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    一堂微專題復(fù)習(xí)中的稚化思維

    2018-04-16 08:52:34周云
    新課程·中學(xué) 2018年2期

    周云

    摘 要:以提高學(xué)生水平為宗旨的上海高考數(shù)學(xué)試題,強(qiáng)調(diào)通性通法,重在學(xué)生的理解能力。高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)承前啟后,重在知識、方法和專題的復(fù)習(xí),是學(xué)生的知識系統(tǒng)化、條理化并且能靈活運(yùn)用的關(guān)鍵時期.“含參問題、分段函數(shù)、超越方程”,這類問題抽象性比較強(qiáng),理解起來比較難.在高三備考過程中,學(xué)生對其理解和掌握,確實(shí)有一定困難,容易造成漏解和錯解.鑒于此,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知,通過“階梯遞進(jìn)”的方式、利用稚化思維,和學(xué)生共同研究,旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力.

    關(guān)鍵詞:上海高考;含參;稚化思維

    數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化和函數(shù)與方程等知識,作為第二輪專題復(fù)習(xí)的重要解題思想方法,在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛,但是很多學(xué)生缺乏這樣的思維習(xí)慣,不擅長將代數(shù)的文字語言轉(zhuǎn)化為幾何語言,特別是等價轉(zhuǎn)化,容易在分析題目時產(chǎn)生較大的障礙.為此,筆者在課堂中,以微專題的形式,盡快地在學(xué)生頭腦中建立數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思維習(xí)慣,并強(qiáng)化這種能力.這些經(jīng)實(shí)踐證明,顯然有利于他們更有效地掌握數(shù)學(xué)知識.為落實(shí)重點(diǎn),克服難點(diǎn),筆者結(jié)合學(xué)生的知識,多次運(yùn)用稚化教育思維,搭橋、設(shè)梯來化解難點(diǎn),突出重點(diǎn),取得了良好的教學(xué)效果.

    一、稚化思維研究方程的解

    引例 方程2sinx+ =1在區(qū)間[0,2π]上的所有解的和等于 .

    生1:先求出這個方程的通解x|x+ =2kπ+ ,2kπ+ ,k∈Z,

    再根據(jù)范圍確定特解,所有的解為 , ,它們的和是 .

    生2:畫出函數(shù)y=2sinx+ ,x∈[0,2π]與y=1圖象,發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)有且只有兩個,由圖象的對稱可知,方程2sinx+ 的解有兩個,記為x1,x2,它們的和等于 .

    師:很好,求三角方程在給定區(qū)間上所有解的和,可以直接求解,也可以從數(shù)形結(jié)合的角度思考.那么含參數(shù)的三角方程問題,又如何求解呢?

    設(shè)計意圖:利用學(xué)生熟悉的簡單三角方程,盡量放低教學(xué)的起點(diǎn),從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā),讓學(xué)生體會直接求解和數(shù)形結(jié)合的異曲同工,引導(dǎo)學(xué)生合理選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.

    例1 (上海高考2012 理12)設(shè)常數(shù)a使方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0,2π]恰有三個解x1,x2,x3,則x1+x2+x3= .

    生3:類似地,方程2sinx+ =a的通解

    x|x+ =2kπ+arcsina,2kπ+π-arcsina,k∈Z,在[0,2π]上的特解分別是x1,x2,x3.

    師:可是通解含了參數(shù),怎么辦?

    生4:可以考查函數(shù)a=2sinx+ 的周期性T=2π,而區(qū)間[0,2π]的長度恰好等于一個周期,所以方程sinx+ cosx=a在閉區(qū)間[0,2π]恰有三個解時,x1=0,x3=2π,此時a= ,再代入方程,求出x2= ,所以x1+x2+x3= .

    師:很好,本題涉及含參的反三角方程,直接做有些困難,利用周期性,很快得到問題的求解.對于討論這類含參的方程的解的個數(shù),是否還有其他解法呢?

    生5:數(shù)形結(jié)合,a=2sinx+ 在閉區(qū)間[0,2π]恰有三個解時,a= ,同上.

    設(shè)計意圖:從學(xué)生解決問題的實(shí)際出發(fā),和他們共同探討為什么進(jìn)行不下去的原因所在,思考如何繼續(xù)進(jìn)行下去的方法,這樣及時點(diǎn)出學(xué)生的所思所想,達(dá)到良好的教學(xué)互動.事實(shí)上,含參數(shù)的反三角方程,是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中一個很大的障礙,合理的等價轉(zhuǎn)化,用數(shù)形結(jié)合來解決,便可以避免盲目的分類討論,更形象直觀.一題多解,讓學(xué)生在比較、討論和甄別中,找出最簡便的解法和富有新意的解題思路,有利于加深學(xué)生對多種解題方法的認(rèn)識,從而更熟練地運(yùn)用自如.

    例2 已知方程x=lnx-5=0,x+ex-5=0的實(shí)根分別是x1,x2,則x1+x2= .

    師:lnx=5-x,ex=5-x,直接解方程的話,貌似不會解?

    生6:lnx=5-x1?圳x1=e5-x1,對照方程組ex2=5-x2e5-x1=x1,猜測5-x2=x1,所以x1+x2=5.

    師:很大膽的猜測,大家覺得答案對嗎?(同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭同意)怎么證明呢?

    生7:函數(shù)f(x)=ex+x-5單調(diào)遞增,f(1)·f(2)<0,f(x)=ex+x-5只有一個零點(diǎn),所以5-x2=x1.

    師:理由非常充分,很完美的解答.既然是從函數(shù)的角度思考,那么是否有其他想法?

    生8:數(shù)形結(jié)合,y=lnx,y=ex互為反函數(shù),它們的圖象y=x于對稱,而y=5-x也關(guān)于y=x成軸對稱圖形,由圖象可知,交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),它們關(guān)于點(diǎn)P , 對稱,所以x1+x2=5.

    師:想法很好,超越方程一般沒有解析解,而只有近似解,只有特殊的超越方程才可以求解.在大學(xué)階段常用的近似解法有牛頓切線法、冪級數(shù)解法等等,也可以編制一段程序用計算機(jī)求解.但上海的高考中,更多的是化歸思想,利用數(shù)形結(jié)合求解.

    注:超越方程——等號兩邊至少有一個含有未知數(shù)的初等超越函數(shù)式的方程,如指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方

    程等.

    設(shè)計意圖:從不熟悉的方程聯(lián)想到熟悉的函數(shù)圖象,讓學(xué)生自然而然地找到解題的思路,圖形的細(xì)致觀察和對稱軸的巧妙應(yīng)用是“點(diǎn)睛之筆”.這樣接地氣的稚化思維,從學(xué)生的角度思考問題,和學(xué)生一起學(xué)習(xí)、探究,共同進(jìn)步.

    二、稚化思維研究分段函數(shù)的性質(zhì)

    例3 函數(shù)f(x)=x2+4x x≥04x-x2 x<0,則不等式f(2-x2)>f(x)的解集是 .

    生9:分類討論即可.

    當(dāng)2-x2≥0且x≥0時,(2-x2)2+4(2-x2)>x2+4x,所以x∈

    [0,1);

    當(dāng)2-x2≥0且x<0時,(2-x2)2+4(2-x2)>4x-x2,所以x∈

    (-2,0);

    當(dāng)2-x2≤0且x≥0時,4(2-x2)-(2-x2)2>x2+4x,所以x∈?準(zhǔn);

    當(dāng)2-x2≤0且x≤0時,4(2-x2)-(2-x2)2>4x-x2,所以x∈?準(zhǔn);

    綜上所述,不等式的解集是x∈(-2,1).

    師:同學(xué)們很辛苦地完成了以上解答,但是作為一個填空題,會不會太費(fèi)時費(fèi)力了?(學(xué)生點(diǎn)頭同意)大家好好觀察一下f(x)的解析式,是我們熟悉的分段函數(shù),而f(2-x2)>f(x)需要函數(shù)的什么性質(zhì)來支撐呢?

    生10:單調(diào)性.

    師:你的眼光很犀利,明察秋毫,那請同學(xué)們思考、交流一下.

    生11:f(x)=x2+4x x≥04x-x2 x<0在定義域R上是增函數(shù),由f(2-x2)>f(x)可得2-x2>x,所以所求的解集是x∈(-2,1).

    設(shè)計意圖:在老師看來,利用分段函數(shù)的單調(diào)性,三言兩語就可以搞定了,但學(xué)生在實(shí)際做題過程中,直接利用分類討論,雖然很繁瑣,但是入手簡單直接.和學(xué)生一起走走“歪路”,“裝傻地”陪他們一起經(jīng)歷復(fù)雜的計算過程,師生感同身受,然后再來觀察對比發(fā)現(xiàn),用數(shù)形結(jié)合研究含參的分段函數(shù)問題實(shí)在是妙不可言,從而達(dá)到化難為易、化繁為簡的目的.

    變式 已知函數(shù)f(x)=xx.當(dāng)x∈[a,a+1]時,不等式f(x+2a)>4f(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

    生12:f(x)=xx=x2,x≥0-x2,x<0是奇函數(shù),且在定義域R上是增函數(shù).

    師:4f(x)能不能轉(zhuǎn)化某一個函數(shù)值呢?

    生13:4f(x)=f(2x).

    師:謝謝你的精彩發(fā)現(xiàn),至此答案“呼之欲出”了.

    生14:f(x+2a)>4f(x)等價于f(x+2a)>f(2x),即x+2a>2x,2a>(x)max=a+1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1.

    設(shè)計意圖:用變題的形式稚化思維,“例3”作了很好的鋪墊,讓學(xué)生自然而然地找到解題的“鑰匙”,一遇見分段函數(shù)、含參不等式,就會充滿熟悉感,聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合,勇敢地拾階而上,從而把未知的問題等價轉(zhuǎn)化為已掌握的知識來解答,達(dá)到多題一解的效果.言外之意,就是用一種方法可以搞定一類題目,舉一反三,破除“題海戰(zhàn)術(shù)”的怪圈.

    三、稚化思維研究含參的不等式

    例4 已知:當(dāng)x>0時,不等式 ≥kx+b恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取等號,則k= .

    師:“當(dāng)且僅當(dāng)x= 時取等號”,怎么理解?

    生15:x= 代入不等式時等號成立,即 = k+b.

    師:大家同意嗎?(同學(xué)們一致同意)很好,這是我們最困惑的地方,正確理解是王道.那么,不等式 ≥kx+b恒成立呢?

    生16:分離參變量就好,(3x-1)k≤ .

    師:請同學(xué)們自己動手完成.

    生17:當(dāng)x> 時,k≤- 恒成立,易得k≤- ,當(dāng)x> 時,k≤- 恒成立,易k≥- 得,綜上所述,可知k=- .

    u

    設(shè)計意圖:以階梯式問題為引導(dǎo),從代數(shù)的角度和學(xué)生一起進(jìn)行局部探究,先由“當(dāng)且僅當(dāng)”可以得到k、b的方程,求出b;再和學(xué)生一起挖掘“不等式恒成立”,利用等價轉(zhuǎn)化和分離參變量,對x討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和恒成立思想,即可求得.這樣降低學(xué)生的思考起點(diǎn),側(cè)重于啟發(fā)、引導(dǎo),和學(xué)生一步一步搭建階梯,解決含兩個變量的問題.

    師:如果從函數(shù)的角度來看,y= 與y=kx+b的圖象是我們非常熟悉的,大家是不是可以畫圖試試看?

    生18:由題意可知,當(dāng)x= 時,兩條圖象相切,所以kx2+(k+b)x+b-1=0,即 = k+bΔ=(k+b)2-4k(b-1)=0?圯k=

    設(shè)計意圖:以啟發(fā)為引導(dǎo),從幾何的角度和學(xué)生一起進(jìn)行局部探究,先從學(xué)生熟悉的反比例型函數(shù)和一次函數(shù)出發(fā),通過觀察,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求值、取舍、定范圍,借助圖形的直觀性,實(shí)施轉(zhuǎn)化,將復(fù)雜問題簡單化,從而快速求解.

    以上幾例,涉及含參問題、分段函數(shù)、超越方程,是高中公認(rèn)的難點(diǎn)所在,通法直接去解答的話,難度較大,正難則反,讓學(xué)生體會用化歸思想用數(shù)形結(jié)合來做,往往有意想不到的收獲,最后來完成2017春考題.

    四、稚化思維研究規(guī)劃問題

    (2017年上海春考)設(shè)a,b∈R,若函數(shù)f(x)=x+ +b在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點(diǎn),則f(1)的取值范圍為 .

    【分析】函數(shù)f(x)=x+ +b在區(qū)間(1,2)上有兩個不同的零點(diǎn),即方程x2+bx+a=0在區(qū)間(1,2)上有兩個不相等的實(shí)根,g(x)=x2+bx+a ∴Δ>01<- <2g(1)>0g(2)>0?圯b2>4a-40a+2b+4>0

    畫出有序?qū)崝?shù)對(a,b)所表示的區(qū)域,求出目標(biāo)函數(shù)z=f(1)=a+b+1的范圍即可.

    ∴目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(1,-2)時,z的最小值為0;目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)(4,-4)時,z的最大值為1.

    ∴z=f(1)的取值范圍是(0,1).

    設(shè)計意圖:本題考查函數(shù)的零點(diǎn),涉及兩個參數(shù)問題,約束條件非線性的規(guī)劃問題,屬于難題.在考場上,很多學(xué)生會比較茫然,無從下手.由于2017上海高考數(shù)學(xué)首次不分文理,而線性規(guī)劃作為上海教材的必修內(nèi)容,線性規(guī)劃在高中只是要求學(xué)生會簡單地分析數(shù)學(xué)問題和解決問題,旨在為學(xué)生進(jìn)入大學(xué)以后更深入地學(xué)習(xí)埋下伏筆.本題對學(xué)生來說是一次不小的挑戰(zhàn),而此題用數(shù)形結(jié)合思想來解答是較好的解法.

    教學(xué)反思:作為一名高中數(shù)學(xué)教師,我覺得不僅僅要敢于稚化自己,同時也要注意分寸,把握好時機(jī),盡量課前做足功課,選取關(guān)鍵性的問題化繁為簡.畢竟稚化的過程,勢必會增加學(xué)生的思考時間,教師應(yīng)事先做到心中有數(shù),才能提高課堂效率,答疑

    解惑.

    參考文獻(xiàn):

    [1]宗新中.退一步海闊天空:稚化思維在高中數(shù)學(xué)課堂上的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2016(21).

    [2]王安寓.淺談稚化思維在講評課中的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(2).

    [3]劉鵬.稚化思維,讓概念課教學(xué)充滿活力[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2017(2).

    [4]張建良,王名揚(yáng),錢軍先.稚化思維:內(nèi)函理解與實(shí)踐探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2015(11).

    [5]石三軍.稚化思維:大智若愚的教學(xué)思考[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)(教師通訊),2014(11).

    編輯 溫雪蓮

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