談求函數(shù)最值問題的四種常用方法

牛邦舉

[摘 要]求函數(shù)最值問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一，也是高考必考內(nèi)容.探究求函數(shù)最值的方法有實(shí)際意義.

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；最值問題；方法

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2018）02003101

求函數(shù)最值問題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力、思維能力、數(shù)形結(jié)合能力和運(yùn)算能力等有著重要意義.求函數(shù)最值問題對(duì)學(xué)生來講是重點(diǎn)和難點(diǎn)，在教學(xué)中教師要千方百計(jì)加以突破.

一、函數(shù)最值的定義

一般的，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)棰?，如果存在?shí)數(shù)m滿足，

（1）對(duì)于任意的x∈Ⅰ，都有f（x）≤m.（f（x）≥m）

（2）存在x0∈Ⅰf（x0）=m.

那么，我們稱m是函數(shù)y=f（x）的最大值（最小值）.

在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費(fèi)用最低，收益最大等問題.

二、幾種常見的求最值的方法

1.配方法

主要用于二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù).解題過程中要注意自變量的取值范圍.

【例1】 已知函數(shù)y=（ex-1）2+（e-x-1）2，求函數(shù)y的最小值.

分析：將函數(shù)按ex+e-x配方，轉(zhuǎn)化為變量ex+e-x的二次函數(shù).

解：y=（ex-1）2+（e-x-1）2=

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍以及對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置.

2.換元法

換元法主要有三角換元法和代數(shù)換元法.在換元時(shí)要注意中間變量的取值范圍.

【例2】 求函數(shù)y=x

+1-x

的最大值與最小值.

解：先求函數(shù)的定義域，得0≤x≤1.

則令x=sin2θ，θ∈0，π2，

則y=sinθ+cosθ=

3.反函數(shù)法

先求自變量的表達(dá)式，利用自變量范圍推導(dǎo)y的范圍.

【例3】 求函數(shù)y=x2x2+1（x∈R）

的最小值.

解：由

本題用求反函數(shù)的方法，通過x2≥0，推導(dǎo)出y的范圍.

4.不等式法

【例4】 某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積800m2的矩形菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m高的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m高的空地.當(dāng)矩形溫室的邊長(zhǎng)各為多少時(shí)，蔬菜種植面積最大？

解：設(shè)溫室的左側(cè)邊長(zhǎng)為xm，則后墻邊長(zhǎng)為800xm.

答：當(dāng)左側(cè)邊長(zhǎng)為40m，后側(cè)邊長(zhǎng)為20m時(shí)，蔬菜種植面積最大.本題利用均值不等式解決問題時(shí)，要考慮“一正、二定、三相等”.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）