等系數(shù)和線的應(yīng)用

廣東省英德中學(xué)(513000) 陳國宗

一、概述

平面向量是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí),也是一種重要的解題工具,更是歷年高考命題的熱點(diǎn).向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性,因此在處理問題時(shí)既可以將向量問題代數(shù)化,也可以從數(shù)形結(jié)合角度進(jìn)行分析.本文重點(diǎn)介紹利用等系數(shù)和線的方法解決向量線性表示中的系數(shù)和問題,并側(cè)重于從數(shù)形結(jié)合思想分析問題,讓讀者體會(huì)該方法的直觀性與簡潔性.

二、基本理論

1.三點(diǎn)共線定理

圖1

事實(shí)上,根據(jù)三點(diǎn)共線定理,我們還可以得到更為一般的結(jié)論.

2.等系數(shù)和線

圖2

下面給出該結(jié)論的證明:

(1)充分性:已知x+y=k(k為定值)①當(dāng)k=1時(shí),根據(jù)三點(diǎn)共線定理知點(diǎn)C在直線AB上②當(dāng)k/=1時(shí),在動(dòng)點(diǎn)C的軌跡上任取兩點(diǎn)C1,C2.設(shè).因?yàn)閯t所以即C1C2//AB,綜上所述充分性成立.

圖3

(2)必要性:①當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上時(shí),根據(jù)三點(diǎn)共線定理易知x+y=1.②當(dāng)點(diǎn)C在平行AB的直線上時(shí),過點(diǎn)C作直線l,使l//AB,并分別交(所在直線的延長線)于點(diǎn)A′,B′.如圖3所示.設(shè)因?yàn)锳′,C,B′三點(diǎn)共線則.令x=λk,y=(1?λ)k,則x+y=k.綜上所述必要性成立.

因此,我們稱直線AB以及與AB平行的直線為等系數(shù)和線.

3.推論根據(jù)上面的證明過程,我們可以得到以下結(jié)論.

圖4

三、等系數(shù)和線的應(yīng)用-求系數(shù)和或系數(shù)和的取值范圍.

問題一:x+y型.

例題1如圖5所示,在平行四邊形ABCD中,E,F分別為CD和BC的中點(diǎn),若,則x+y=.

圖5

圖6

解如圖6所示,連接EF,延長AB交直線EF于點(diǎn) B′. 已知且E,F為中點(diǎn).則

例題2(2017全國II卷12題改編)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心,且與BD相切的圓上.若則x+y的取值范圍為.

圖7

解如圖7所示,過點(diǎn)C作直線l1//BD,作圓C的切線 l2且l2//BD,過點(diǎn) A作BD的垂線分別交BD,l1,l2于點(diǎn)E,F,G.易知AE=EF=FG.當(dāng)P落在直線BD上時(shí),x+y=1.當(dāng)P落在切線l2上時(shí),.事實(shí)上,當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),等系數(shù)和線夾在直線BD與切線l2之間,故x+y的取值范圍為[1,3].

點(diǎn)評(píng)利用等系數(shù)和線的方法處理形如的系數(shù)和問題的基本步驟:

①連接AB,構(gòu)造直線AB

②連接(延長)OC交直線AB于點(diǎn)C′,則必要時(shí),應(yīng)利用平行線分線段成比例計(jì)算的值.

③對(duì)于x+y的取值范圍問題,可以過動(dòng)點(diǎn)C的軌跡內(nèi)作l1//AB,l2//AB且l1[,l2分別]為距離O點(diǎn)最近與最遠(yuǎn)的兩條平行線,則,其中d,d,d分別為點(diǎn)12O到直線AB,l1,l2的距離.

問題二:ax+by型.

例題3如圖8所示,在平行四邊形ABCD中,E,F

圖8

解如圖9所示,作AF的中點(diǎn)F′.連接EF′交AB于點(diǎn)B′,易知B′為AB的中點(diǎn).則,所以,故 2x+4y=2(x+2y)=4.

例題4(2009安徽卷改編)給定兩個(gè)長度為1的平面向量,它們的夾角為,如圖10所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng).若,其中x,y∈R.則x+2y的取值范圍為.

圖10

圖11

解如圖11所示,作OB 中點(diǎn)B′,連結(jié)AB′,作弧AB的切線 l,使l//AB′.設(shè)切點(diǎn)為M,連結(jié) OM 交AB′于M′, 則當(dāng) C 落在直線 AB′時(shí),則 x+2y=1.當(dāng) C落在切線 l時(shí),在 △AOB′中,,所以所以,所以,故點(diǎn)C在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),所以x+2y的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)利用等系數(shù)和線的方法處理向量分解中的系數(shù)和問題時(shí),應(yīng)注意問題中待求和的兩個(gè)數(shù)是否為基底的系數(shù).一般地,已知,求ax+by的問題,可構(gòu)造基底使得′,從而將問題轉(zhuǎn)化為以為基底的系數(shù)和問題.

問題三:型.

例題5如圖12所示,在平行四邊形ABCD中,M,N為CD邊上的三等分點(diǎn),O為AM與BN的交點(diǎn),P,Q分別為AB,CD邊上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)).若則x+y=____.

圖12

圖13

解法一如圖13所示,易知由于,則且,所以,故,所以x+y=1.

解法二如圖14所示,分別平移向量即又三點(diǎn)共線,故x+y=1.

圖14

圖15

例題6如圖15所示,在正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),P是以A為圓心,AB為半徑的圓弧BD上的一動(dòng)點(diǎn).設(shè),則x+y的取值范圍為___.

圖16

解如圖16所示,過A 點(diǎn) 作,連接PE′交 AC(延長線)于點(diǎn) C′,則故結(jié)合平行線分線段成比例知,當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí),易知此時(shí),此時(shí)(x+y)max=5.當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),易知此時(shí)此時(shí).故x+y的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)注意等系數(shù)和線所描述的結(jié)論要求表達(dá)式中的三個(gè)向量共起點(diǎn),若起點(diǎn)不一致,則可以考慮利用向量的減法法則或者平移相關(guān)向量統(tǒng)一起點(diǎn).

四、結(jié)束語

通過文中的幾個(gè)實(shí)例,我們可以看到利用等系數(shù)和線處理系數(shù)和問題的本質(zhì)是將系數(shù)和問題轉(zhuǎn)化為線段的比例問題,其解法高效,直觀,甚至有秒殺效果.這也啟發(fā)我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中應(yīng)充分重視向量的兩面性,不應(yīng)該只單純地看到向量代數(shù)的一面.以上是本人對(duì)等系數(shù)和線處理系數(shù)和問題的一些見解,不正之處,請(qǐng)不吝賜教.