考慮微凸體相互作用的確定性接觸模型

王慶朋, 張力, 陳斌, 耿楊濤

(1.重慶大學汽車工程學院, 400044, 重慶; 2.河南農業(yè)大學機電工程學院, 450002, 鄭州)

在機械系統中,粗糙表面的接觸特性是系統動態(tài)特性、摩擦與磨損、疲勞與失效以及全壽命周期等分析的基礎,并且將日益廣泛地成為關鍵科學技術問題,與之相應地,如何考慮微凸體相互作用也變得愈加重要。

目前,研究粗糙表面接觸的方法主要有概率統計、分形理論、數值計算和確定性理論等。在概率統計方法中,常將微凸體視為比較簡單的幾何模型,然后利用特定的概率密度函數將其拓展到整個粗糙表面,如經典的GW[1]和BGT[2]等模型。在已有研究中更多地是處理為單個球體簡單地疊加,忽略相互作用的影響,這顯然不符合實際接觸情況。Ciavarella等基于GW模型,通過改變名義接觸壓力來考慮微凸體相互作用,該方法等價于增加兩作用面間的間隔,文中也指出,只適用于中等載荷的分析[3]。Afferrante等利用高斯曲率的一階和二階近似,當微凸體發(fā)生相互作用時,將相鄰兩個微凸體曲率的幾何平均值視為新生成微凸體的曲率,由于要采用坐標點對曲率進行計算,這將需要更多的計算成本[4]。在分形理論中,利用具有尺度獨立性的分形參數來表征粗糙表面以及相應的接觸特性,忽略微凸體間的相互作用[5]。在數值計算方法中,楊楠等利用有限元方法對多粗糙峰進行分析,發(fā)現中心接觸區(qū)的變形受到相鄰一定數目粗糙峰的影響[6]。Hyun等采用同樣的方法對粗糙表面建立精確的彈性、無摩擦接觸模型,小至離散尺度,對接觸面積和接觸壓力進行分析,事實上,接觸面積被過高地估計[7]。文獻[8]利用離散位錯塑性的方法考慮微凸體相互作用,對一個等間距正弦表面壓縮,結果表明,考慮相互作用的微凸體發(fā)生平坦化所需要的接觸壓力要比未考慮的大。數值方法可以最大程度地逼近真實接觸情況,Persson對此指出,如果考慮宏觀器件到微觀原子,可能包括約7個數量級,對應1021個自由度,進行計算顯然是不現實的[9]。對于確定性接觸模型,作者對已有微凸峰確定準則進行總結,指出等效峰中可能存在不連續(xù)、重疊、丟失和半徑過小而被“吞沒”等問題,并且提出“谷-峰-谷”模式的確定準則[10]。在已有的確定性接觸模型中未考慮微凸體相互作用。

目前,在接觸問題的研究中存在的主要限制是:①在接觸過程中,微凸峰的曲率半徑始終保持不變,事實是否如此;②如何考慮相鄰微凸體間的相互作用。事實上,在兩粗糙表面相互作用過程中,微凸體的大小和分布不可能是一成不變的,它們之間發(fā)生著物理的、化學的和力學的等綜合作用,必然會引起相應狀態(tài)的變化。再者,從動態(tài)的觀點來看,未包含微凸體相互作用的接觸模型是不完整的。鑒于此,本文在“谷-峰-谷”模式微凸峰確定性接觸模型的基礎上,通過引入幾何重疊和固體表面能來考慮微凸體相互作用,并且根據材料體積守恒原理對其進行合并,在此基礎上分析粗糙表面接觸特性的變化規(guī)律。

1　模型的建立

1.1　單個微凸體接觸模型

對于單個微凸體的接觸,作者在文獻[11]中將微凸體的彈性和塑性接觸狀態(tài)拓展到整個接觸過程,提出混合彈塑性接觸模型。單個球體的接觸面積和接觸力分別為

A=f1(δ)(πrδ)+f2(δ)(2πrδ)

(1)

(2)

式中:E和r分別為等效彈性模量和球體半徑;δ為法向變形量;p0為塑性狀態(tài)下的平均接觸應力;f1(δ)和f2(δ)分別為彈性和塑性狀態(tài)的比例系數(詳細證明過程見文獻[11])

(3)

其中n為Meyer硬度指數,δy和δp分別為初始屈服點和完全塑性屈服點對應的法向變形量。

1.2　粗糙表面輪廓

采用分形理論獲得一組二維粗糙表面輪廓,采樣長度為800 μm、采樣間隔為0.5 μm時的粗糙度(算術平均偏差Ra和均方根偏差Rq)如表1所示。

表1　表面輪廓的粗糙度

利用文獻[10]中提出的“谷-峰-谷”模式的微凸峰確定準則得到單個球體,進而得到連續(xù)等效粗糙表面輪廓,如圖1所示。

圖1　粗糙表面輪廓及其等效峰

1.3　微凸體相互作用

粗糙界面作為一個系統,其各尺度對應的組成部分如零件表面結構、微凸體、材料晶體、分子和原子等,無不處于運動和變化之中,這將引起表面形貌的重構。固體表面能是由于表面分子間化學鍵遭到破壞,使表層原子朝向體相外側的鍵能無法得到補償而使其具有額外的能量。雖然固體表面能和表面張力的涵義不同,但是具有相等的數值,對于二維表面輪廓,也可以理解為改變單位長度所需要的力。

固體介質表面形貌的變化與地球板塊運動有著相似的變化規(guī)律,只是尺度上存在差異。地球上的板塊并不是簡簡單單地漂移,而是包括碰撞、擠壓和俯沖等相互作用。如果能夠理解青藏高原是由歐亞板塊和印度洋板塊相互作用造成的,那么相鄰微凸體間必然發(fā)生同樣的作用。事實上,相鄰微凸體在壓縮過程中發(fā)生平坦化,結合在一起就如形成一個大的微凸體,進而承受更大的外載荷。

為了使分析得以簡化,當出現幾何重疊和超過固體表面能時將導致“大山峰”的形成。為了有效地表征相鄰微凸體間的合并,增加如下約束條件

(4)

式中:xc為等效圓圓心的橫坐標值;rc為接觸圓半徑;μ為摩擦系數;xol為重疊長度;γsv為固體表面能。

當滿足條件時,利用面積相等將發(fā)生相互作用的等效圓進行合并,有

π(r′(k))2=π(r(k))2+π(r(k+1))2

(5)

式中:r′為新生成圓的半徑。

圖2為等效粗糙峰及其重疊后合并的示意圖。計算得到新生成圓的半徑后,再利用合并前相鄰兩圓變形后的左右端點A、B,構成三角形AO′B,如圖2中粗實線所示,利用三角形外接圓可確定新生成圓的圓心位置和峰高度,這為下一個壓縮步長提供了一個新的表面輪廓。

圖2　等效粗糙峰及其重疊后合并的示意圖

1.4　計算流程

對于二維粗糙表面輪廓,根據GW建模方法[1],將兩個粗糙表面的接觸視為等效粗糙表面與剛性光滑平面接觸,主要的計算步驟如下:

(1)利用“谷-峰-谷”模式的微凸峰確定準則,得到一連續(xù)的等效表面輪廓;

(2)在步驟(1)的基礎上,剛性平面的位置從等效粗糙表面的最高點開始,取一定的壓縮步長,利用1.1節(jié)中單個球體的接觸理論,計算發(fā)生接觸微凸體的接觸面積、接觸力和接觸圓半徑;

(3)通過步驟(2)中的計算結果,判斷相鄰微凸體接觸半徑是否重疊以及單位長度上界面處球體與剛性平面之間的摩擦力是否大于固體表面能,當條件成立時,根據材料守恒原理,將這兩個微凸體合并為一個大的微凸體。

具體計算流程如圖3所示。

圖3　考慮微凸體相互作用的接觸特性計算流程

2　結果的比較

為了分析微凸體相互作用對接觸面積、微凸峰數量、平均峰半徑和峰高度等的影響,采用不同法向變形量、采樣間隔和粗糙度等方案,同時與未考慮微凸體相互作用的結果進行對比。

利用文獻[12]中金剛砂平板對一鋁合金球進行壓縮的實驗數據如表2所示,取鋁合金材料的表面能γsv為77.8 mJ/m2,摩擦系數μ為0.06。

2.1　不同法向變形量的接觸特性

在壓縮過程中采用表面輪廓4,采樣間隔取為0.5 μm,壓縮量終值δe為等效粗糙峰中的最大峰值,取60個計算步長。事實上,步長對計算結果也是有影響的,正如在變形過程中總應變不等于各個階段應變之和一樣。通過對比分析,取60和70個步長時的接觸面積分別為1.361 6×10-2和1.360 0×10-2mm2,誤差已經很小。

表2　鋁合金球壓縮實驗中測試試件的參數[12]

2.1.1接觸面積接觸面積與法向參量之間的關系如圖4所示。從圖4a中可以看出,不論是否考慮微凸體相互作用,接觸面積與法向接觸力均為線性關系。對于經典的接觸理論,如GW[1]、BGT[2]和Persson理論[9],數值仿真分析[7,13-14]以及文獻[15]中的實驗結果均表明,接觸面積與載荷的關系為線性或近似線性。由此可見,本文的分析結果與已有結論是吻合的。

(a)接觸面積和法向接觸力的關系

(b)接觸面積和法向變形量的關系圖4　接觸面積與法向參量之間的關系

從圖4b中可以看出,粗糙表面的接觸面積與法向變形量為類二次冪曲線關系,文獻[3]中也有類似的結果,但本文在水平方向上微凸體的合并使接觸面積增加,而在文獻[3]中發(fā)生接觸的微凸體使相鄰微凸體的原始基準下降,導致接觸面積減小。此外,這與單個微凸體的結果還是有所差別的[11]。當存在微凸體相互作用時,曲線并不是光滑的,其主要原因是:①相鄰微凸體在滿足給定條件時出現合并;②新的微凸體參與接觸。當變形量較小時,微凸體相互作用較弱,隨著變形量的增加,所造成的影響也變得明顯。在工程應用上,影響最大的就是密封問題,通過變形量并不能夠真實地反映接觸面積的變化,并且隨著零件表面積的增大,微凸體相互作用變得更為重要,從實際情況也可以得到,密封一個大的面積顯然要比密封一個小的困難得多。

2.1.2微凸峰的接觸特性對于特定的微凸峰形狀,一個粗糙表面最重要的參數是微凸峰數量、平均峰半徑和峰高度。微凸峰接觸特性與法向變形量的關系如圖5所示。在圖5a中,當未考慮微凸體相互作用時,微凸峰數量保持不變,為59個;當考慮相互作用時,峰數量在初始壓縮時保持為59個,隨著變形量的增加,峰數量逐漸減少,直到最后的38個。在圖5b中,未考慮相互作用時,平均峰半徑為8.26 μm;考慮相互作用時,平均峰半徑的變化與峰數量的變化正好相反,隨著法向變形量的增加而變大,最后達到10.01 μm。從圖5c可以看出,當存在相互作用時,平均峰高度的變化與峰半徑的變化類似,只是在數值上存在差異。

(a)微凸峰數量

(b)平均峰半徑

(c)平均峰高度圖5　不同法向變形量的微凸峰接觸特性

當法向變形量較小時,微凸體相互作用對接觸特性的影響不大,相應的參數保持不變。隨著變形量增加,相鄰微凸體間的作用也逐漸明顯,小的微凸體合并為大的,與之相應,粗糙表面上的微凸峰數量減少,峰半徑和峰高度變大?？紤]一種極端情況,所有的微凸體都發(fā)生完全塑性變形,最終的結果將只有一個微凸體,峰半徑和峰高度都趨向于無窮大,實現完全光滑平面。

2.2　不同采樣間隔的接觸特性

下面分析不同采樣間隔對接觸特性的影響,取法向變形量和計算步長與2.1節(jié)的一致,采樣間隔分別為0.05、0.1、0.3 μm,并在0.5～5 μm之間每隔0.5 μm進行一次取值。

2.2.1接觸面積接觸面積隨著采樣間隔的變化規(guī)律如圖6所示。接觸面積隨著采樣間隔的減小而變小,中間的波動主要是由于不同的表面形貌信息造成的。對于考慮和未考慮相互作用的兩種方式,在較大的采樣間隔時,兩者是重合的,微凸體間的相互作用不明顯。當采樣間隔小于3 μm時,相互作用開始變得明顯,使接觸面積變大,隨著采樣間隔的進一步減小,在粗糙表面上有更多的微凸體發(fā)生相互作用,導致兩者之間的差距變得更大。在工程應用上,采用高質量的加工表面往往可以獲得更好的密封效果,這主要是因為表面具有更多精細的微觀結構,在工作過程中將有更多的微凸體發(fā)生相互作用。

圖6　不同采樣間隔的接觸面積

2.2.2微凸峰的接觸特性微凸峰的接觸特性隨著采樣間隔的變化規(guī)律如圖7所示。

從圖7a中可以看出,微凸峰數量隨著采樣間隔的減小而增多,對于未考慮相互作用的微凸峰數量,從最少的10個增加到最多的65個,這就如同在一定區(qū)域內等效球體、晶胞和原子數的變化規(guī)律一樣[10],而考慮相互作用時,從最少的10個增加到最多的41個。

平均峰半徑的變化如圖7b所示,隨著采樣間隔的減小,其變化趨勢與峰數量的變化正好相反。當未考慮相互作用時,平均峰半徑從最大的94.73 μm逐漸減小到采樣間隔為0.05 μm時對應的7.55 μm,而考慮相互作用時,兩者的差距從采樣間隔為3 μm開始逐漸增加,直到采樣間隔為0.05 μm時達到最大,對應的峰半徑為9.34 μm。

(a)微凸峰數量

(b)平均峰半徑

(c)平均峰高度圖7　不同采樣間隔的微凸峰接觸特性

平均峰高度的變化如圖7c所示,對于未考慮相互作用的微凸體來說,其變化趨勢與平均峰半徑的變化類似,隨著采樣間隔的減小而減小。但是,當考慮相互作用時,同樣地,從采樣間隔為3 μm開始,微凸峰高度發(fā)生明顯的變化,與平均峰半徑不同的是,當采樣間隔大于1.5 μm時,平均峰高度基本上穩(wěn)定在4 μm,當采樣間隔小于1.5 μm時,平均峰高度出現較大的波動,這主要是由于微凸體相互作用造成的,在1 μm處存在一個最大值,為5.41 μm。

當采樣間隔減小時,粗糙表面上呈現出更多的微小結構,在外載荷的作用下微凸體間更容易發(fā)生相互作用。在分析過程中當相鄰微凸體滿足給定條件時,將兩個較小的微凸體合并為一個大的,這就造成總的微凸峰數量減少,峰半徑和峰高度變大,從圖7中也可以看出,越能反映粗糙表面上的微觀結構,微凸體間的相互作用越明顯。

2.3　不同粗糙度的接觸特性

2.3.1接觸面積為了分析不同粗糙度對接觸面積的影響,采用采樣間隔為0.5 μm對7個表面輪廓進行分析。接觸面積隨著粗糙度的變化規(guī)律如圖8所示。兩種作用方式對應的接觸面積均隨著粗糙度的減小而增大,基本上呈現為兩條平行線,這說明微凸體的作用方式與采樣間隔有著一定的聯系。

圖8　不同粗糙度的接觸面積

2.3.2微凸峰的接觸特性微凸峰特性與粗糙度之間的關系如圖9所示,與文獻[10]中的分析結果一致。不同作用方式下的接觸特性與法向變形量和采樣間隔對應的結果類似。對于微凸峰數量和平均峰半徑,均為隨著粗糙度的減小而變大,而平均峰高度的變化,與前兩者正好相反,并且不同作用方式下的差距在縮小,這主要是因為較小粗糙度的原始峰高度較低。

(a)微凸峰數量

(b)平均峰半徑

(c)平均峰高度圖9　不同粗糙度的微凸峰接觸特性

3　結　論

本文在確定性接觸模型的基礎上,考慮微凸體間的相互作用,分析了粗糙表面在接觸過程中微凸體相互作用對接觸特性的影響,得到的主要結論如下。

(1)不論是否考慮微凸體相互作用,接觸面積與法向載荷的關系均為線性,這與理論、數值分析以及實驗結果是吻合的,驗證了本文方法的有效性。

(2)在較小的法向變形量和較大的采樣間隔下,微凸體相互作用不明顯,接觸特性與獨立微凸體的一致。

(3)隨著法向變形量的增加、采樣間隔的減小,不同粗糙度下相互作用的影響變得愈加明顯,與未考慮微凸體相互作用的結果相比,微凸峰數量減少,而接觸面積、平均峰半徑和峰高度增大。

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