一次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略

摘要：一次函數(shù)是學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的第一個(gè)函數(shù)，它是最基礎(chǔ)的函數(shù)，是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一。而一次函數(shù)中的動(dòng)點(diǎn)問題又是一個(gè)難點(diǎn)。在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，首先必須要把握好“動(dòng)中有靜”的解題思想，通過動(dòng)中有靜，確定問題中的不變關(guān)系，動(dòng)靜互化，把握運(yùn)動(dòng)中的特殊信息，以動(dòng)制動(dòng)，建立圖形中變量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而探索出問題的解題策略。

關(guān)鍵詞：一次函數(shù);動(dòng)點(diǎn)問題;解題策略

一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，方程思想，分類思想，轉(zhuǎn)化思想蘊(yùn)合其中。學(xué)生在經(jīng)歷探索一次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題過程中，需要在動(dòng)點(diǎn)過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形不同位置的情況，在變化中找到不變的性質(zhì)。通過畫圖，合情推理與演繹推理相結(jié)合，從而有效地解決一次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題。下面就從單動(dòng)點(diǎn)，多動(dòng)點(diǎn)，單邊，多邊上運(yùn)動(dòng)不同情況的例題進(jìn)行解決問題策略的研究分析。

例1如圖，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-8，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0）。

（1） 求k的值;

（2） 若點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

（3） 探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線EF什么位置時(shí)，△OPA的面積為278，并說明理由。

思路分析：（1）由題意可知，E點(diǎn)在直線上，所以我們將E點(diǎn)代入直線可得k=34。

（2）從問題入手，△OPA中有兩個(gè)定點(diǎn)O和A點(diǎn)，而P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)。再深入閱讀題，看這個(gè)動(dòng)點(diǎn)在位置上的特殊要求，第一在直線EF上，第二在第二象限內(nèi)。由第一問可得解析式為y=34x+6，所以P（x，34x+6）。由于比較抽象，學(xué)生可以畫出大致圖使問題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的面積問題?！郤△OPA以O(shè)A為底的邊上的高是|34x+6|，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，|34x+6|=34x+6。∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），∴OA=6。從而△OPA的面積S就可求出。只是一定要注意P點(diǎn)在第二象限這個(gè)條件。

（3）對(duì)比第二問和第三問最大的區(qū)別就是已知面積求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，但是此刻P點(diǎn)在限制在第二象限，那我們可以考慮到P點(diǎn)在x軸的上方和x軸的下方兩種情況進(jìn)行分類討論，還是需要畫出示意圖。

剛才在上述題目中，我們講述的是如何去解決一個(gè)單動(dòng)點(diǎn)問題。在一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合的問題中，還會(huì)有翻折，旋轉(zhuǎn)這些動(dòng)態(tài)問題，并且還在一個(gè)背景下研究?？梢哉f一次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題是學(xué)生中學(xué)階段解析幾何的開端。

【模型建立】

（1） 如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E。

求證：△BEC≌△CDA;

【模型應(yīng)用】

（2） ①已知直線l1：y=43x+4與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度至直線l2，如圖2，求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;

②如圖3，長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，-6），點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限。若△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

分析：可以說本題是一道綜合性比較強(qiáng)的問題，當(dāng)學(xué)生閱讀完題，看到圖1后，能看出K字模型。但看到第2問第1小題，有60%學(xué)生都覺得特別茫然，他們也會(huì)先看問題結(jié)論，如果要寫出l2的函數(shù)表達(dá)式，待定系數(shù)法需要兩個(gè)點(diǎn)，

可這里只有一個(gè)A點(diǎn)，這里要注意45度角還未使用，這里可以設(shè)想在l2上有一個(gè)C點(diǎn)。聯(lián)系到第一問模型，思路轉(zhuǎn)向直角，再和45度結(jié)合起來看，方向應(yīng)該確定為等腰直角三角形。既然是動(dòng)點(diǎn)問題，運(yùn)用假設(shè)，作圖，如圖4過點(diǎn)B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據(jù)△CBD≌△BAO，得出BD=AO=3，CD=OB=4，求得C（-4，7），最后運(yùn)用待定系數(shù)法求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;第2小問是標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)點(diǎn)問題，閱讀完題還是雙動(dòng)點(diǎn)問題，根據(jù)△APD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，當(dāng)點(diǎn)D是直線y=-2x+6上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限時(shí)，這時(shí)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)D（x，-2x+6）。而分點(diǎn)兩種情況：當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)（圖5），當(dāng)點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)（圖6），設(shè)D（x，-2x+6），分別根據(jù)△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據(jù)此列出方程進(jìn)行求解即可。分析完這題，我們不難發(fā)現(xiàn)，作圖對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題起一個(gè)引導(dǎo)作用，此外還要善于從結(jié)論出發(fā)，根據(jù)條件假設(shè)。

對(duì)于一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合的問題，學(xué)生所需要以一次函數(shù)的表達(dá)式，性質(zhì)，圖像為基礎(chǔ)采取有效策略。學(xué)生可以采取以下幾種有效的方法。通過長期實(shí)踐，學(xué)生可以試著嘗試以下幾種方法有針對(duì)性地解決一次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題。首先學(xué)生在閱讀完題后需要快速地處理信息，把重要的信息在圖中標(biāo)識(shí)出來，再清晰地找到坐標(biāo)和距離之間的關(guān)系之后，學(xué)生有時(shí)可以試著用未知數(shù)來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示線段的長度或者距離。當(dāng)然這也需要學(xué)生能找出變量與不變量，自變量與因變量的關(guān)系。將已知條件和結(jié)論初步建立知識(shí)體系。其次這類問題經(jīng)常涉及函數(shù)關(guān)系式，其中還會(huì)涉及一些幾何面積公式、相似、勾股定理等知識(shí)，解決這類問題不可忽視的還有數(shù)學(xué)模型。比如點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到哪個(gè)位置使三角形為等腰直角三角形，這時(shí)如果聯(lián)想到K字模型，這一定會(huì)對(duì)思路上有了深層次的理解。第三，一般這類一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題相結(jié)合的問題一般都要三到四問，這幾小問可能是遞進(jìn)的關(guān)系，第二三問一般以最值問題和存在性問題形式出現(xiàn)。如果這幾問是并列的，那么第一問的解答思路延續(xù)到第二三問。

對(duì)于動(dòng)點(diǎn)問題與一次函數(shù)相結(jié)合的問題，作為教師，也沒有找到固定的教法，只能說通過不斷研究與實(shí)踐中，找到一些普遍的規(guī)律與方法，有效地解決動(dòng)點(diǎn)問題與一次函數(shù)相結(jié)合問題，在教學(xué)中總結(jié)以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

從動(dòng)點(diǎn)本身角度上：（1）讓學(xué)生充分理解題意，點(diǎn)與點(diǎn)相互牽制引起圖形的變化，有些點(diǎn)在特殊位置，這就是特殊關(guān)鍵點(diǎn)，通過特殊關(guān)鍵點(diǎn)理解運(yùn)動(dòng)過程。（2）找出動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)，歸納出動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向，運(yùn)動(dòng)速度以及運(yùn)動(dòng)距離。

從問題本身：（1）既然在一次函數(shù)大背景下必然含有常量與變量。自變量與因變量的關(guān)系引起位置變化。（2）在理解題意后，學(xué)會(huì)歸類信息，篩選關(guān)鍵有用信息，從而找到解決問題的突破點(diǎn)。（3）動(dòng)中找靜，動(dòng)靜互化，以動(dòng)制動(dòng)，是解決一次函數(shù)的關(guān)鍵方法，“靜”就是指不變的量，動(dòng)中找靜就是在運(yùn)動(dòng)過程中找不變的量，動(dòng)靜互化就是在整個(gè)變化過程中抽象出不變的時(shí)刻。用方程或函數(shù)等代數(shù)方法來表達(dá)變化過程。

一次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題可以說是解析幾何的開端，為今后反比例函數(shù)，二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)問題結(jié)合奠定了方法基礎(chǔ)，關(guān)于初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問題還需要長久研究下去。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：

徐臻，江蘇省常州市，江蘇省常州市新北實(shí)驗(yàn)中學(xué)。