三角恒等變換問題解題方法探究

周慈

摘 要：隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)改革，三角恒等變換內(nèi)容有所減少，變化也是最大的，但是在高中人教版數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，三角恒等變換問題仍是三角運(yùn)算的核心和靈魂內(nèi)容，其內(nèi)容大體包括角的變換、三角函數(shù)的名稱變換以及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的變換。這個(gè)考點(diǎn)仍是高考的重點(diǎn)，達(dá)到十幾分。以各個(gè)知識(shí)點(diǎn)并且結(jié)合例題帶領(lǐng)讀者們探究三角恒等變換中的教學(xué)解題方法。

關(guān)鍵詞：三角恒等變換；解題方法；探究

在高中學(xué)習(xí)三角形相關(guān)內(nèi)容時(shí)，一些有關(guān)求解三角形、求值、化簡、證明等問題都經(jīng)常涉及三角恒等變換知識(shí)。所以說三角恒等變換的知識(shí)在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中是一個(gè)涉及面很廣的解題工具。并且借助三角恒等變換可以靈活多變地解三角形，掌握好三角恒等變換知識(shí)還能有利于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的提升。本文就通過例題對(duì)三角恒等變換相關(guān)解題方法做以下簡單的介紹。

一、不同角之間的轉(zhuǎn)化解法探究

在三角恒等變換中，經(jīng)常利用同一個(gè)角的三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式來變換三角函數(shù)中的函數(shù)名稱，這樣就可以通過所謂的“切割化弦”“切割互化”和“正余互化”來改變?nèi)呛瘮?shù)的名稱了，實(shí)質(zhì)上是一種“歸一”思想，利用這些思想將復(fù)雜難解的題轉(zhuǎn)化為簡單可解的題。

例如：在“sin（π-θ）= ，求cos2θ”，這道題看似非常簡單，給的已知條件也很少，但是考的知識(shí)點(diǎn)可不少?？简?yàn)了高中學(xué)生在數(shù)學(xué)方面二倍角的余弦知識(shí)，也讓學(xué)生在做題中注意到轉(zhuǎn)化思想和結(jié)合法的應(yīng)用。最后還考驗(yàn)了學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的掌握情況，屬于一道基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化題。

二、sin2a+cos2a=1中“1”的解法探究

在解三角函數(shù)值時(shí)，要注意三角函數(shù)同角的三角函數(shù)正弦余弦平方和為1的這個(gè)性質(zhì)，可能在審題無果后利用這個(gè)性質(zhì)就可以簡簡單單地將題順利地解出來。當(dāng)然要運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)，就要存在這個(gè)“1”的潛意識(shí)，一旦出現(xiàn)明顯的字眼就可以將潛意識(shí)轉(zhuǎn)化為行動(dòng)，快速地解出該題。

例如：已知α是第一象限角，且sinα=2sinβ，tanα=3tanβ，則cosα的值是（ ）

A. B. C. D.

本題屬于三角函數(shù)求值問題類型，做題時(shí)可以巧妙地利用同角三角函數(shù)性質(zhì)的平方和為1的性質(zhì)，將cosα= 帶入到式子中，再利用轉(zhuǎn)化思想、綜合法等將這些經(jīng)過簡化，得到最后結(jié)果。所以在解相關(guān)問題時(shí)要注意同角三角函數(shù)平方和為“1”的這個(gè)性質(zhì)。

三、兩角和與差的關(guān)系解法探究

在對(duì)兩角和與差的關(guān)系進(jìn)行考查的時(shí)候，主要會(huì)利用正弦、余弦、正切公式進(jìn)行化簡和求值，并通過這些來了解其內(nèi)在聯(lián)系。

例如：sin7°cos37°-sin83°cos53°的值為（ ）

A.- B. C. D.-

本題為三角函數(shù)的求值問題，主要考查了學(xué)生兩角和與差的余弦函數(shù)的運(yùn)用，解題時(shí)要注意到所給式子具有的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后再根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系把7°的正弦轉(zhuǎn)化為83°的余弦即可，同理將53°余弦轉(zhuǎn)化為37°正弦?？筛鶕?jù)兩角和的余弦公式的逆運(yùn)用得到一個(gè)已知的特殊角的三角函數(shù)值，最后得出正確答案。

四、三角方程解法探究

三角方程是三角中的重要內(nèi)容，在解三角方程過程中，不僅要用到三角中的許多定理與公式，還要涉及代數(shù)式的變形與代數(shù)方程等知識(shí)，最簡單的三角方程實(shí)際上是由某角的三角函數(shù)值求角問題的延伸，是三角函數(shù)的周期性和反三角函數(shù)概念的最直接運(yùn)用。

例如，在“cos6θ-5cos4θ+11cos2θ-7=0”中，本題利用三角函數(shù)的升降冪公式，將不同三角函數(shù)的角轉(zhuǎn)化為相同三角函數(shù)角，也利用三角函數(shù)的周期性和sin0=0的性質(zhì)來解這個(gè)方程。這道題屬于中等題，考驗(yàn)了學(xué)生對(duì)不同角的余弦的處理能力和轉(zhuǎn)化思想，還有三角函數(shù)特殊角的值，這道題對(duì)學(xué)生來說考驗(yàn)了其綜合能力的應(yīng)用。

總而言之，三角恒等變換中公式繁多，在運(yùn)用時(shí)技巧性比較強(qiáng)，這就需要高中生在學(xué)習(xí)三角恒等轉(zhuǎn)換中需要牢固地記住各種三角恒等轉(zhuǎn)化公式，比如要熟記正弦、余弦定理，倍角公式、升降冪公式。在誘導(dǎo)公式中也有著背誦技巧，就如那句經(jīng)典的“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，這句話大大緩解了高中生學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的壓力。

參考文獻(xiàn)：

[1]張琦.三角函數(shù)與解三角形命題規(guī)律與備考策略[J].廣東教育（高中版），2015

[2]謝廣喜.專題三：三角函數(shù)及三角恒等變換[J].新高考（高三數(shù)學(xué)），2016（2）.

[3]李忠民.三角函數(shù)，新的命題載體[J].課堂內(nèi)外（高考金刊），2016（1）.

編輯 謝尾合