立體幾何中動點軌跡的長度問題

云南省玉溪第一中學(653100) 武增明

在高考、競賽中,經常出現(xiàn)短小精悍、新穎別致、設計獨特、能力立意高、很靈活的空間中求一動點軌跡長度的小題,以考查同學們的空間想象能力和構造圖形的能力.這類問題往往會與垂直、投影等有關,要解決這類問題,首先需根據題意,利用圓的定義、線段的定義、平面截球、平面截柱體及錐體、臺體所得截面圖形等等確定軌跡是何種圖形,再根據圖形的形狀求其長度.通常這一圖形是可求周長、長度的圖形,如圓、圓的一部分弧、三角形、矩形、線段、折線段、多邊形等.現(xiàn)采擷幾例加以分析,以期對提高同學們的空間想象能力和構造圖形的能力有所幫助,同時也供同仁教學參考.

例1已知等邊△ABC邊長為2,動點P在邊AC上,現(xiàn)將△ABP沿直線BP折起來,使二面角A′?BP?C成直二面角,則點A′在平面BPC內的射影H的軌跡長度為___.

圖1

圖2

解析如圖1所示,因為二面角A′?BP?C為直二面角,所以若使 A′H⊥ 平面 PBC,則 A′H⊥PB,由△A′HB=△AHB,知AH⊥PB.即無論點H 在什么位置,恒有AH⊥PB,所以點H的軌跡是以三角形邊長AB為直徑的圓的一部分,如圖2.容易知道,這段弧長剛好為半個圓周長的,即長度為

圖3

例2如圖3,在矩形

圖4

解析由題意,因D′H⊥AE,所以 H 的軌跡是以AD為直徑的一段圓弧.如圖4,設AD的中點為O,因為長方形ABCD中,,所以.又因為∠DAC為銳角,且,可得,因此,.可得H所形成的軌跡,也就是弧DF的長度為,故選A.

例3正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,點P為側面BB1C1C內的動點,且滿足PA=2PB,則點P所形成軌跡圖形的長度為____.

圖5

解析根據題意,點P為正方體側面BB1C1C內的動點,AB⊥PB,如圖5所示.根據勾股定理,得AB2+PB2=PA2,又PA=2PB,AB=1,故,即.根據圓的定義,點P的軌跡是以B為圓心,半徑為的圓,因點P在平面BB1C1C 內,所以點P的軌跡的長度為圓周長,即.

評注本題也可以采用建立空間直角坐標系的方法求出點P的軌跡方程,根據方程判斷軌跡為圓,再從實際問題入手,求出這一部分圓的長度.一般地,在解決立體幾何中動點的軌跡圖形問題時,通常可以采用先建立坐標系求曲線方程,通過方程再判斷曲線類型的方法解決.當然,更直接的方法是通過曲線的定義直接判斷曲線類型,進而求解.

例4正四棱錐S?ABCD的底面邊長為2,高也為2,E為BC邊的中點,動點P在四棱錐的表面上運動,并且總有PE⊥AC,則動點P的軌跡的周長為( )

圖6

解析因為動點P在正四棱錐的表面上運動,且總保持PE⊥AC,故點P落在過點E且與AC垂直的平面內.根據線面垂直的判定定理,如圖6所示,找到滿足條件的點P的軌跡為△EFG的三條邊,其周長顯然為△SDB的周長的一半.由,易知△EFG的周長為（ ）

例5點P為棱長是2的正方體ABCD?A1B1C1D1的內切球O球面上的動點,M 為B1C1中點.若滿足DP⊥BM,則動點P的軌跡的周長為____.

圖7

解析根據DP⊥BM可知,過定點D的動直線DP與直線BM一定垂直,所以直線DP在過點D且與BM垂直的平面內.又因為點P在正方體的內接球面上,所以點P的軌跡是正方體的內切球面與過D點與BM垂直的平面相交得到的小圓.如圖7所示,取棱BB1的中點N,連結CN,則CN⊥BM,則平面DCNQ即為所求的正方體內切球的截面.因為正方體棱長為2,易求球心O到該平面的距離,即(E為側面中心,且EH⊥CN),截面小圓的半徑為,所以點P的軌跡的周長為.

評注本題的關鍵是確定動點P的軌跡,即點P即在球面上,又在過點D且與直線BM垂直的平面上,得到平面與球面的交線小圓;再利用球的半徑和球心與截面距離求小圓的半徑.

例6如圖8,在邊長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是CC1,C1D1,D1D,CD的中點,N是BC的中點,M在四邊形EFGH上及其內部運動.若MN//平面A1BD,則點M的軌跡長度是()

圖8

解析由題設知,只要找到點M軌跡與點N組成平面和平面A1BD平行即可,而找面面平行,結合條件先找線線平行較好.因為題中有如此多的中點,中位線定理證直線平行唾手可得:GH//D1C//A1B,HN//DB,所以平面GHN//平面A1BD,因而點M的軌跡為線段GH,其長度為.

例7在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,M,N分別是AC1,A1B1的中點.點P在正方體的表面上運動,則總能使MP與BN垂直的點P所構成的軌跡的周長等于___.

解析MP是動直線,BN是定直線,要使它們垂直,只要找BN垂直MP形成的平面.但此題設計得略勝一籌是此面難找,故退而求其次,易找BN⊥面B1C1EF,然后再將面B1C1EF往上移至過點M 即可.顯然,點P軌跡周長就是原矩形B1C1EF的周長,易求周長為.

例8如圖9,在三棱錐A?BC D中,∠BAD=90°,.若點P為△ABC內的動點,且滿足直線DP與平面ABC所成角的正切值為2,則點P在△ABC內所成的軌跡長度為____.

圖9

圖10

解析由∠BAD=90°,AD⊥BC,知AD⊥平面ABC.為了方便理解,將圖9放置成如圖10(1),再由DP與平面ABC所成角的正切值為2,AD=4求得AP=2.所以,點P軌跡是以點A為圓心,2為半徑的△ABC內的圓弧長,如圖10(2),弧MN 在形外,不計.易求得,所以,在△ABC內所成的軌跡長度為.

評注從學生解題情況看來,由于原圖擺放的位置不符合視覺習慣,學生不易觀察分析P的軌跡如何,還有學生誤解點P的軌跡全在△ABC內而出錯.本題反映了立體幾何對空間想象能力有較高要求.

例9正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,在正方體的表面上與點A距離為的點形成一條曲線,這條曲線的長度為____.

圖11

解析如圖11,在面A1B1C1D1內,以A1為圓心,為半徑的圓弧是EM.因為弧EM上任意一點與A1的距離都為,又AA1=1,所以,由勾股定理可算得,弧EM上任意一點與A的距離都為.又弧,同理,可得弧,弧.在面ABCD內,以A為圓心,為半徑的圓弧是GH,可得,所以弧.同理,可得弧,弧.從而,

所求=弧EF+弧FG+弧GH+弧HL+弧LM+弧ME

總之,要解決動點軌跡長度的問題,首先需要我們有較好的空間想象能力,把立體圖呈現(xiàn)在頭腦中,進而畫出簡要的立體圖或詳細完整的立體圖,再利用定義等方法確定軌跡的圖形,最后利用曲線有關公式求其長度.

[1]劉光紅.空間中動點軌跡的長度[J].高中數(shù)學教與學,2015(1):8-10.

[2]張城兵.例析立體幾何中的動點軌跡問題[J].高中數(shù)學教與學,2014(10):4-6.