shù)有最小值 ”就是一個可以直接得到的結(jié)論。請大家回顧一下本節(jié)課的探究過程，自己總結(jié)一下有哪些收獲。

在以上教學過程中，學生利用圖形計算器經(jīng)歷數(shù)學操作（圖形計算器作圖）、觀察（觀察對勾函數(shù)的圖象特點）、歸納（歸納特例的圖象特點）、發(fā)現(xiàn)（歸納由特殊得到一般的結(jié)論）和證明（在已有發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上進行演繹）的一系列過程，讓學生能夠自己動手“做”數(shù)學?？梢姡瑘D形計算器及類似技術(shù)具有提供驗證、啟示發(fā)現(xiàn)和促進理解三大功能。提出驗證指的是利用技術(shù)對某結(jié)論的若干特例進行檢驗；啟示發(fā)現(xiàn)指的是在技術(shù)支持下的操作、觀察、歸納和發(fā)現(xiàn)；促進理解則是指技術(shù)使得數(shù)學關(guān)系變得形象直觀，有助于學生捕捉到關(guān)系的本質(zhì)，有助于學生對結(jié)論進行證明和應用。

【參考文獻】

[1]蔣培杰，曹 軒.高中數(shù)學實驗室的發(fā)展[J].中國教育技術(shù)裝備，2016（3）

[2]劉瑞美.也談對勾函數(shù)的性質(zhì)及應用[J].中學數(shù)學研究·華南師范大學版，2014（13）

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2011

（責編 盧建龍）