含積分變限函數(shù)的求導(dǎo)方法

文傳軍,陳榮軍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇 常州 213032)

0 引言

含積分變限的函數(shù)求導(dǎo)是“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是考研高數(shù)和高數(shù)競(jìng)賽中的?？純?nèi)容。在各種《高等數(shù)學(xué)》或《微積分》教材中，主要針對(duì)簡(jiǎn)單的公式型含積分變限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行討論，而對(duì)于被積函數(shù)中也存在求導(dǎo)變量的求導(dǎo)問(wèn)題，卻少有涉及和討論，常規(guī)的處理該類(lèi)問(wèn)題的方法較為繁雜，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)掌握起來(lái)較為困難，因此值得從事數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教師的關(guān)注和研究。

對(duì)于含積分變限的函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題的研究文獻(xiàn)較少，主要集中在根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)討論方面。王鳳媛[1]通過(guò)研究變限積分的構(gòu)造，給出解決一類(lèi)含有變限積分問(wèn)題的方法。盧亞麗等[2]給出了5個(gè)變限積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)定理,并結(jié)合實(shí)例詳細(xì)深入地研究了變限積分函數(shù)的求導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[3]針對(duì)“高等數(shù)學(xué)”中變上限積分的求導(dǎo),從教與學(xué)角度給出了該知識(shí)點(diǎn)的新的教學(xué)和學(xué)習(xí)的方法,使學(xué)生更好地掌握這部分知識(shí),從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深刻認(rèn)識(shí)。鈕宏霞[4]將變限積分求導(dǎo)公式推廣到高維空間中變邊界的超長(zhǎng)方體和超球體上,得到簡(jiǎn)潔優(yōu)美的結(jié)果,并給出其應(yīng)用。周少波等[5]針對(duì)學(xué)生難以掌握的變限定積分的最為一般的求導(dǎo)公式,給出了學(xué)生易于理解和接受的一元函數(shù)的證明,并用實(shí)例展現(xiàn)了這一公式在微積分及其后繼課程中的重要應(yīng)用。姜翠美等[6]結(jié)合實(shí)例歸納總結(jié)不同類(lèi)型變限積分的求導(dǎo)方法。文獻(xiàn)[7]針對(duì)變限積分函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)的現(xiàn)狀,給出了5個(gè)變限積分函數(shù)導(dǎo)數(shù)定理,并依次對(duì)其求導(dǎo)方法進(jìn)行了深入探究。文獻(xiàn)[8]給出了變限積分求導(dǎo)公式的另一種新的證明。呂紀(jì)榮等[9]闡述了變限積分函數(shù)的定義及其可導(dǎo)性和導(dǎo)數(shù)公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和定積分的性質(zhì),研究了被積函數(shù)中含有參變量的變限積分函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。

本文對(duì)含積分變限的函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行了研究，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則處理該類(lèi)問(wèn)題，分別對(duì)積分變限和被積函數(shù)中的變量求導(dǎo)，方法簡(jiǎn)潔有效且形式統(tǒng)一，學(xué)生能夠快速地掌握并用于處理相關(guān)問(wèn)題。

1 含積分變限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題及傳統(tǒng)求導(dǎo)方法

1.1 含積分變限函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題

含積分變限的函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題可歸納為如下三種基本形式：

1)公式型

2)乘積型

3)換元型

1.2 傳統(tǒng)的含積分變限函數(shù)的求導(dǎo)方法

1)公式型

對(duì)于公式型的變限函數(shù)求導(dǎo)，可直接利用公式(1)或者結(jié)合定積分相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解。此類(lèi)問(wèn)題已在“高等數(shù)學(xué)”課程中重點(diǎn)講解，這里不再詳細(xì)展開(kāi)。

(1)

2)乘積型

為了處理乘積型變限函數(shù)求導(dǎo)，需要通過(guò)拆項(xiàng)分解的方式進(jìn)行展開(kāi)化簡(jiǎn)，即將求導(dǎo)變量x從被積函數(shù)中分解出來(lái)，使得被積函數(shù)中不存在變量x。

從例1的求解過(guò)程來(lái)看，傳統(tǒng)的求解方法還是比較麻煩的，因?yàn)槿绻麑⒈环e函數(shù)中的(x2-t2)替換為(x-t)n，則需要一項(xiàng)項(xiàng)展開(kāi)，而且在(x-t)n的n次方抽象未定的情況下，其實(shí)是無(wú)法求解的。

3)換元型

為了處理?yè)Q元型變限函數(shù)求導(dǎo)，需要通過(guò)換元的方式將變量x從被積函數(shù)中分解出來(lái)，并且使得被積函數(shù)不存在求導(dǎo)變量x。

解：設(shè)u=x2-t2，當(dāng)t=0時(shí)，u=x2，當(dāng)t=x時(shí)，u=0。且有

所以有

則

從例2的求解可知，處理?yè)Q元型含積分限的函數(shù)求導(dǎo)，需要根據(jù)題目的具體情況進(jìn)行特定的變量代換，沒(méi)有一種通用的求導(dǎo)方法，這給問(wèn)題的求解帶來(lái)麻煩。

另外，對(duì)比三種類(lèi)型的含積分限的函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)這三種類(lèi)型的問(wèn)題雖然在本質(zhì)上是一種問(wèn)題，但卻要分類(lèi)型單獨(dú)處理，求導(dǎo)方法不具有通用性，這給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)麻煩，如果有一種方法可以通用，就可以減少學(xué)習(xí)的障礙和提升處理問(wèn)題的效率。

2 通用的基于復(fù)合函數(shù)形式的含積分變限函數(shù)求導(dǎo)方法

為了能夠得到一種通用的含積分限的函數(shù)求導(dǎo)方法，將此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行通項(xiàng)分析，并考慮以復(fù)合函數(shù)的形式進(jìn)行計(jì)算。

2.1 基于復(fù)合函數(shù)形式的含積分變限函數(shù)求導(dǎo)方法

(2)

證明：利用導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行證明

由定積分性質(zhì)有

由積分中值定理有

其中ξ介于x,x+h之間

當(dāng)利用定理1進(jìn)行計(jì)算時(shí)，積分上限變量x和被積函數(shù)中的x被視作復(fù)合函數(shù)中的兩個(gè)變量，對(duì)x求導(dǎo)意味著分別對(duì)這兩處的x獨(dú)立分別求導(dǎo)。當(dāng)對(duì)積分上限x求導(dǎo)時(shí)，即可應(yīng)用積分變限求導(dǎo)法則，直接將積分上限x代入被積函數(shù)取代積分變量t，而對(duì)被積函數(shù)中的x求導(dǎo)時(shí)，則相當(dāng)于被積函數(shù)F(x,t)求x的偏導(dǎo)運(yùn)算。

2.2 對(duì)三種類(lèi)型的含積分變限函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算的形式統(tǒng)一

基于定理1，可以將三種類(lèi)型的變限積分函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算統(tǒng)一起來(lái)。

對(duì)于第一種類(lèi)型公式型，應(yīng)用定理1可得

對(duì)于第三種類(lèi)型換元型，以例2為例，即有F(x,t)=t·f(x2-t2)，應(yīng)用定理1

x·f(0)-x·f(x2-t2)︳x0=x·f(0)-x·f(0)+xf(x2)=xf(x2)

對(duì)比1.2和2.2可以發(fā)現(xiàn)，使用定理1可以簡(jiǎn)潔高效地將三種含積分限的函數(shù)求導(dǎo)統(tǒng)一起來(lái)，該方法簡(jiǎn)單明了且易于計(jì)算。

2.3 定理1在常見(jiàn)含積分變限函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題中的應(yīng)用

基于定理1處理一些常見(jiàn)的含積分變限的函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題。

解：根據(jù)定理1及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得

f(x)定義域?yàn)椋Y(jié)合從而有解，如表1所示。

總之，無(wú)論c是Γ上的哪一種端點(diǎn)，Φ0(z)總以它為常點(diǎn)，因而Φ0(z)在D內(nèi)全純.又因Φ1(z)，Χ(z)都連續(xù)到L上，且Χ(z)≠0，故Φ0(z)也必連續(xù)到L上.

表1 例3的單調(diào)區(qū)間

解：

方法1：傳統(tǒng)換元法求解

則當(dāng)x≠0時(shí)，

而當(dāng)x=0時(shí)，

u=ht，h[0,1]=[0,h]

方法2：利用定理1求解

相當(dāng)于上限x取為常數(shù)，則在定理1中對(duì)上限的求導(dǎo)為0。

當(dāng)x≠0時(shí)，由定理1可知，

當(dāng)x=0時(shí)類(lèi)似可得。

3 結(jié)論

本文對(duì)含積分變限的函數(shù)求導(dǎo)進(jìn)行了研究，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，將積分變限和被積函數(shù)中的求導(dǎo)變量視作復(fù)合函數(shù)中的兩個(gè)變量分別求導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了多種類(lèi)型含變限函數(shù)的求導(dǎo)方法的統(tǒng)一，便于學(xué)生有效學(xué)習(xí)和掌握，并達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。

[參考文獻(xiàn)]

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