整數(shù)區(qū)間上長極小零和序列的結(jié)構(gòu)*

鄧貴新，曾祥能

(1. 廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530001;2. 中山大學(xué)中法核工程與技術(shù)學(xué)院， 廣東 珠海 519082)

令G是一個(gè)交換群(運(yùn)算記為加法)，G0是G的非空子集。G0上的一個(gè)序列是一個(gè)有限序列，其中的元素都包含在G0中。稱一個(gè)非空序列為零和的，如果此序列的項(xiàng)加起來等于群G的單位元0。稱一個(gè)零和序列為極小零和的，如果它的任意非空真子序列都不是零和序列。

極小零和序列是零和理論的主要研究對象之一。此理論與群論，圖論，拉姆齊理論，以及分解理論有緊密的聯(lián)系[1-3]。零和理論中兩個(gè)重要問題就是計(jì)算Davenport常數(shù)和刻畫極小零和序列的結(jié)構(gòu)，其中G0上的Davenport常數(shù)D(G0)定義為G0上的極小零和序列所能達(dá)到的最大長度。

Davenport常數(shù)是以數(shù)學(xué)家Davenport的姓名所命名。在20世紀(jì)60年代，Davenport在研究代數(shù)整數(shù)環(huán)上的分解問題時(shí)，考慮了如下問題：代數(shù)整數(shù)環(huán)上一個(gè)不可約元分解成素理想的乘積時(shí)，這些素理想最多有多少個(gè)(把重?cái)?shù)算入)？而此最大個(gè)數(shù)就是這個(gè)代數(shù)整數(shù)環(huán)的類群的Davenport常數(shù)，由此開啟了這方面的研究。

當(dāng)G是有限交換群時(shí)，人們在這兩個(gè)問題上取得了不少進(jìn)展?，F(xiàn)在我們已經(jīng)知道了秩不大于2的有限交換群以及有限交換p-群的Davenport常數(shù)。在極小零和序列的結(jié)構(gòu)方面， 當(dāng)G是一個(gè)有限循環(huán)群時(shí), 我們已經(jīng)知道許多結(jié)果[4-7]。當(dāng)G是秩為2的有限交換群時(shí)，我們只知道達(dá)到最大長度即D(G)的極小零和序列的結(jié)構(gòu)[8-9]。當(dāng)G是一些結(jié)構(gòu)比較簡單的交換群時(shí)，也有一些更進(jìn)一步的結(jié)論[10]。

1 記號(hào)與術(shù)語

我們將使用文[2]一書中的記號(hào)。令N與Z分別為自然數(shù)集與整數(shù)集。對所有實(shí)數(shù)x和y，令[x,y]={i∈Z:x≤i≤y}。

令G是一個(gè)交換群(運(yùn)算記為加法)，G0是G的非空子集。G0上的一個(gè)序列是一個(gè)有限序列，其中的元素都包含在G0中。我們把G0上的序列看成是由G0生成的交換自由群胚F(G0)中的元素。顯然F(G0)中的單位元就是空序列。一般地把G0中的一個(gè)序列寫為

如果S是整數(shù)集上一個(gè)序列，那么記S+，S-分別為由S的大于0，小于0的部分構(gòu)成的序列。 稱T為S的一個(gè)子列，如果vg(T)≤vg(S)對任意g∈G0成立，此時(shí)記為T|S。稱S的一個(gè)子列T為真子列，如果T≠S。集合

∑(S)={σ(T):T|S,T非空}

稱為S的和集。

一個(gè)序列S稱為

零和，如果σ(S)=0。

極小零和，如果σ(S)=0，并且對S所有非空真子列T有σ(T)≠0。

用A(G0)記G0上的由所有極小零和序列構(gòu)成的集合，并定義G0的Davenport常數(shù)為

由于整數(shù)上的零和序列和有限循環(huán)群上的零和序列有著密切聯(lián)系，我們引入如下概念。 設(shè)n∈N，我們稱Z上的一個(gè)序列S是模n零和(模n極小零和)， 如果φn(S)在Zn中是零和(極小零和)，其中φn:Z→Zn是標(biāo)準(zhǔn)同態(tài)。設(shè)S是整數(shù)集上的一個(gè)序列，我們有下面的關(guān)于零和與模n零和之間的聯(lián)系。

如果S是零和的，那么S是模n零和的。反之不一定對。

如果S是極小零和的，那么S是模n零和的，但不一定是模n極小零和的。

如果S是模n極小零和的并且σ(S)=kn,k>0，那么(-n)[k]·S是極小零和的。

2 一些引理

在本節(jié)中，我們研究整數(shù)上的極小零和序列的一些性質(zhì)。 若極小零和序列S包含0， 則S=0，而且此序列是唯一的長度為1的極小零和序列。因此，為了避免平凡情形，在本節(jié)中我們總是假設(shè)所考慮的極小零和序列的長度都至少為2，特別地，此序列不包含0。

引理1[14]設(shè)S是整數(shù)上的一個(gè)極小零和序列并且令

max(S)=n，min(S)=-m。那么有u≤n，v≤m且uv≤σ(S+)=-σ(S-)。

推論1 設(shè)S是整數(shù)上的一個(gè)極小零和序列并且令

max(S)=n，min(S)=-m。

(i) 如果u=n，那么有S+=n[v]，且S-是模n極小零和的；

(ii) 如果v=m，那么有S-=(-m)[u]，且S+是模m極小零和的。

證明由結(jié)論的對稱性只需要證明(i)。設(shè)S+=b1…bv，其中bi∈[1,n]。由引理1，nv≤σ(S+)=b1+…+bv≤nv。因此，b1=…=bv=n，即S+=n[v]。

若T是S-的一個(gè)模n零和子列且σ(T)=-kn,k∈N。那么

0<-σ(T)≤-σ(S-)=σ(S+)=nv

可得1≤k≤v，這樣T·n[k]就是S的一個(gè)零和子列。 由于S是極小的，馬上得到并且。因此S-是模n極小零和的。證畢。

引理2 (i)設(shè)n∈N，S是整數(shù)上一個(gè)長度為n的模n極小零和序列，則存在與n互素的整數(shù)k，使得S中每一項(xiàng)都模n同余于k。

(ii) 設(shè)n≥3，S是整數(shù)上一個(gè)長度為n-1的模n極小零和序列，則存在與n互素的整數(shù)k，使得S中有n-2項(xiàng)都模n同余于k。

證明此結(jié)論眾所周知。文[5-6]推廣了此結(jié)論。

3 主要結(jié)論

在本節(jié)，我們證明本文的主要結(jié)論，即刻畫區(qū)間[-m,n]上長度至少為n+m-2的極小零和序列。長度為n+m的極小零和序列的結(jié)構(gòu)已經(jīng)在[12]中刻畫了。

定理1[12]設(shè)S為[-m,n]上的一個(gè)長度為n+m的序列。則S是極小零和序列當(dāng)且僅當(dāng)gcd(n,m)=1且S=(-m)[n]·n[m]。

現(xiàn)在，將分別刻畫長度為n+m-1與n+m-2的極小零和序列。

定理2 設(shè)m+n≥3，S為[-m,n]上一個(gè)長度為n+m-1的序列。則S是極小零和序列當(dāng)且僅當(dāng)以下之一成立：

(i)S=(-m)[n-1]·(n-1)[m]，gcd(m,n-1)=1，n≥2；

(ii)S=(-m)[n-1]·n[m-1]·(n-m)，gcd(m,n)=1，n≠m；

(iii)S=(-m+1)[n]·n[m-1]，gcd(m-1,n)=1，m≥2。

證明首先，容易驗(yàn)證上述3個(gè)序列都是極小零和的?，F(xiàn)在假設(shè)S是極小零和的。令

由引理1有u≤n，v≤m。結(jié)合u+v=m+n-1，有(u,v)=(n,m-1)或(n-1,m)。

如果vn(S)=0或v-m(S)=0，那么S是[-m,n-1]或[-m+1,n]上的極小零和序列。這樣就歸結(jié)到了定理1，在定理1中用n-1代替n或者用m-1代替n，就得到S=(-m)[n-1]·(n-1)[m]或S=(-m+1)[n]·(n)[m-1]。

下設(shè)min{vn(S),v-m(S)}≥1，分如下兩個(gè)子情形。

情形1 (u,v)=(n-1,m)。 由推論1，S-=(-m)[n-1]且S+是一個(gè)長度為m的模m極小零和序列。又因?yàn)閚∈S+，由引理2，gcd(n,m)=1且S+的每一項(xiàng)都模m同余于n。 令S+=b1…bm, 其中bi∈[1,n]。則

m(n-1)=σ(S+)=b1+…+bm≤mn

且bi≡n(modm)。因此，S+的項(xiàng)bi中有m-1個(gè)等于n，還有一個(gè)等于n-m>0，即S=(-m)[n-1]·n[m-1]·(n-m)。

情形2 (u,v)=(n,m-1)。用情形1中同樣的討論知S+=n[m-1]，S-=(-m)[n-1]·(-m+n)，n-m<0。則S=(-m)[n-1]·n[m-1]·(n-m)。

下面將證明最后一個(gè)主要定理。由于對稱性，不妨假設(shè)1≤m≤n。

定理3 設(shè)1≤m≤n，m+n≥5，S為[-m,n]上一個(gè)長度為n+m-2的序列。則S是極小零和序列當(dāng)且僅當(dāng)以下之一成立：

(i)S=(-m)[n-2]·(n-2)[m]，gcd(m,n-2)=1；

(ii)S=(-m)[n-2]·(n-1)[m-1]·(n-1-m)，gcd(m,n-1)=1；

(iii)S=(-m)[n-2]·n[m-1]·(n-2m)，gcd(m,n)=1，n≠2m；

(iv)S=(-m)[n-2]·n[m-2]·(n-m)[2]，gcd(m,n)=1，n>m≥2；

(v)S=(-m+2)[n]·n[m-2]，gcd(m-2,n)=1，m≥3；

(vi)S=(-m+1)[n-1]·(n-1)[m-1]，gcd(m-1,n-1)=1，m≥2；

(vii)S=(-m+1)[n-1]·n[m-2]·(n-m+1)，gcd(m-1,n)=1，m≥2；

(viii)S=(-1)[n-2]·(-2)·n，m=2。

證明首先容易驗(yàn)證上述所有序列都是極小零和的。再假設(shè)S是極小零和的。令

由引理1有u≤n，v≤m。結(jié)合u+v=m+n-2，有(u,v)=(n-2,m)，(n,m-2)或(n-1,m-1)。

情形1 (u,v)=(n-2,m)。 由推論1,S=(-m)[n-2]·S+，且S+是一個(gè)長度為m的模m極小零和序列。令S+=b1…bm, 其中bi∈[1,n]。不妨設(shè)b1≤…≤bm。由引理2，gcd(bm,n)=1且對任意i∈[1,m]有bi≡bm(modm)。還有

m(n-2)=σ(S+)=b1+…+bm≤mbm

如果bm≤n-2，則b1=…=bm，即條件(i)成立。

如果bm=n-1，則b1=n-1-m>0，b2=…=bm=n-1，即條件(ii)成立。

如果bm=n，則b1=n-2m>0，b2=…=bm=n；或者m≥2，b1=b2=n-m>0 ，b3=…=bm=n。因此條件(iii)或條件(iv)成立。

情形2 (u,v)=(n,m-2) 此情形的證明與情形1相同?？傻萌缦?種情形：

①S=(-m+2)[n]·n[m-2]，gcd(m-2,n)=1，m≥3。即條件(v)成立。

②S=(-m+1)[n-1]·(-m+1+n)·n[m-2]，gcd(m-1,n)=1，m≥3，m-1>n。與m≤n矛盾。

③S=(-m)[n-1]·(-m+2n)·n[m-2]，gcd(m,n)=1，m≥3，m>2n。與m≤n矛盾。

④S=(-m)[n-2]·n[m-2]·(n-m)[2]，gcd(m,n)=1，m≥2，n

情形3 (u,v)=(n-1,m-1)。此時(shí)n,m≥2。設(shè)

S-=(-m)[a]·(-m+1)[b]·(-α1)…(-αk)，

S+=β1…βt·(n-1)[c]·n[d]

其中αi∈[1,m-2]，βj∈[1,n-2]，k,t≥0。

如果a=0，則S是[-m+1,n]上長度為n+(m-1)-1的極小零和序列。在定理2中，用m-1替換m，可得

⑤S=(-m+1)[n-1]·(n-1)[m-1]，gcd(m-1,n-1)=1，m≥2。即條件(vi)成立。

⑥S=(-m+1)[n-1]·n[m-2]·(n-m+1)，gcd(m-1,n)=1，m≥2。即條件(vii)成立。

⑦S=(-m+2)[n]·n[m-2]，gcd(m-2,n)=1，m≥3。與(u,v)=(n-1,m-1)矛盾。

如果d=0, 則S是[-m,n-1]上長度為(n-1)+m-1的極小零和序列。在定理2中，用n-1替換n，可得

⑧S=(-m)[n-2]·(n-2)[m]，gcd(m,n-2)=1，m≥2。與(u,v)=(n-1,m-1)矛盾。

⑨S=(-m)[n-2]·(n-1)[m-1]·(n-1-m)，gcd(m,n-1)=1，n-1≠m。由于(u,v)=(n-1,m-1)，可得n-1-m<0。再由n≥m，可得n=m。即條件(ii)成立，且n=m的情形。

⑩S=(-m+1)[n-1]·(n-1)[m-1]，gcd(m-1,n-1)=1，m≥2。即條件(vi)成立。

因此, 我們現(xiàn)在假設(shè)min{a,d}≥1。由于極小零和序列S的長度至少是3，所以m

如果a≥c+d，我們把S+中的n以及n-1均與一個(gè)-m加起來得到另一個(gè)極小零和序列

T=(-m)[a-c-d]·(-m+1)[b]·(-α1)…(-αk)·
β1…βt·(n-1-m)[c]·(n-m)[d]

其中T-的長度為

n-1-c-d=n-1-(m-1-t)=n-m-t

T+的長度為m-1。對序列T應(yīng)用引理1，可得

(n-m+t)(m-1)≤β1+…+βt+

c(n-1-m)+d(n-m)≤

t(n-2)+c(n-1-m)+

(m-1-t-c)(n-m)=

t(m-2)-c+(m-1)(n-m)=

(m-1)(n-m+t)-t-c

因此t=c=0，d=m-1，也即S+=n[m-1]，此時(shí)S-是長度為n-1的模n極小零和序列。由引理2，S-中有n-2項(xiàng)都是模n同余的。再由S-的項(xiàng)都是在[-m,-1]中，且m≤n，可得S-=(-g)[n-2]·h，其中g(shù),h∈[1,m]。若g≤m-1，則

(m-1)n=-σ(S-)=(n-2)g+h≤

(n-2)(m-1)+m=(m-1)n-m+2≤

(m-1)n

因此上述不等式實(shí)際上都是等式，則m=2，g=m-1=1，h=m=2，也即條件(viii)成立。若g=m，則(m-1)n=-σ(S-)=(n-2)m+h。由此可得h=2m-n，即條件(iii)成立。

如果aa≥1，則m≥3。在S+中，挑出c1個(gè)n和d1=a-c1個(gè)n-1， 其中c1≤c，d1≤d。再將它們分別與一個(gè)-m加起來得到另一個(gè)極小零和序列

對Tc1,d1應(yīng)用推論1，可得

則c=t=0，矛盾。

若t=0，此時(shí)有b=n-1-a，c=m-1-d，

S=(-m)[a]·(-m+1)[n-1-a]·

(n-1)[m-1-d]·n[d]

由于

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