水火箭的理論探討

馮冠楠

摘 要：水火箭是學(xué)生學(xué)習(xí)物理知識(shí)與實(shí)踐相結(jié)合的很好的活動(dòng)，通過(guò)水火箭的制作，學(xué)生能理解拋體運(yùn)動(dòng)，學(xué)習(xí)理解并解釋牛頓第一、第二及第三定律在水火箭上的應(yīng)用。讓學(xué)生體驗(yàn)實(shí)驗(yàn)探究，試驗(yàn)并發(fā)現(xiàn)發(fā)射中的問(wèn)題，并找出解決的辦法。

關(guān)鍵詞：理論分析；實(shí)驗(yàn)探究；試驗(yàn)發(fā)射；思維活動(dòng)

目前，在很多中學(xué)，學(xué)校的物理課在講到拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)，都會(huì)結(jié)合一些物理課中的拋體知識(shí)、物理理論來(lái)進(jìn)行一些課外的實(shí)踐及實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，以活躍學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。水火箭就是一個(gè)很好的活動(dòng)例子，但是，在很多的實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生在操作過(guò)程中總是要涉及一些理論問(wèn)題，具體的活動(dòng)要領(lǐng)以及技術(shù)問(wèn)題，比如：能達(dá)到多大發(fā)射速度或多大高度，應(yīng)當(dāng)用多大的體積的可樂瓶，在瓶?jī)?nèi)要裝多少水，要加多大的氣壓，等等，這些在理論上的講述及理解并不是很透徹，以至于在實(shí)踐活動(dòng)中，有時(shí)老師也不能很好地給予理想的解答，因此不得以就用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行測(cè)，如果能有一定理論知識(shí)作為指導(dǎo)，那教師在指導(dǎo)學(xué)生的活動(dòng)中，也可以心中有數(shù)，做到有的放矢。

水火箭除了拋體的知識(shí)外，還涉及動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律，及理想氣體定律（玻-瑪定律）等等知識(shí)。

首先說(shuō)明，水火箭在發(fā)射過(guò)程中，是一個(gè)變質(zhì)量的物體的運(yùn)動(dòng)，在水不斷向后噴出的過(guò)程中，總的質(zhì)量是在不斷減少的，所以要進(jìn)行一些變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)的分析。由于水是連續(xù)噴出的，從而水火箭的質(zhì)量也是連續(xù)變化的（連續(xù)減少）。理想狀態(tài)是當(dāng)水剛噴完，水火箭達(dá)到最大速度，此后水火箭靠慣性繼續(xù)飛行。

下面就水火箭的運(yùn)動(dòng)做一些理論及實(shí)踐上的分析。

一、首先討論一下一般情況下的變質(zhì)量物體的一般運(yùn)動(dòng)規(guī)律

設(shè)在某一時(shí)刻，物體的質(zhì)量為m，它相對(duì)于地面的速度■，另一質(zhì)量dm的物體以速度■運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)dt時(shí)間后，m與dm合并成和體后，以共同的速度■+d■運(yùn)動(dòng)，作用在m和dm組成的系統(tǒng)上的外力的矢量和為■。

這樣，主體m與微小物體dm組成了質(zhì)點(diǎn)系。

變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)微分方程

設(shè)：（1）t時(shí)刻，主體質(zhì)量為m，相對(duì)于某慣性系的絕對(duì)速度是■，微小物體的質(zhì)量為dm，相對(duì)于同一慣性系的絕對(duì)速度為■。

（2）在dt時(shí)間內(nèi)主體與微小物體完成合并。

（3）在dt時(shí)間內(nèi)，m與dm合并，作用在m與dm上的外力矢量和為■。

（4）在t+dt時(shí)刻，主體的質(zhì)量變?yōu)閙+dm，相對(duì)于同一慣性系的速度為■+d■。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理，

m與dm作用前（合并前）的總動(dòng)量：■=m■+■dm

m與dm在dt時(shí)間內(nèi)完成合并，合并前后如圖所示。

合并后的總動(dòng)量：■=（m+dm）（ ■+d■）

■

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理：■-■=■dt，

即：（m+dm）+（■+d■）-（m■+■dm）=■dt

將該式展開并略去二階無(wú)窮小量dmdv，得：

md■+（■-■）dm=■dt （1）

或：m■=■-（■-■）■ （2）

（1）（2）是變質(zhì)量物體的運(yùn)動(dòng)方程，兩式均稱為密舍爾斯基方程，是解決變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)的重要?jiǎng)恿W(xué)方程。

以上兩式雖從和體質(zhì)量增加而導(dǎo)出，但是同樣適用于主體不斷減小的情況：

當(dāng)■<0時(shí)，主體質(zhì)量減??；當(dāng)■>0時(shí)，主體質(zhì)量增加。

方程（2）可視為主體運(yùn)動(dòng)微分方程。

其中，■——主體加速度。m——主體質(zhì)量。

（■-■）■——微質(zhì)量對(duì)主體的反作用力。（如火箭就是靠此飛行）

二、下面就利用上面導(dǎo)出的公式對(duì)水火箭進(jìn)行一些理論上的分析

水火箭在噴射瞬間，dm是從火箭主體分離出來(lái)的微小物體，因dm的質(zhì)量很小，dm

對(duì)于水火箭來(lái)說(shuō)，其受到的外力為空氣阻力及重力，由于水火箭飛行的速度并不是太快，在忽略空氣阻力的情況下，可以不計(jì)，因此，所受到的外力主要為重力，在飛行中，水不斷噴出，火箭主體的質(zhì)量也在不斷減少。

由于水火箭在飛行中，是一個(gè)質(zhì)量不斷減小的過(guò)程，即是一個(gè)變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)物體。設(shè)m是在水噴出前瞬間火箭主體的質(zhì)量，m′為水噴出后瞬間火箭主體的質(zhì)量，主體質(zhì)量是減小的，所以，瞬間噴出的水的質(zhì)量為：dm=m′-m<0，所以m′=m+dm

設(shè)■是t時(shí)刻質(zhì)量為m的水火箭相對(duì)于地面的速度，■是t+dt時(shí)刻時(shí)，水火箭質(zhì)量為m′時(shí)相對(duì)于地面的速度。

■′與■方向相同，所以，水火箭噴出dm的水后，速度的增加量：d■=■′-■>0

水火箭向后噴出dm的水時(shí)，dm相對(duì)于地面的速度為■。

所以，水火箭噴出dm前后，火箭m′及dm的總動(dòng)量的變化量為：

噴出水前動(dòng)量：P1=m■

噴出水后動(dòng)量：P1=m′■′-■dm=（m+dm）（■+d■）-■dm

由動(dòng)量定理得出：■2-■1=■dt

整個(gè)飛行過(guò)程只受重力。所以，上式整理后略去兩節(jié)無(wú)窮小得：m■+（■-■）■=m■

由上式可見與方程（2）相同。

現(xiàn)取豎直向上為坐標(biāo)軸正方向，則微分方程式變?yōu)椋?/p>

m■=-mg-（v-u）■

根據(jù)速度的合成原理：v-u即是dm相對(duì)于水火箭主體m′的相對(duì)速度，即噴射速度。

設(shè)v1=v-u則：m■=-mg-vr■ （■<0） （3）

從（3）式中可以看出：■r■（當(dāng)■<0時(shí)）為反沖力，即推動(dòng)火箭飛行的作用力。

水火箭的加速度：a=m■=-g-vr■ （4）

因■<0（箭體因向后噴水總質(zhì)量減少）所以上式可以寫成：

a=m■=vr■-g （5）

由此式可以看出，其加速度a是一個(gè)隨時(shí)間及質(zhì)量變化的物理量。所以水火箭噴出的水相對(duì)于水火箭的推力也是一個(gè)變化的力。對(duì)（5）式變換得：

dv=-gdt-vr■ （6）

經(jīng)過(guò)時(shí)間t，當(dāng)水火箭中的水噴射完時(shí)，其質(zhì)量只剩下水火箭殼體的質(zhì)量m0，所以對(duì)（6）式積分：

■dv=-g■dt-vr■■

v=-gt-vr1n■或v=-gt+vr1n■ （7）

式中v為水噴射終了時(shí)的水火箭的速度（即最大速度），m為箭體含水的總質(zhì)量。m0為水火箭射完水后，火箭殼體（無(wú)水）的質(zhì)量。

從（7）式可以看出：如果水火箭殼體內(nèi)的水在很短時(shí)間內(nèi)噴射完，發(fā)射時(shí)，噴射的水相對(duì)于火箭的速度vr也很大，裝入水的水火箭的總質(zhì)量與水火箭殼體的質(zhì)量比■很大，水火箭的速度就可以很大。水火箭能達(dá)到的最大速度與水火箭的噴射速度Vr及質(zhì)量比■有關(guān)，同時(shí)，受重力加速度的作用，隨著時(shí)間的增加（即噴射的時(shí)間長(zhǎng)），在噴射完水的過(guò)程中，當(dāng)達(dá)到：gt=vr1n■時(shí)，速度為0

如果在太空，不計(jì)重力及空氣阻力，噴射終了時(shí)的最大速度為：v=vr1n■ （8）

（8）式稱為齊奧爾科夫斯基公式。齊奧爾科夫斯基是開拓火箭技術(shù)領(lǐng)域的先驅(qū)者之一。式中■為質(zhì)量比。因水火箭的m>m0所以1n■>0。

當(dāng)然，水火箭在飛行過(guò)程中，還受到空氣阻力的作用，

小資料：如果考慮空氣阻力，則空氣的阻力為：f空氣=■CρSV2式中：C為空氣阻力系數(shù)；ρ為空氣密度；S為物體迎風(fēng)面積；V為物體與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。

可以看出，空氣阻力與形狀及速度有關(guān)，所以水火箭的飛行過(guò)程是一個(gè)很復(fù)雜的過(guò)程。

一些物體的風(fēng)阻：垂直平面體風(fēng)阻系數(shù)大約1.0；球體風(fēng)阻系數(shù)大約0.5；一般轎車風(fēng)阻系數(shù)0.28～0.4；好些的跑車在0.25；賽車可以達(dá)到0.15；飛禽在0.1～0.2；飛機(jī)達(dá)到0.08；目前雨滴的風(fēng)阻系數(shù)最小，在0.05左右。

所以把水火箭做成流線形，且前面做得尖一些，以減小空氣的阻力。

三、關(guān)于水火箭殼體內(nèi)壓縮氣體與火箭噴射時(shí)壓強(qiáng)（或力的）變化的討論

水火箭內(nèi)的壓縮氣體可以看成是理想氣體。

水火箭所需要的動(dòng)力來(lái)源是殼體內(nèi)的高壓氣體膨脹時(shí)推動(dòng)加在殼體內(nèi)的水，使水向后高速噴出而產(chǎn)生的反作用力，這個(gè)力推動(dòng)水火箭向前飛出。

我們來(lái)試著分析一下水火箭在氣體壓力不斷減小的情況下的運(yùn)動(dòng)情況。

我們可以看出噴嘴處水的壓強(qiáng)與箭體內(nèi)氣體的壓強(qiáng)相等（帕斯卡定律）。

設(shè)：殼體內(nèi)氣體的溫度在整個(gè)噴射過(guò)程中不變，根據(jù)玻意耳-馬略特定律：

P1V1=P2V2=nRT 或：PV=C（恒量） （9）

理想情況是：當(dāng)水從殼體內(nèi)從噴射到噴完過(guò)程中，殼體內(nèi)的壓強(qiáng)從壓縮狀態(tài)P變化到等于外界大氣壓強(qiáng)P0，箭體內(nèi)的氣體的壓強(qiáng)不斷減小，殼體內(nèi)的氣體的體積V從被壓縮狀態(tài)變化到水剛剛噴完后達(dá)到整個(gè)殼體體積V0，體積增大。整個(gè)過(guò)程中氣體的壓強(qiáng)與體積的變化都滿足玻-馬定律，另外，水火箭向后噴射出水的過(guò)程中，火箭不斷加速，但是因?yàn)闅んw的壓強(qiáng)減小，即對(duì)向后噴射的水的壓力也變小，直到水從箭體內(nèi)噴射完為止。這是一個(gè)變加速過(guò)程。

■

水火箭噴嘴的面積s及箭體的面積S是不變量。

（9）式中：P=■ f為噴嘴處噴出的水的作用力，s為噴嘴的面積

氣體的體積：V=xS x為氣體長(zhǎng)度，S為箭體內(nèi)氣體截面，代入（9）式：■xS=C或fx=■=C′（S與s是不變量） （10）

從10式可以看出，箭體受到的噴出的水的反作用力與箭體內(nèi)的x成反比關(guān)系。

可見，當(dāng)氣體膨脹過(guò)程中，x不斷增大，所以箭體受到的反作用力也在不斷減小，最后達(dá)到與大氣壓產(chǎn)生的作用力相等，箭體的速度也在增加，但是其加速度不斷減小。

四、水火箭向后噴射的水在噴嘴處速度大小的討論

我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出，當(dāng)一個(gè)上端開口的容器中水的深度為h時(shí)，在容器的下端開一個(gè)開口向上的孔，如圖a，因水深為h，水在h深處的壓強(qiáng)為P=ρgh，且開口向上，如果不考慮空氣阻力，根據(jù)機(jī)械能轉(zhuǎn)化守恒定律，則噴射出的水柱高度也應(yīng)為h，這樣一來(lái)，就可以算出水噴射出水火箭時(shí)的速度。

由機(jī)械能的轉(zhuǎn)化和守恒定律：mgh=■mv2

得出：v2=2gh

將上式兩邊乘以ρ，得：v2ρ=2ghρ=2p

變換上述公式，得：v=■ （11）

因f=ps所以：p=■；式中s為噴嘴處的截面（也即是水火箭噴嘴處的截面，是常數(shù)）

由（11）式可以看出，噴嘴處的出水速度是一個(gè)只與箭體內(nèi)的壓強(qiáng)有關(guān)的物理量。

代入上式得出噴嘴處相對(duì)于箭體的噴出的水的速度也可寫為：v=■ （12） 式中f為壓強(qiáng)為P時(shí)，噴嘴處的水的壓力，ρ為水的密度，ρs是常數(shù)。

可以看出，因ρ為水的密度，是常數(shù)，所以，出口處水相對(duì)于箭體的噴射速度是一個(gè)與質(zhì)量無(wú)關(guān)，只是一個(gè)與密度有關(guān)，與壓強(qiáng)P的平方根成正比的物理量，上式雖然是從水深的方法導(dǎo)出的，因v只與壓強(qiáng)有關(guān)，所以也適用于封閉的容器（水火箭就是這種情況）。

如果把容器頂端封閉，裝入適量的水，并在容器內(nèi)充入高壓氣體，使容器內(nèi)氣體產(chǎn)生的壓強(qiáng)與h深處水的壓強(qiáng)相同（當(dāng)氣壓很大時(shí)，箭體內(nèi)的水深可不計(jì)），如圖b所示，則噴嘴處的水的速度也將等于相同水深處噴出的水的速度。當(dāng)容器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)很大時(shí)，可以認(rèn)為是產(chǎn)生相同壓強(qiáng)所對(duì)應(yīng)的水深的水在噴射口處產(chǎn)生的壓強(qiáng)，因?yàn)閲娮焯巼姵龅乃乃俣戎皇且粋€(gè)與壓強(qiáng)有關(guān)的量，所以，噴嘴處噴出的水的速度也將與不封閉時(shí)等同深度處容器出口產(chǎn)生的壓強(qiáng)相同，噴出的水的速度也與等同水深處獲得的速度相等。

五、加水量與射程的關(guān)系

水火箭加入水量的多少直接決定水火箭的射程。動(dòng)量P=mv，在壓縮氣體膨脹過(guò)程中，火箭中的水在氣體放盡時(shí)也剛好放完是最佳情況。這時(shí)，火箭獲得的動(dòng)量最大（速度也最大）。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出，當(dāng)水量為1/3左右時(shí)，水火箭飛得最高.而且氣壓越大，噴嘴處對(duì)噴出的水的作用力就越大，噴水的力量越大，水火箭的沖量越大，水火箭做反沖運(yùn)動(dòng)。

如果水火箭中的水未噴完，由于氣壓減小就停止了加速，水火箭的重量就會(huì)使水火箭受重力影響而提前墜落了。質(zhì)量越大，所需提供的動(dòng)量就越大，提高速度的方法是提高單位時(shí)間內(nèi)的噴水量.所以，只有當(dāng)水火箭內(nèi)的氣壓與水量適當(dāng)時(shí)，才能飛得更遠(yuǎn)更高。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，若水量大于固定氣壓所能噴射的上限，則水火箭中的水不會(huì)噴完，要如何避免水噴不完的情形呢？

根據(jù)PV=nRT，可求出一定氣壓所能噴出的水量上限.若是水量不夠一定氣壓所能噴出的水量被較早噴完。根據(jù)理論，發(fā)射時(shí)我們先量出能灌進(jìn)水火箭的最大值，再算出此氣壓能噴出的最大水量，根據(jù)此兩項(xiàng)數(shù)據(jù)裝水灌氣，即可達(dá)到水火箭之最大射程（Pmax=Fmax×Mmax）.

發(fā)射：水火箭發(fā)射時(shí)利用牛頓第三定律，力的作用是相互的?；鸺械臍怏w釋放壓力，作用在水上，水在瞬間噴出，火箭獲得一個(gè)極大的反沖力，瞬間“飛出”。利用壓強(qiáng)P=F/S，噴水口的面積S一定，要想使火箭獲得更大的反沖力（速度），就要使火箭中的壓力足夠大，即要充入更多的空氣，這就利用了PV=nRT，n越大，P 越大。

飛行：火箭飛行過(guò)程中，在水沒有噴完前，其速度是增加的，但因作用力不斷減小，加速度也不斷減小，是一個(gè)變加速運(yùn)動(dòng)。在水噴射完后，是利用自身的慣性飛行（牛頓第一定律）；火箭飛出時(shí)的速度是斜向上的，在重力的作用下，火箭的飛行軌跡是斜拋運(yùn)動(dòng)，這就是“彈道飛行”（運(yùn)動(dòng)學(xué)原理）。

同時(shí)，由于摩擦，火箭還受到空氣阻力的作用，使得火箭的速度不斷減小。上升到一定高度后，火箭的豎直方向速度減小至0，火箭開始降落，依然呈“拋物線”型?？傊鸺玫奈锢韺W(xué)原理有：動(dòng)量P=mv及動(dòng)量守恒定律，理想氣體實(shí)驗(yàn)定律PV=nRT，牛頓運(yùn)動(dòng)定律（第一、第二、第三），運(yùn)動(dòng)學(xué)公式等，是經(jīng)典力學(xué)非常典型的應(yīng)用。

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？誗編輯 郭小琴