用坐標(biāo)運算解決高考向量問題

周文建

[摘 要]平面向量是高考的一個考點，也是近年高考中的一個熱點、難點問題.用坐標(biāo)運算能解決高考中的向量問題.

[關(guān)鍵詞]坐標(biāo)運算；向量問題；高考

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2017）02003601

平面向量一直是高考中的一個考點，也是近年高考中的一個熱點、難點問題.有的學(xué)生在解決平面向量問題時，使用常規(guī)的向量運算法，更多的學(xué)生相對更喜歡使用向量的坐標(biāo)運算來解決問題.我們可以采用特值法或者將平面向量轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運算.

【例1】 （2015年北京高考題理科第13題）在△ABC中，點M，N滿足AM=2MC

，BN=NC

.若MN=xAB+yAC，

則x= ，y= .

題目所給的已知條件中，沒有說明三角形是什么三角形，用一般三角形來解決問題，只能采用常規(guī)的方法，較煩瑣.而應(yīng)用平面向量基本定理來解決則會事半功倍.解題思路如下.

MN=MA+AB+BN

=-23AC+AB+12BC

=-23AC+AB+12（AC-AB）

=12AB-16AC

筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生對于平面向量基本定理的應(yīng)用都存在很大的問題，他們更喜歡應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示方法，用坐標(biāo)表示向量，進(jìn)而應(yīng)用坐標(biāo)運算來解決問題.但是本題所給三角形沒有說具體形狀，就沒有辦法應(yīng)用坐標(biāo)方法.筆者認(rèn)為，既然沒說三角形是什么形狀，也就是說直角三角形也是滿足題意的.不妨假設(shè)三角形ABC為直角三角形，建立坐標(biāo)系.解法如下.

試題分析：（特殊化）不妨設(shè)AC⊥AB，AB=4，AC=3.利用坐標(biāo)法，以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，建立直角坐標(biāo)系，A（0，0），M（0，2），C（0，3），B（4，0），N（2，32），

則

MN=（2，-12），

AB=（4，0），

AC=（0，3），

則（2，-12）=x（4，0）+y（0，3），

4x=2，3y=-12，∴x=12，y=-16

.

應(yīng)用特殊值加向量的坐標(biāo)方法來解決此類問題，可以把思維難度很高的向量基本邏輯運算轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)運算來解決，從而降低題目本身的難度，使學(xué)生能夠很快入手，輕松解決此類問題.現(xiàn)行高考中理科立體幾何解答題就可以應(yīng)用這個方法（建立坐標(biāo)系）來解決，也是現(xiàn)在絕大部分教師建議學(xué)生應(yīng)用的方法.既然立體幾何可以應(yīng)用這一方法，筆者認(rèn)為在高考的客觀題中也應(yīng)應(yīng)用此方法解決此類問題.但是如果像本題，不

能直接建立坐標(biāo)系，需要使用特殊情況來建立坐標(biāo)系的方法，只能局限于客觀題.

【例2】 （2016年天津高考題第7題）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則AF·BC的值為（ ）.

若應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算方法則可以如下解決.

【坐標(biāo)運算】建立以BC為x軸，其中點為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系，則有

此題應(yīng)用坐標(biāo)運算的方法，只需要一步就可以得到答案，而用常規(guī)方法則至少需要四步.

【例3】 （2014年新疆維吾爾自治區(qū)高考第一次適應(yīng)性檢測第16題）若D為三角形ABC的邊BC的中點，三角形ABC所在的平面內(nèi)有一點P滿足，則λ的值為 .

分析：題中沒有說明三角形ABC的形狀，不妨設(shè)三角形ABC是以角A為直角的等腰直角三角形，建立以A為坐標(biāo)原點，有向線段AB方向為x軸正方向，有向線段AC方向為y軸正方向的平面直角坐標(biāo)系.

綜上可知，用坐標(biāo)運算解決高考向量問題，可收到事半功倍的效果.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）