圓錐曲線中的等角定理猜想與證明

湯一凡 曹 彬

（貴州省黔西第一中學(xué)2020屆（18）班 貴州黔西 551500）

過N（t，o）的直線L交雙曲線于A，B兩點，問是否存在x軸上的一點P，使得直線PA，PB斜率之和為0？

推論1：過點N（t，0）（0＜|t|＜a）的直線L與橢圓

證明：當(dāng)直線AB與y軸垂直時

只要直線PA，PB斜率存在，直線PA，PB斜率之和都為0.

當(dāng)直線AB與y軸不垂直時

設(shè)直線AB的方程為：x=my+t

聯(lián)立橢圓方程化簡得：（b2m2+a2）y2+2tmb2y+t2b2-a2b2=0

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

由于斜率存在，所以取分子研究.

由于分母恒為正數(shù)，所以又不妨取分子研究.

推論2：過點N（t，0）（|t|＞0）的直線L與雙曲線

則X軸上存在一點P（r，0），使得直線PA，PB斜率之和為0的充要條件是

根據(jù)推論1的證明過程，充分性是成立的，

下面來證明必要性。

證明：當(dāng)直線AB與y軸垂直時

只要直線PA，PB斜率存在，直線PA，PB斜率之和都為0.

當(dāng)直線AB與y軸不垂直時

設(shè)直線AB的方程為：x=my+t

聯(lián)立雙曲線方程化簡得：（b2m2-a2）y2+2tmb2y+t2b2-a2b2=0

∴y1·（my2+t-r）+y2·（my1+t-r）=0

進一步化簡：2my1·y2+t（y1+y2）-r（y1+y2）

∴2mt2b2-2ma2b2-（t-r）2tmb2=0

∴[t2-a2-（t-r）t]2mb2=0

當(dāng)直線AB與x軸垂直時，m=0，此時直線PN是線段AB的中垂線，直線PA，PB斜率之和依然為0.

當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，m≠0

∴t2-a2-t2+tr=0，∴

綜上所述

過2x軸上的點N（t，0）的直線L與橢圓：或雙曲線的一支交于A，B兩點