淺析二次函數(shù)與方程的關(guān)系

唐朝陽(yáng)

摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中的重難點(diǎn)知識(shí)，更是銜接初高中知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)又是各地區(qū)中考的必考內(nèi)容之一。二次函數(shù)與一元二次方程之間存在著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，不容分割，作為九年級(jí)的初中數(shù)學(xué)教師必須牢牢地把握兩者之間的內(nèi)在關(guān)系，深入地研究二次函數(shù)的表達(dá)式與方程系數(shù)的各種關(guān)系，熟諳兩者關(guān)系的內(nèi)涵和真諦，巧妙地向?qū)W生傳授有關(guān)解答兩者關(guān)系的典型例題，以促使學(xué)生靈活多變地解決實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)而提升二次函數(shù)的運(yùn)用能力。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；方程；關(guān)系

如何將二次函數(shù)與方程有機(jī)地結(jié)合在一起，妥善地處理兩者之間的微妙關(guān)系一直是九年級(jí)初中數(shù)學(xué)教師難以攻克的一大難題，因?yàn)閼?yīng)用二次函數(shù)不僅關(guān)系到學(xué)生對(duì)函數(shù)基本知識(shí)的掌握情況，更牽扯到學(xué)生對(duì)一元二次方程的理解程度。因此，作為初中數(shù)學(xué)教師，必須對(duì)二次函數(shù)、一元二次方程的相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行精心的設(shè)置，幫助學(xué)生深入地剖析兩者之間的關(guān)系，結(jié)合比較典型的、有代表性的例題，探究?jī)烧咧g知識(shí)點(diǎn)的融合，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程之間的整合，避免學(xué)生在運(yùn)用二次函數(shù)中走進(jìn)誤區(qū)，造成兩者之間關(guān)系的割裂，在解題中思路受到嚴(yán)重的阻撓和困擾，陷入兩難的困境。本文就二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系進(jìn)行了深入研究和探索，對(duì)于整合兩者的關(guān)系，促使學(xué)生理解和應(yīng)用二次函數(shù)有著積極的影響。兩者的關(guān)系具體表現(xiàn)在：

一、剖析二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系

在這里需要注意的是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系密不可分，初中數(shù)學(xué)教師必須結(jié)合圖像，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)地觀看有二次項(xiàng)系數(shù)a、一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c的符號(hào)，以及系數(shù)a、b、c與二次函數(shù)之間的互逆運(yùn)算，也可以說(shuō)既可以根據(jù)二次函數(shù)圖像來(lái)判斷a、b、c的取值情況，也可根據(jù)a、b、c的符號(hào)來(lái)判斷二次函數(shù)的大體位置。比如：第一種情況是拋物線的開口方向與二次項(xiàng)系數(shù)a的符號(hào)有關(guān)：即當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下；當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上。第二種情況拋物線對(duì)稱軸的位置由一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a來(lái)共同決定：a、b同號(hào)，即ab>0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，a、b異號(hào)，即ab<0，對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)；第三種情況是拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，取決于c的符號(hào)：當(dāng)c>0時(shí)，此時(shí)的拋物線與直角坐標(biāo)系的交點(diǎn)，在y軸的正半軸上；當(dāng)c<0時(shí)，此時(shí)拋物線與直角坐標(biāo)系的交點(diǎn)，在y軸的負(fù)半軸上，當(dāng)c=0時(shí)，與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)處。這樣就成功地把一元二次方程的系數(shù)和拋物線完整地結(jié)合在一起了，與此同時(shí)，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的反思，要明白二次函數(shù)拋物線的開口方向、位置，會(huì)隨著a、b、c符合的改變而

變化。

二、利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像來(lái)分析與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷方程的根

針對(duì)教材中對(duì)二次函數(shù)、一元二次方程的相關(guān)資料進(jìn)行詳細(xì)的說(shuō)明和講解，教師必須逐步滲透利用數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察二次函數(shù)的圖像，來(lái)判斷一元二次方程解的情況，鑒于學(xué)生在學(xué)習(xí)兩者的概念中，存在很多的疑點(diǎn)和困惑，總是不能正確地認(rèn)識(shí)兩者之間的差異和聯(lián)系，學(xué)習(xí)起來(lái)相對(duì)比較困難的狀況，教師必須利用二次函數(shù)的圖像，來(lái)進(jìn)行說(shuō)明和講解。

三、借助二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，觀察一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況

眾所周知，二次函數(shù)是幾何圖形的代言人，而一元二次方程所代表的則是代數(shù)式，在解決初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)過(guò)程中，學(xué)生存在的問(wèn)題不勝枚舉，總是會(huì)遇到這樣或那樣的困惑，然而教師如果為幾何圖形和代數(shù)式之間搭建起橋梁，許多問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)和一元二次方程中就不會(huì)舉步維艱了。作為初中數(shù)學(xué)教師必須以事實(shí)為依據(jù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像，對(duì)一元二次方程的解的情況做出正確的判斷。在這里必須讓學(xué)生明白，判別式Δ=b2-4ac的符號(hào)決定ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況，讓學(xué)生觀察二次函數(shù)圖像，當(dāng)y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，Δ=b2-4ac>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，Δ=b2-4ac=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，Δ=b2-4ac<0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根即方程無(wú)解。經(jīng)過(guò)這樣認(rèn)真仔細(xì)的研究和分析，讓學(xué)生真正從二次函數(shù)的圖像中找到一元二次方程解的情況，反之，當(dāng)知道一元二次方程解的情況時(shí)，也可以判斷拋物線與x軸交點(diǎn)的情況，觸類旁通、舉一反三，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，真正領(lǐng)會(huì)到數(shù)與形的有效結(jié)合。

總而言之，以上內(nèi)容主要是針對(duì)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系進(jìn)行的談?wù)摵完U述，借助本文可以讓學(xué)生深刻地把握兩者之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)與方程并不是孤立存在的數(shù)學(xué)知識(shí)，在學(xué)生腦海中注入函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在理解二次函數(shù)表達(dá)式、圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，內(nèi)化與一元二次方程的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，促使代數(shù)知識(shí)與幾何問(wèn)題串聯(lián)起來(lái)，從而切實(shí)體現(xiàn)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的重要意義和價(jià)值。

編輯 謝尾合