排列組合中的幾對(duì)互否問題

柳 華

(山東省臨沂市中醫(yī)藥職工中等專業(yè)學(xué)校 276017)

一、“一”與“多”

例1 三封信投入4個(gè)信箱，有____種不同的投法；三名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪四個(gè)項(xiàng)目的金牌，有____種不同的方法.

分析可以利用公式“一”的“多”次冪進(jìn)行求解.

“一”個(gè)信箱可以容納“多”封信，故信箱數(shù)為“一”，信的封數(shù)為“多”，故有43種不同的投法；

“一” 名運(yùn)動(dòng)員可以拿“多” 枚金牌，故運(yùn)動(dòng)員數(shù)為“一”，金牌數(shù)為“多”，故有34種不同的爭(zhēng)奪方法.

評(píng)注辨清“一”與“多”是解題的關(guān)鍵.

二、鄰與不鄰

例2 有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位.現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同的排法種數(shù)為____.

分析若直接從正面解答，較為復(fù)雜.可從反面考慮，總的坐法中減去這兩人左右相鄰的情況即可.

評(píng)注相鄰問題捆綁法，不相鄰問題插空法，這兩類問題可互相轉(zhuǎn)化，相互為用.

三、在與不在

例3 數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)、物理、化學(xué)、體育；六門科目，安排在一天的六節(jié)課內(nèi)，要求體育不在第一節(jié)，數(shù)學(xué)不在第六節(jié)，共有____種不同的排法.

分析數(shù)學(xué)可排在除第六節(jié)外的五節(jié)課內(nèi)，但數(shù)學(xué)是否排在第一節(jié)將影響到體育課的排法.故應(yīng)分成兩類：

評(píng)注在與不在問題應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，當(dāng)條件發(fā)生沖突時(shí)，應(yīng)分類解決.

四、含與不含

例4 從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)的四位數(shù)，能被5整除的共有____個(gè).

分析取出的數(shù)字含5或0的情況影響到排法，故分三類：(1)四位數(shù)中含5和0的情況：

(2)四位數(shù)中含5不含0的情況：

(3)四位數(shù)中含0不含5的情況：

綜上，四位數(shù)總數(shù)為120+108+72=300.

評(píng)注含與不含問題按取舍分類討論.

五、平均分組與非平均分組

例5 將4名教師分配到3所學(xué)校任教，每所學(xué)校至少1名教師，則不同分配方案有____種.

分析將4名教師分成3組，全排列即可.

評(píng)注理解平均分組的特殊性.

六、有序與無序

例6 某校高二共6個(gè)班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，安排到2個(gè)班中，每班2名，不同安排方法種數(shù)為____種.

七、同與不同

例7 將4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法種數(shù)為____.

評(píng)注球相同時(shí)，僅注意個(gè)數(shù)就可以了.

八、至少與至多

例8 在100件產(chǎn)品中有2件次品，抽出的3件至少有1件次品的抽法有____種.

分析題中至少有1件次品包含兩類，1件次品和2件次品，其反面為沒有次品，因此有以下兩種方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]張金良.數(shù)列錯(cuò)解典例剖析[J].中學(xué)理科,2005(08).

[2]李軍.高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題常見錯(cuò)解簡(jiǎn)析[J].學(xué)園,2014(09).