淺議高中數(shù)學(xué)解題中“圓”的妙用

李澤杭

大連市第二十三中學(xué) 遼寧大連 116000

圓作為平面幾何中的重要圖形之一，不僅能夠反映出諸多的角關(guān)系，而且還能夠建立起較多的線段間的關(guān)系[1]。在高中數(shù)學(xué)的解題過程中，一些問題看似與圓沒有太大的關(guān)系，但根據(jù)題目中的相關(guān)條件，其可借助于輔助圓，利用圓豐富的性質(zhì)進(jìn)行解題，有效地提升了解題的質(zhì)量與水平。

1 在距離問題解題中的運(yùn)用

距離求解的問題在高中數(shù)學(xué)中占有很大的比重，有效地利用圓知識(shí)體系，能夠準(zhǔn)確地表達(dá)出空間位置距離[2]。

例1：設(shè)⊙O的半徑為2，點(diǎn)P到圓心的距離OP=m，且m關(guān)于x的方程2x2-22x+m-1＝0有實(shí)數(shù)根，試確定點(diǎn)P與⊙O的位置。

解：∵關(guān)于x的方程2x2-22x+m-1=0有實(shí)數(shù)根，

∴△=（22）2-4×2×（m-1）≥ 0，解得 m≤ 2

即OP≤2

∵⊙O的半徑為2

∴點(diǎn)P在⊙O上或⊙O內(nèi)

故答案為點(diǎn)P在⊙O上或⊙O內(nèi)。

2 在不等式問題解題中的運(yùn)用

不等式是高中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵內(nèi)容，在不等式的解題過程中，很多同學(xué)都感到十分地頭疼。但是不等式問題是高中考試中的重要考察點(diǎn)，也是鍛煉我們思維能力的關(guān)鍵所在。而學(xué)生對(duì)于圓知識(shí)內(nèi)容的應(yīng)用能夠有效地解答不等式。

例 2：設(shè) P（x，y）為圓 x2+（y-1）2=1上任一點(diǎn)，要使不等式x+y+m≥0恒成立，則m的取值范圍是？

由圓的方程 x2+（y-1）2=1得，圓心（0，1），半徑 r=1

令圓x2+（y-1）2=1與直線x+y+m=0相切，

則圓心到直線的距離d=r，即|1+m|1+1=1，化簡(jiǎn)得1+m=±2，

即 m=2-1=1，m=-2-1（舍去），

結(jié)合圖像可知，當(dāng)m≥2-1時(shí)，圓上的任一點(diǎn)都能使不等式x+y+m≥0恒成立.

故答案為：[1，+∞）

解析：利用圓的圖像，能夠有效地看出圓心與直線之間的位置關(guān)系，還能夠看出圓心的距離，最終求得取值范圍[3]。如果采用傳統(tǒng)的不等式求解方式，我們所面臨的困難則相對(duì)較大，而利用圓知識(shí)，從平面幾何的角度來思考問題，則能夠?yàn)榻獠坏仁教峁┝硪环N思路，其所產(chǎn)生的效果更好。

例3：已知對(duì)于圓x2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y),不等式x+y+m恒成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是？

解：x+y+m≥0m≥-（x+y）恒成立，所以m要≥x+y的最小值

m≥0m取值范圍[0，+∞）。

3 方程問題中對(duì)圓知識(shí)的運(yùn)用

方程與函數(shù)問題都是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn)，在方程問題中還包含了圓的知識(shí)內(nèi)容。

例4：已知圓C的圓心在直線2x-y-3=0上,且經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,2)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程？

解：已知圓C的圓心在直線2x-y-3=0上

可設(shè)圓心C(x',2x'-3)

C到A,B的距離就是半徑r

r2=(x’-5)2+(2x’-3-2)2=(x’-3)2+(2x’-3-2)2

即(x'-5)2=(x’-3)2

解得x'=4

則圓心C(4,5)

半徑r2=(4-5)2+(5-2)2=10

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-4)2+(y-5)2=10

例5：已知圓C：x2+y2+Dx+Ey+3=0關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，圓心C在第二象限，半徑為2。

（1）求圓C的方程；

（2）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由。

解：（1）將圓 C化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得（x+D2）2+（y+E2）2=14（D2+E2-12）

∴圓C的圓心坐標(biāo)為（-D2，-E2），半徑r=12D2+E2-12

∵圓C關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱，半徑為2。

∴-D2-E2-1=0且 12D2+E2-12=2，

解之得D=2E=-4或D=-4E=2

結(jié)合圓心C在第二象限，得C的坐標(biāo)為（-1，2），（舍去C（1，-2））

∴圓C的方程是（x+1）2+（y-2）2=2

（2）當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為y=kx，可得|-k-2|1+k2=2，解之得k=2±6，得直線l方程為y=（2±6）x，當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l：x+y-m=0，可得|-1+2-m|2=2，解之得 m=-1或3，此時(shí)直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0，綜上所述，與圓C相切且在x軸、y軸上的截距相等的直線l方程為y=（2±6）x或x+y+1=0或x+y-3=0。

4 坐標(biāo)問題解答中的運(yùn)用

圓心坐標(biāo)問題的解答是高中數(shù)學(xué)中的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)的題目中，經(jīng)常需要求圓半徑、圓心坐標(biāo)，所以我們可將圓的知識(shí)與坐標(biāo)系的知識(shí)聯(lián)系起來。

例 6：求過三點(diǎn)O(0，0)、M1(1，1)、M2(4，2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)。解：設(shè)所求的圓的方程為：

x2+y2+Dx+Ey+F=0。

用待定系數(shù)法，根據(jù)所給條件來確定D、E、F。

由于點(diǎn)o、點(diǎn)M1、點(diǎn)M2都是圓上的點(diǎn)，其坐標(biāo)就是方程解，將坐標(biāo)在方程中進(jìn)行帶入，得到關(guān)于D、E、F的三元一次方程組,解這個(gè)方程組，得F=0，D=-8，E=6。于是得到所求圓的方程x2+y2-8x+6y=0。

坐標(biāo)是(4，-3)。

例7：已知⊙O是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為1，函數(shù)y=x與⊙O交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P（x，0）在x軸上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P且與OB平行的直線與⊙O有公共點(diǎn)，則x的范圍是？

解：∵⊙O是以數(shù)軸的原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，∠ AOB=45°，

∴過點(diǎn)P′且與OB平行的直線與⊙O相切時(shí)，假設(shè)切點(diǎn)為D，

∴OD=DP′=1

OP′=2

∴0＜x≤2

同理可得，當(dāng)OP與x軸負(fù)半軸相交時(shí)

-2≤x＜0

∴-2≤x≤2

故答案為：-2≤x≤2

圓和三角結(jié)合問題解答中的運(yùn)用

例7：已知△ ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，P為AC上一點(diǎn)，AP=2，當(dāng)圓O的圓心在BP上，圓O與AB、AC相切，那么圓O的半徑為？

解：設(shè)⊙O的半徑為r,⊙O切AC,AB分別于D,E

∵AC=8,AB=10,C=90

∴BC=6

又∵P在AC上且AP=2

∴PC=AC-AP=8-2=6

∴△PCB是等腰直角三角形

∵OD⊥AC,

∴OD‖BC,

∴∠POD=45°

∴△PDO也是等腰直角三角形

∴AD=AP+PD=2+r

∴AE=AD=2+r

∴BE=AB-AE=10-(2+r)=8-r

∵OE2+BE2=OB2

∴r2+r2-16r+64=2r2-24r+72

∴8r=8

∴r=1

5 結(jié)語

通過上述分析我們可以得知，圓的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中十分重要，利用與圓相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行解題，可將很多題目轉(zhuǎn)化成為平面幾何問題，能夠幫助我們了解知識(shí)的本質(zhì)和圓的性質(zhì)、相關(guān)定理與公式，從而可促進(jìn)自身數(shù)學(xué)水平的提升。