析攻關(guān)之難 明破解之道—談近年全國高考理科數(shù)學(xué)選擇、填空題解題方法和技巧

廣東省高州中學(xué)(525200) 李文聰

廣東高考使用全國卷已經(jīng)有兩年了,相對廣東卷而已言,考生對全國卷的評價(jià)就一個字“難”.師生對廣東卷的基本認(rèn)識是:各大題型的最后一題(第8題選擇題、第13題填空題、第21題解答題)相對較難.然而,全國卷的“難”不再分布在每個題型的最后一題上,事實(shí)上,全國理科數(shù)學(xué)壓軸題的難度相對廣東卷而言是有所降低的.全國卷把這個“難”分散到了每一題中去,尤其是選擇、填空題.這就使得相當(dāng)一部分考生在解答全國卷的時(shí)候從第7題開始就望而卻步了.針對這種情況,筆者對近年來的全國高考理科數(shù)學(xué)I卷的選擇、填空題作了深入研究.本文筆者就如何節(jié)省解題力量,開發(fā)解題智慧談點(diǎn)體會,求教于同行.

在此,筆者先引入兩個概念:“解題力量”和“解題智慧”.解題力量是指解題的物質(zhì)基礎(chǔ),包括數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法.解題智慧是指準(zhǔn)確地認(rèn)識問題和創(chuàng)造性地解決問題的能力.這兩者呈反比關(guān)系.對于一道給定的題目來說,其難度是客觀存在的,所投入的解題力量越大,所體現(xiàn)的解題智慧就越少,反之,所付出的解題力量越小,所體現(xiàn)的解題智慧就越大.那么,在解題時(shí),我們應(yīng)該節(jié)省解題力量,開發(fā)解題智慧.

解答數(shù)學(xué)選擇、填空題既要注意“認(rèn)真審題、先易后難、大膽猜想、小心驗(yàn)證”,又要堅(jiān)持“小題小做,繁題簡做、難題易做”的原則.這與解題力量的節(jié)省觀念不謀而合.

下面筆者根據(jù)近年來的全國高考理科數(shù)學(xué)題型,談?wù)勥@些方法在實(shí)踐中的應(yīng)用.

一.由因?qū)Ч苯臃?/h2>

由因?qū)Ч苯臃ň褪菑念}設(shè)的條件出發(fā),利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論.

例1(2015全國卷I理科第10題)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2的系數(shù)為( )

A.10 B.20 C.30 D.60

析難本題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是多項(xiàng)式中有三項(xiàng),而學(xué)生習(xí)慣是兩項(xiàng)的,從而出現(xiàn)懼怕與厭煩心理,造成解題困難.

破解在(x2+x+y)5的5個因式中,2個取因式中x2剩余的3個因式中1個取x,2個因式取y,故x5y2的系數(shù)為

解法二的項(xiàng),其中的項(xiàng)為,所以x5y2的系數(shù)為,故選C.

明道 運(yùn)用直接法時(shí),需要充分挖掘題設(shè)條件的特點(diǎn),善用有關(guān)性質(zhì)和已有的結(jié)論,加快得到結(jié)論.當(dāng)選擇項(xiàng)提供的信息對正確選擇無多大幫助時(shí),可以考慮運(yùn)用直接求解方法.

二.執(zhí)果索因排除法

執(zhí)果索因排除法就是從結(jié)論、選項(xiàng)逆行考慮問題,去尋覓結(jié)論、選項(xiàng)成立的一些條件.由欲知確定需知,求需知利用已知,這樣往往會收到柳暗花明又一村的效果.

例2(2012全國卷理科第10題)已知函數(shù),則y=f(x)的圖像大致為( )

析難本題是考生比較恐懼的函數(shù)圖像、性質(zhì)問題,運(yùn)用直接法通過解析式確定函數(shù)圖像較難,但根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)圖像運(yùn)用排除法則顯得簡潔明快.

破解y=f(x)的定義域?yàn)閧x|x＞?1且x/=0},排除D;因?yàn)?/p>

所以當(dāng) x ∈ (?1,0)時(shí),f′(x)＜ 0,y=f(x)在 (?1,0)上是減函數(shù);當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)＞0,y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).排除A、C,故選擇B.

明道排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇、填空題.當(dāng)題目中的條件比較多,或能從題干確定的結(jié)論較多時(shí),可先根據(jù)某些條件在選擇項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的,予以否定,再根據(jù)另外一些條件、結(jié)論在縮小的范圍內(nèi)找出矛盾,逐步篩選,直到得出正確選項(xiàng).

三.特殊檢驗(yàn)特例法

特殊檢驗(yàn)特例法就是在解選擇、填空題時(shí),可以通過取一些滿足題設(shè)條件的特殊值、特殊點(diǎn)、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形、特殊位置、特殊向量等進(jìn)行驗(yàn)證.

例3(2017全國卷1理科第14題)設(shè)x,y滿足約束條件,則z=3x?2y的最小值為____.

析難這道題比較簡單,學(xué)生很快就可以找到如下解決問題的方法:

圖1

這種推理過程嚴(yán)謹(jǐn),但不足之處是很費(fèi)時(shí)間,解題效率低下.

破解由線性規(guī)劃知,z=3(x?2y)在可(行域的端)點(diǎn)取到,即最優(yōu)解可能為A(1,1),,而

明道以上為線性規(guī)劃中的最值問題(2015年全國卷1理數(shù)15、2012全國卷1理數(shù)14、2011全國卷理數(shù)13也是同類型題目),不等式組所表示的區(qū)域均包括了邊界,此時(shí)用邊界頂點(diǎn)直接代入則可以快速解決問題,大可不必嚴(yán)格推導(dǎo).運(yùn)用特例驗(yàn)證法時(shí),要注意所選的特例、特殊值等一定要簡單,且符合題設(shè)條件.

四.數(shù)形結(jié)合圖解法

數(shù)形結(jié)合圖解法就是在解選擇、填空題的過程中,可以先根據(jù)題意,作出草圖,然后參照圖形的做法、形狀、位置、性質(zhì),綜合圖像的特征,得出結(jié)論.我們深知“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微”,“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基石,二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系,在方法上互相滲透,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,而數(shù)形結(jié)合正是在這一學(xué)科特點(diǎn)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.

例4(2013全國卷I理科第11題)已知函數(shù)f(x)=,若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是( ).

A.(?∞,0] B.(?∞,1] C.[?2,1] D.[?2,0]

析難對學(xué)生來說本題的第一個難點(diǎn)是分段函數(shù),必須考慮定義域,第二個難點(diǎn)是含有絕對值,兩者同時(shí)出現(xiàn)使得學(xué)生思維受阻,想不到解決問題的方法.

破解由y=|f(x)|的圖象知:①當(dāng)x＞0時(shí),y=ax只有a≤ 0時(shí),才能滿足|f(x)|≥ ax,可排除 B、C.②當(dāng)x≤0時(shí),y=|f(x)|=x2?2x,故由|f(x)|≥ax得x2?2x≥ax.當(dāng)x=0時(shí),不等式恒成立;當(dāng)x＜0時(shí),不等式等價(jià)于x?2≤a,因?yàn)閤?2≤?2,所以a≥?2,綜上可知:a∈[?2,0],選D.

圖2

明道數(shù)形結(jié)合有利于分析題中的數(shù)量之間的關(guān)系,豐富表象,引發(fā)聯(lián)想,啟迪思維,拓寬思路,迅速找到解決問題的方法,從而提升分析問題和解決問題的能力.

五.信息遷移轉(zhuǎn)化法

信息遷移轉(zhuǎn)化法就是對于問題背景較新,信息量較大的考試內(nèi)容,可以通過閱讀、理解來把握信息的本質(zhì),抽象出其中的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)模型,轉(zhuǎn)化成為熟悉的內(nèi)容求解.

例5(2017全國卷1理科第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,···,其中第一項(xiàng)是 20,接下來的兩項(xiàng)是20,21,再接下來的三項(xiàng)是20,21,22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N＞100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是( )

A.440 B.330 C.220 D.110

析難本題題型新穎,起點(diǎn)高,落點(diǎn)低,材料陌生,構(gòu)思別致,思維量大,能更好地考查學(xué)生的閱讀、理解、分析、提煉和創(chuàng)新能力.而考生缺乏抽象能力,數(shù)學(xué)意識淡薄,談算色變,躊躇不前.

破解設(shè)首項(xiàng)為第1組,接下來兩項(xiàng)為第2組,再接下來三項(xiàng)為第3組,以此類推.設(shè)第n組的項(xiàng)數(shù)為n,則n組的項(xiàng)數(shù)和為,由題,N ＞ 100,令且n∈N?,即N出現(xiàn)在第13組之后,第n組的和為,n組總共的和為,若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪,則項(xiàng)的和2k?1應(yīng)與?2?n互為相反數(shù),2k?1=2+n(k∈ N?,n≥ 14),即k=log2(n+3),所以n=29,k=5,則,故選A;

明道當(dāng)我們面對一個復(fù)雜的問題時(shí),將題目中的信息進(jìn)行高度濃縮,提取精華,使問題的條件、問題更加明顯,借與觸發(fā)解題的靈感,暢通解題思路.利用信息正確遷移,走上光明之路.

六.聯(lián)想成果檢驗(yàn)法

聯(lián)想成果檢驗(yàn)法就是根據(jù)題目所提供的形狀特征、數(shù)值特征、式子結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到已得的一些重要結(jié)論(或經(jīng)驗(yàn))來快速解題.

例6(2014全國卷I理科第15題)已知A,B,C是圓O上的三點(diǎn),若的夾角為___.

析難本題的特點(diǎn)是題干簡單,而學(xué)生很難看出條件與問題之間的關(guān)系,無從下手.

破解因?yàn)?由向量加法的平行四邊形法則可知O為線段BC中點(diǎn),故BC為⊙O的直徑,所以 ∠BAC=90°,所以的夾角為90°.

明道利用已知的模型、結(jié)論、性質(zhì)、推論等等直接解決問題,可以節(jié)省大量的解題力量,比如三點(diǎn)共線,拋物線中的焦點(diǎn)弦|AB|=xA+xB+P等等,利用這樣的結(jié)論可以提高解題效率.

七.趨勢分析極限法

趨勢分析極限法就是通過動態(tài)變化,或?qū)O端取值來解選擇、填空題的方法是一種極限化方法.在解選擇、填空題中,有一些任意選取或者變化的元素,我們對這些元素的變化趨勢進(jìn)行研究,分析它們的極限情況或者極端位置,并進(jìn)行估算,以此來判斷選擇、填空題的結(jié)果.

例7(2015全國卷I理科第5題)已知M(x0,y0)是雙曲線上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個焦點(diǎn),若,則y0的取值范圍是( ).

析難學(xué)生很容易就想到的方法是將M坐標(biāo)代入曲線方程直接計(jì)算求解,但發(fā)現(xiàn)運(yùn)算量大,而由于學(xué)生運(yùn)算能力不強(qiáng),容易出錯.

破解從入手考慮,可得到以F1F2為直徑的圓與C的交點(diǎn)M1,M2,M3,M4(不妨設(shè)M1,M2在左支上,M3,M4在右支上),此時(shí)M1F1⊥M1F2,,解得 |y|0則M 在雙曲線的M1M2或M3M4上運(yùn)動,y0,故選A.

例8(2015全國卷I理科第16題)在平面四邊形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C=75°,BC=2,則AB 的取值范圍是____.

析難本題涉及動點(diǎn)問題及四邊形形問題使學(xué)生望而卻步.

破解如圖3所示,延長BA,CD交于E,平移AD,當(dāng)A與D重合于E點(diǎn)時(shí),AB 最長,在 △BCE 中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得,解得平移AD,當(dāng)D與C重合時(shí),AB最短,此時(shí)在△BCF中,∠B= ∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理可得,解得,所以AB的取值范圍為.

圖3

明道用極限法是解選擇、填空題的一種有效方法,也是在選擇題中避免“小題大做”的有效途徑.它根據(jù)題干及選擇項(xiàng)的特征,考慮極端情形,有助于縮小范圍,計(jì)算簡便,迅速找到答案.

八.構(gòu)造模型發(fā)現(xiàn)法

構(gòu)造模型發(fā)現(xiàn)法就是解選擇、填空題時(shí)可以利用現(xiàn)場的實(shí)物如三角板、鉛筆、紙張、手指等進(jìn)行操作或利用紙模型進(jìn)行演算演繹得到答案;也可以根據(jù)題目提供的規(guī)則演算最初的幾個步驟,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律,歸納出答案的方法;還可以構(gòu)造合適的模型幫助發(fā)現(xiàn)規(guī)律,特別是立體幾何中的一些特殊幾何體可以考慮通過切割或者補(bǔ)形解題.

例9(2014全國卷I理科第12題)如圖4,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為( )

圖4

C.6

D.4

析難該題如果直接從三視圖復(fù)原幾何體直觀圖是非常困難的.

破解如圖所示5,考慮利用正方體進(jìn)行切割得到三棱錐DA=6,故最長的棱的長度為DA=6,選C.

圖5

明道“能割善補(bǔ)”是解決幾何問題常用的方法,巧妙地利用割補(bǔ)法,可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形,這樣可以使問題得到簡化,從而節(jié)省解題力量.

綜上所述,全國卷的難度有所增加是需要客觀看待的事實(shí),相對以往的廣東卷來說,全國卷考查的知識點(diǎn)更細(xì),覆蓋的知識面更廣.選擇、填空題的設(shè)計(jì)方面,考生基礎(chǔ)顯得更加重要,但要解答它們,往往又可根據(jù)題型特點(diǎn)歸納出一些方法技巧.當(dāng)然,很多題目的解題技巧并不是孤立的,在實(shí)際的解題過程中可能是多個技巧、方法同時(shí)使用.因而,應(yīng)對策略上,應(yīng)該注意節(jié)省解題力量,因題選法,精準(zhǔn)解題,點(diǎn)難題之頑石變成功之金子.掌握一定的技巧、方法,因題選法靈活解題固然重要,這也是本文的中心所在,但所有的技巧、方法都源于過硬的數(shù)學(xué)素養(yǎng).通法通解是靈魂,巧解妙解是點(diǎn)睛.

數(shù)學(xué)常常在人們意想不到的地方存在著奇妙的聯(lián)系,經(jīng)過思考就有可能揭示規(guī)律,有所發(fā)現(xiàn).解題無外乎就是“架起由已知通向未知的橋梁,橋梁承載著數(shù)學(xué)知識、思想、方法、技巧、能力”,正如羅增儒教授倡導(dǎo)的:誰也無法教會我們解所有題目,重要的是通過有限道題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種無限道題的數(shù)學(xué)智慧.

[1]波利亞《怎樣解題》.

[2]羅增儒,節(jié)省解題力量開發(fā)解題智慧[J],《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》,2000年第11期.