線性有限元誤差的L2范數(shù)估計(jì)及其應(yīng)用*

王劉彭,　易年余

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，科學(xué)工程計(jì)算與數(shù)值仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411105)

有限元方法是求解偏微分方程的一種行之有效的數(shù)值方法，廣泛應(yīng)用于科學(xué)與工程計(jì)算的各領(lǐng)域.它的基本思想是分片函數(shù)(多項(xiàng)式)逼近與變分原理.隨著泛函分析在偏微分方程逼近理論中的成熟應(yīng)用，有限元方法與偏微分方程逼近完美結(jié)合，有限元方法的數(shù)學(xué)理論得到了蓬勃發(fā)展.自20世紀(jì)60年代開(kāi)始，逐漸建立了有限元方法的先驗(yàn)誤差估計(jì)理論[1-3]和后驗(yàn)誤差估計(jì)理論[4-7].

有限元誤差估計(jì)理論主要是基于誤差方程和Galerkin正交性.設(shè)Th是區(qū)域Ω的一個(gè)正則剖分，Vh是定義在Th上的有限元空間.在能量范數(shù)意義下，注意到有限元解是有限元空間Vh中偏微分方程解的最佳逼近，即

特別地，取vh為u在Vh上的插值uI，可將有限元誤差能量范數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為插值誤差估計(jì)

‖u-uh‖E≤‖u-uI‖E.

關(guān)于有限元誤差的L2范數(shù)估計(jì)，一般是通過(guò)引入對(duì)偶問(wèn)題，利用Aubin-Nitsche技巧將誤差的L2范數(shù)轉(zhuǎn)化為誤差的能量范數(shù)控制，進(jìn)而得到有限元誤差L2范數(shù)的一個(gè)上界

‖u-uh‖≤Ch‖u-uh‖E≤Ch‖u-uI‖E.

設(shè)Ω?Rd(d=1,2,3)為d維空間中的一有界區(qū)域，其邊界?Ω是Lipschitz連續(xù)的.記Th為區(qū)域Ω上的一正則剖分，Vh?H1(Ω)是定義在網(wǎng)格Th上的連續(xù)分片線性有限元空間.

對(duì)任意的函數(shù)u∈L2(Ω)，其在有限元空間Vh上的L2投影記為Pu∈Vh，滿足：

(u-Pu,vh)=0,?vh∈Vh.

(1)

對(duì)于投影Pu,有

‖u‖2=‖Pu‖2+‖u-Pu‖2,?u∈L2(Ω).

(2)

易知

‖Pu‖≤‖u‖,?u∈L2(Ω),

(3)

當(dāng)且僅當(dāng)u∈Vh時(shí)，等式成立.

基于估計(jì)式(2),可以合理假設(shè)：存在常數(shù)0<θ<1，使得

‖Pu‖≤θ‖u‖,?u?Vh.

(4)

顯然，在L2范數(shù)意義下，Pu是u在有限元空間Vh中的最佳逼近，即

(5)

因此，投影誤差可由誤差‖u-vh‖來(lái)估計(jì).下面定理給出投影誤差‖u-Pu‖與誤差‖u-vh‖的比較結(jié)果.

定理1設(shè)u∈L2(Ω),Pu∈Vh為u的L2投影且滿足假設(shè)(4)，則對(duì)任一vh∈Vh，

(6)

從而有

(7)

證明由三角不等式和(4)，對(duì)任意的vh∈Vh，有

‖u-vh‖≤‖u-Pu‖+‖Pu-vh‖=‖u-Pu‖+‖P(u-vh)‖≤

‖u-Pu‖+θ‖u-vh‖.

因此，(1-θ)‖u-vh‖≤‖u-Pu‖.即得(6).再結(jié)合(5)可得(7).

將定理1的結(jié)果應(yīng)用到有限元的誤差估計(jì)中，分別得到有限元誤差L2范數(shù)和H1范數(shù)的估計(jì).基于估計(jì)式(7)，可以得到有限元誤差與插值誤差在L2范數(shù)下的等價(jià)性，進(jìn)一步基于插值誤差的漸近展開(kāi)式和Hessian重構(gòu)方法，構(gòu)造了一個(gè)后驗(yàn)誤差估計(jì)子.

考慮如下模型問(wèn)題：

(8)

(9)

a(uh,vh)=f(vh),?vh∈Vh.

(10)

記uI∈Vh為u的分片線性插值，在定理1中分別取vh=uh和vh=uI可得

由上述兩式，得到有限元誤差‖u-uh‖和插值誤差‖u-uI‖的等價(jià)性

‖u-uh‖≈‖u-uI‖.

(11)

因此，

(12)

可作為有限元誤差L2范數(shù)的一個(gè)可靠且有效的誤差指示子.對(duì)于問(wèn)題(8)，定義能量范數(shù)如下：

c|u-uh|1≤‖u-uh‖E≤‖u-Pu‖E≤C|u-Pu|1.

(13)

由三角不等式，Vh空間上的逆估計(jì)以及‖u-uh‖與‖u-Pu‖的等價(jià)性，有

再利用對(duì)偶論證可得‖u-uh‖≤Ch|u-uh|1.結(jié)合上述兩式，有|u-Pu|1≤C|u-uh|1,即得

‖u-Pu‖E≤C‖u-uh‖E.

(14)

由(13)和(14)，即得有限元誤差‖u-uh‖E與投影誤差‖u-Pu‖E的等價(jià)性：

‖u-uh‖E≈‖u-Pu‖E.

(15)

由插值誤差估計(jì)理論，我們有

(16)

其中，(ξi,ηi),1≤i≤3介于點(diǎn)(x,y)和點(diǎn) (xi,yi)所成線段上，φi(x,y)為頂點(diǎn)(xi,yi)對(duì)應(yīng)的線性元基函數(shù).

基于誤差展開(kāi)式(16)，可以得到單元誤差估計(jì)的一個(gè)近似

其中，Hh(uh)表示由有限元解uh得到的Hessian重構(gòu)，是D2u的分片常數(shù)近似.

(p(zi)-uh(zi))2.

則單元τ上重構(gòu)的Hessian定義為

Hτ(uh):=2pτ.

基于以上的Hessian重構(gòu)，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的重構(gòu)型后驗(yàn)誤差估計(jì)子ητ

(17)

它是關(guān)于有限元誤差的L2范數(shù)的一個(gè)可靠且有效的后驗(yàn)誤差估計(jì)子.

我們測(cè)試了大量的數(shù)值算例來(lái)檢驗(yàn)有限元L2范數(shù)誤差的重構(gòu)型誤差估計(jì)子(17)的有效性.考慮如下橢圓偏微分方程

(18)

其中，?Ω=ΓD∪ΓN，n為邊界上的單位外法向量.我們應(yīng)用自適應(yīng)有限元方法求解上述偏微分方程，其中誤差估計(jì)子采用(17)，網(wǎng)格加密方法分別考慮了二分法[15]和CfCVDT[16]方法.所選取的算例主要來(lái)自[17]，包括解含有大梯度問(wèn)題，區(qū)域幾何形狀引起的奇性問(wèn)題，界面奇性問(wèn)題等.限于篇幅，我們僅列出了一個(gè)例子的結(jié)果.

例1考慮問(wèn)題(18)，其中A=I是一個(gè)2×2的單位陣，b=0,Ω=(0,1)2,ΓD=?Ω,真解

圖1畫(huà)出了解的圖形，這個(gè)解是光滑的，但是有一個(gè)陡峭的內(nèi)層，其中參數(shù)S反應(yīng)內(nèi)層斜坡的陡峭程度，本例中取S=60.圖2畫(huà)出了自適應(yīng)網(wǎng)格，誤差‖u-uh‖及誤差估計(jì)子η，誤差有效因子η/‖u-uh‖ 等圖形.可以看到，誤差估計(jì)子能夠引導(dǎo)網(wǎng)格在內(nèi)層處加密，且誤差估計(jì)子是漸近準(zhǔn)確的，誤差‖u-uh‖=O(N-1)，達(dá)到了最優(yōu)下降速度.

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