逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

伍志新

[摘 要]逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.數(shù)學(xué)問題浩如煙海，當(dāng)用順向思維去思考而感到“山重水復(fù)”時(shí)，不妨運(yùn)用逆向思維去思考，這往往能獨(dú)辟蹊徑，出現(xiàn)“柳暗花明”的景象，使問題獲解.

[關(guān)鍵詞]逆向思維；數(shù)學(xué)解題；中學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2018）02002802

心理學(xué)研究表明，每一個(gè)思維過程都有一個(gè)與之相反的思維過程.在這兩個(gè)互逆的思維過程中，存在著順向與逆向的思維聯(lián)結(jié).思維的逆向性是相對(duì)的，是相對(duì)順向思維而言的.逆向思維在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用十分廣泛.“司馬光砸缸救人”的故事就是逆向思維的典型例子.

一、逆向思維的含義及其在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)

逆向思維是一種創(chuàng)造性思維.逆向思維的本質(zhì)特征是善于從對(duì)立的角度、相反的方向、互逆的路線去思考問題，能隨時(shí)逆轉(zhuǎn)心理過程，表現(xiàn)出靈活性及較強(qiáng)的思維調(diào)節(jié)能力.數(shù)學(xué)問題浩如煙海，當(dāng)我們用順向思維去思考而感到“山重水復(fù)”時(shí)，不妨用逆向思維去思考，這往往能獨(dú)辟蹊徑，出現(xiàn)“柳暗花明”的景象，使問題獲解.

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)互逆思維的知識(shí)內(nèi)容比比皆是，如運(yùn)算與逆運(yùn)算；命題與逆命題；定理與逆定理；多項(xiàng)式的乘法與多項(xiàng)式的因式分解；分子有理化與分母有理化；通分母與通分子；已知方程或不等式求其解與已知解求方程或不等式；已知函數(shù)求其定義域與已知定義域求函數(shù)；函數(shù)與反函數(shù)；已知函數(shù)求其周期與已知周期求其函數(shù)；已知函數(shù)的解析式求其圖像與已知確定函數(shù)圖像的條件求函數(shù)的解析式，已知曲線求其方程與已知方程求其曲線；等等.在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維解決問題，這會(huì)使課堂教學(xué)綻放數(shù)學(xué)的思維美和邏輯美，使學(xué)生愛上數(shù)學(xué).

二、運(yùn)用逆向思維，使解題過程“柳暗花明”

逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分廣泛，如果善于運(yùn)用逆向思維，往往會(huì)使解題過程簡(jiǎn)單明了，出現(xiàn)“柳暗花明”的景象.

1.數(shù)的大小比較

在比較分?jǐn)?shù)的大小時(shí)，如利用順向思維來解題則是先通分后比較分子的大小.但有時(shí)通分運(yùn)算往往十分麻煩，此時(shí)不妨運(yùn)用逆向思維，即先通“分子”，然后比較分母的大小，

再由“兩個(gè)正數(shù)同分子，分母大的反而小”

即可確定分?jǐn)?shù)的大小.

【例1】 比較下列各數(shù)的大小關(guān)系：

-623，-417，-311，-1247.

析與解：本題中，各數(shù)的分母較大，分子較小.運(yùn)用逆向思維通“分子”，可得

-1246，-1251，-1244，-1247.

∴-1251>-1247>-1246>-1244，

即-417>-1247>-623>-311.

【例2】 已知P=12，Q=7-3，R=6-2，試比較P、Q、R的大小.

析與解：要從正面直接去比較這三個(gè)數(shù)的大小，是比較困難的.對(duì)此，我們可以這樣去比較.

2.解方程

已知方程求方程的解或已知方程有實(shí)數(shù)根求某實(shí)數(shù)的取值范圍，是初中數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一.在解決此類問題時(shí)，如果用順向思維解決有困難，不妨轉(zhuǎn)換思維角度，用逆向思維尋求解題思路.

【例3】 解方程：x3+（1+5）x2-5=0.

析與解：這是求解一元三次方程，初中階段學(xué)生沒有學(xué)過這一內(nèi)容，能否求解，決定于他們對(duì)初中數(shù)學(xué)思想方法是否真正理解和掌握.如果能變換角度，運(yùn)用逆向思維，解題思路便會(huì)豁然開朗.

可先把原方程中的常數(shù)5看作未知數(shù)，而把未知數(shù)x看作常數(shù)，即

設(shè)t=5，則原方程可變形為關(guān)于t的一元二次方程

真是順向思維“山窮水盡”，逆向思維“海闊天空”??！

【例4】 已知在以下三個(gè)方程

中，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

析與解：若按順向思維去考慮問題，求解的過程是相當(dāng)煩瑣的；如若從反面即用逆向思維去考慮問題，求解就簡(jiǎn)單了.“至少有一個(gè)方程有實(shí)根”的反面就是“三個(gè)方程都沒有實(shí)根”，從而解之，得1

∴當(dāng)m≤1或m≥4時(shí)，在給定的三個(gè)方程中，至少有一個(gè)方程有實(shí)根.

3.求函數(shù)的值域或取值范圍

我們知道，在一般情況下，求函數(shù)的定義域（或取值范圍）比求函數(shù)的值域（或取值范圍）容易.根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系可知，函數(shù)的值域（或取值范圍）就是其反函數(shù)的定義域（或取值范圍）.因此，在求某些函數(shù)的值域（或取值范圍）時(shí)，不妨沿“求其反函數(shù)的定義域（或取值范圍）”這條思路去思考，解題過程會(huì)更簡(jiǎn)捷.

【例5】 求函數(shù)f（x）=1+x1-x的值域.

析與解：求函數(shù)f（x）=1+x1-x的值域，利用逆向思維，只要求出其反函數(shù)的定義域，問題就可迎刃而解.

設(shè)y=1+x1-x，則x=y-1y+1.

∴函數(shù)f（x）=1+x1-x的反函數(shù)是y=x-1x+1.

∵函數(shù)y=x-1x+1的定義域是x≠-1，

∴函數(shù)f（x）=1+x1-x的值域是（-∞，-1）∪（-1，+∞）.

【例6】 已知f-1（x）是函數(shù)f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）的反函數(shù)，求不等式f-1（x）>0的解集.

析與解：若從正面去考慮問題，用順向思維去分析，則需先求出函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x），然后解不等式f-1（x）>0.這樣處理，求函數(shù)f（x）的反函數(shù)是相當(dāng)麻煩的.因此，宜從反面去考慮問題，用逆向思維分析和解決問題.

∵f-1（x）>0x>0時(shí)f（x）的值域，

∴只需求出當(dāng)x>0時(shí)，f（x）的值域即可.

∵f（0）=0，且函數(shù)f（x）=1/2（ax-a-x）（a>1）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，

∴當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0.

∴當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是（0，+∞）.

∴不等式f-1（x）>0的解集是（0，+∞）.

三、運(yùn)用逆向思維，解題過程“獨(dú)辟蹊徑”

運(yùn)用逆向思維解決一些現(xiàn)實(shí)生活問題，也會(huì)使解題過程更簡(jiǎn)捷，綻放數(shù)學(xué)的邏輯美.

【例7】 編號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)人入座編號(hào)也為1，2，3，4，5的5個(gè)座位，至多有2人對(duì)號(hào)入座的坐法共有幾種？

析與解：若從正面去考慮，情況比較復(fù)雜.正面有三種情況：全不對(duì)號(hào)入座，有且僅有1人對(duì)號(hào)入座；有且僅有2人對(duì)號(hào)入座，且每種情況都比較難處理.因此，宜從反面考慮問題，用逆向思維分析和解決問題.反面只有兩種情況：全部對(duì)號(hào)入座（4人對(duì)號(hào)入座時(shí)一定全部對(duì)號(hào)入座），有且僅有3人對(duì)號(hào)入座，而全對(duì)號(hào)入座只有1種情況，有且僅有3人對(duì)號(hào)入座，只要先從5人中選出3人，共有C35種坐法，其余2人不對(duì)號(hào)入座只有一種坐法.由分類計(jì)算原理和分步計(jì)數(shù)原理，得反面問題共有1+C

35·1=11（種）；5人全排有A55種.

∴滿足題目要求的坐法共有

A55-（1+C35）=109（種）.

【例8】 甲、乙、丙三個(gè)箱內(nèi)共有小球384個(gè)，現(xiàn)先從甲箱內(nèi)取出若干個(gè)小球放進(jìn)乙、丙箱內(nèi)，乙、丙兩箱所放個(gè)數(shù)分別等于乙、丙箱內(nèi)原有小球的個(gè)數(shù)；再從乙箱內(nèi)取出若干個(gè)小球放進(jìn)甲、丙箱內(nèi)，最后從丙箱內(nèi)取出若干個(gè)小球放進(jìn)甲、乙箱內(nèi)，取法、放法同前，結(jié)果三個(gè)箱內(nèi)小球的個(gè)數(shù)相等，甲、乙、丙箱內(nèi)原有小球多少個(gè)？

析與解：這個(gè)問題的順向思維是由初始狀態(tài)逐步順追到最終狀態(tài)，但由于初始狀態(tài)是未知的，最終狀態(tài)是已知的，因此，這個(gè)問題的順向思維是從未知到已知，如何求結(jié)果，實(shí)在難以得知.若用逆向思維的思想方法分析問題，則是從最終狀態(tài)（已知）逐步逆推到初始狀態(tài)（未知）.這樣，問題的求解就一目了然了.

∵384÷3=128，所以逆推情況如下表所示甲、乙、丙箱內(nèi)原各有的小球數(shù)分別是208個(gè)、112個(gè)、64個(gè).

綜上可知，逆向思維是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中最常用的數(shù)學(xué)思維之一.如果善于運(yùn)用逆向思維解題，往往會(huì)使問題“柳暗花明”，順利獲解.數(shù)學(xué)問題浩如煙海，逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用不可能一一枚舉，上面所列舉的解題范例，只是拋磚引玉，希望能起到舉一反三、觸類旁通的作用.

（責(zé)任編輯 黃春香）