以題論“法”以題論“道”
——人教版“等腰三角形”（習(xí)題課）教學(xué)設(shè)計(jì)及其特點(diǎn)

王冰（遼寧省大連教育學(xué)院）

趙海英（遼寧省大連市第三十九中學(xué)）

以題論“法”以題論“道”
——人教版“等腰三角形”（習(xí)題課）教學(xué)設(shè)計(jì)及其特點(diǎn)

王冰（遼寧省大連教育學(xué)院）

趙海英（遼寧省大連市第三十九中學(xué)）

以一道典型題的研究為載體，展示幾何問(wèn)題研究的基本思路和基本方法，體現(xiàn)新課程倡導(dǎo)的以學(xué)生為主體，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本理念，追求數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的一種境界——不以題論題，而是以題論“法”，以題論“道”.

等腰三角形；習(xí)題課；以題論“法”；以題論“道”

數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)的境界是不以題論題，而是以題論“法”、以題論“道”.這里的“法”，是解答數(shù)學(xué)習(xí)題的一般方法，這里的“道”，是數(shù)學(xué)思想方法.只有以題論“法”，以題論“道”，才能使學(xué)生真正把握數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.內(nèi)容和內(nèi)容解析

（1）教學(xué)內(nèi)容.

人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“等腰三角形”習(xí)題課.

（2）內(nèi)容解析.

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定方法，以及等邊三角形相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，對(duì)等腰三角形進(jìn)行深入研究.主要內(nèi)容是對(duì)教材上的一道典型題（習(xí)題13.3第12題）進(jìn)行橫向拓展和縱向延伸.其中包括兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是條件不變，發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論，并證明其中的兩個(gè)結(jié)論；二是結(jié)論不變，弱化條件，將問(wèn)題“一般化”，或強(qiáng)化條件，將問(wèn)題“特殊化”.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：以典型題的研究為載體，探索幾何問(wèn)題的研究思路和研究方法.

2.目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）教學(xué)目標(biāo).

①在題目條件不變的前提下，探索并發(fā)現(xiàn)其他隱含結(jié)論.在結(jié)論不變的前提下，探索使其成立的條件.

②在對(duì)題目進(jìn)行橫向拓展和縱向延伸的過(guò)程中，體會(huì)分類(lèi)、轉(zhuǎn)化、類(lèi)比、一般化、特殊化等數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提高思維能力.

（2）目標(biāo)解析.

達(dá)成目標(biāo)①的標(biāo)志是：學(xué)生在題目條件不變的前提下能從不同的角度發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的結(jié)論，并且能對(duì)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行分類(lèi)，從而明確探索幾何問(wèn)題的研究思路.在題目結(jié)論不變的前提下，將問(wèn)題“一般化”或“特殊化”，探索使其成立的條件.

達(dá)成目標(biāo)②的標(biāo)志是：學(xué)生在探索問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的作用：分類(lèi)——使無(wú)序變得有序，轉(zhuǎn)化——使復(fù)雜變得簡(jiǎn)單，類(lèi)比——思路和方法的遷移，一般化、特殊化——探索問(wèn)題的一般方法，進(jìn)而加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使思維的廣闊性、深刻性、靈活性等得到鍛煉.

3.教學(xué)問(wèn)題診斷分析

第一個(gè)環(huán)節(jié)中，很多學(xué)生所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是無(wú)序的，而且是不全面的；第二個(gè)環(huán)節(jié)中，很多學(xué)生不知道首先應(yīng)該分別從兩個(gè)條件入手.其原因是學(xué)生沒(méi)有真正找到切入點(diǎn)，對(duì)幾何問(wèn)題的研究思路和研究方法沒(méi)有清晰的認(rèn)識(shí).

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：以典型題的研究為載體，探索幾何問(wèn)題的研究思路和方法.

4.教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫(huà)板軟件，動(dòng)態(tài)演示圖形變化，加深對(duì)圖形本質(zhì)特征的理解.

5.教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

引言：前面，我們學(xué)習(xí)了等腰三角形，研究了它的概念、性質(zhì)和判定，今天我們通過(guò)一節(jié)習(xí)題課來(lái)進(jìn)一步鞏固等腰三角形的有關(guān)知識(shí).

題目如圖1，△ABC和△DCE均是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，E共線.BD與AE，AC分別相交于點(diǎn)P，M，CD與AE相交于點(diǎn)N.求證：BD=AE.

圖1

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后，一名學(xué)生口述證明過(guò)程，教師板書(shū)，其他學(xué)生說(shuō)明每一步的證明依據(jù).

【設(shè)計(jì)意圖】鞏固特殊的等腰三角形——等邊三角形的概念、性質(zhì)，為后續(xù)深入研究做準(zhǔn)備.

（1）探索并證明題目的隱含結(jié)論.

問(wèn)題1：在不添加任何條件的前提下，你還能得到哪些結(jié)論？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生將自己發(fā)現(xiàn)的所有結(jié)論都寫(xiě)在練習(xí)本上，教師讓一名學(xué)生到黑板上寫(xiě)出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，其他學(xué)生相互補(bǔ)充.學(xué)生得出的結(jié)論主要有：AB=BC=AC，∠EAC=∠DBC，△BMC≌△ANC，AC∥DE，∠DPE=60°，∠BDC=∠AEC，CM=CN，AB∥DC，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，△MCD≌△NCE，∠APB=60°，等等.

【設(shè)計(jì)意圖】提出開(kāi)放性問(wèn)題，將題目向縱向延伸，讓學(xué)生嘗試多角度地發(fā)現(xiàn)結(jié)論，鍛煉學(xué)生思維的發(fā)散性.

追問(wèn)1：剛才，我們找到了這么多的結(jié)論，你能對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)嗎？分類(lèi)的依據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行小組交流，交流重點(diǎn)是：①相互補(bǔ)充；②對(duì)結(jié)論進(jìn)行分類(lèi)；③說(shuō)明分類(lèi)的依據(jù)，充分交流后小組派代表進(jìn)行匯報(bào).

學(xué)生經(jīng)過(guò)分類(lèi)，將全等、角相等、線段相等、平行分別歸為一類(lèi).教師點(diǎn)撥，最初我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論時(shí)有些是無(wú)序的，經(jīng)過(guò)分類(lèi)，就將無(wú)序變?yōu)橛行蛄?因此，我們不僅要能夠發(fā)現(xiàn)結(jié)論，更要知道應(yīng)該從哪個(gè)角度去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，即從“形狀、大小、位置”三個(gè)角度，而“形狀、大小、位置”正是幾何學(xué)的研究對(duì)象，也是幾何學(xué)的研究本質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對(duì)發(fā)散的結(jié)論進(jìn)行梳理，明確發(fā)現(xiàn)結(jié)論的角度，體會(huì)分類(lèi)思想，提升對(duì)研究?jī)?nèi)容、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)思維的深刻性.

追問(wèn)2：本節(jié)課我們只證明其中的兩個(gè)結(jié)論“∠APB=60°和CM=CN”，其他結(jié)論課后證明.

師生活動(dòng)：學(xué)生口述“∠APB=60°”的證明過(guò)程，基本思路是：①（方法1）由題目證明“BD=AE”過(guò)程中的△ACE≌△BCD，得出∠EAC=∠DBC，再根據(jù)△AMP和△BMC的兩組角分別相等，得出∠APB=∠BCA=60°.②（方法2）先證明∠DPE=60°，由對(duì)頂角相等即可得出∠APB=∠BCA=60°，證明方法與方法1相同，略.“CM=CN”的證明過(guò)程寫(xiě)在練習(xí)本上，最后，一名學(xué)生利用實(shí)物展臺(tái)講解證明思路，并展示證明過(guò)程，其他學(xué)生對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià)，并說(shuō)明其他證明方法.

教師最后指出，平時(shí)做相對(duì)復(fù)雜的題目，如證明“CM=CN”，有的學(xué)生感覺(jué)沒(méi)有思路，覺(jué)得缺少證明的條件，其原因主要是他們沒(méi)有發(fā)現(xiàn)題中的隱含結(jié)論（此處教師利用課件依次展示圖形中∠EAC=∠DBC，△BMC與△ANC全等；∠BDC=∠AEC，△MCD與△NCE全等；等等，如圖2，3所示）.其實(shí)，一旦發(fā)現(xiàn)了這些結(jié)論，并證明其中的重要結(jié)論，復(fù)雜問(wèn)題也就迎刃而解了.可見(jiàn)，前面發(fā)現(xiàn)題中的隱含結(jié)論有多么重要.有時(shí)不是我們做不到，而是想不到.

圖2

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用多種方法證明結(jié)論，體會(huì)發(fā)現(xiàn)隱含結(jié)論的重要性，進(jìn)一步感悟轉(zhuǎn)化思想.

（2）拓展并推廣題目的前提條件.

問(wèn)題2：在題目中，結(jié)論“BD=AE”是在“等邊”“共線”的條件下得到的，這個(gè)結(jié)論是否一定需要這么強(qiáng)的條件呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后小組交流，小組派代表匯報(bào)討論結(jié)果.

預(yù)案1：學(xué)生認(rèn)為“點(diǎn)B，C，E可以不共線”.

追問(wèn)1：為什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生很容易想到“因?yàn)椤螦CB=∠DCE，所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE.所以△BCD和△ACE全等.從而得到BD=AE”.

此時(shí)，教師利用課件，動(dòng)態(tài)展示△DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程（如圖4），顯示出學(xué)生所說(shuō)的兩個(gè)全等三角形，并用手指著題目證明的板書(shū)過(guò)程，與學(xué)生一起總結(jié)出“雖然點(diǎn)B，C，E位置變了，但是結(jié)論BD=AE沒(méi)有變，而且解題的思路和方法都沒(méi)有改變”.

圖4

追問(wèn)2：類(lèi)比順時(shí)針的旋轉(zhuǎn)，你能猜想一下逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的情況嗎？

教師動(dòng)態(tài)展示△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，如圖5所示.

圖5

追問(wèn)3：在以上的探究中∠APB=60°還成立嗎？

追問(wèn)4：剛才得到的其他結(jié)論是否成立呢？類(lèi)比共線時(shí)的證明，課后探討.

師生活動(dòng)：教師演示，學(xué)生思考，并回答.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)動(dòng)態(tài)的展示，讓學(xué)生進(jìn)一步感受由“共線”到“不共線”的過(guò)程，深刻體會(huì)雖然圖形的位置改變了，但是結(jié)論不變，證明的思路和方法也不變，其原因是證明全等的關(guān)鍵條件沒(méi)有改變；由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)思維的完整性；對(duì)學(xué)生的啟發(fā)，由課上到課下，體現(xiàn)思維的延續(xù)性.在整個(gè)探究過(guò)程中讓學(xué)生逐步體會(huì)類(lèi)比、一般化的數(shù)學(xué)方法.

預(yù)案2：學(xué)生認(rèn)為“可以不是等邊三角形，只要是等腰三角形即可”.

追問(wèn)1：你是怎么想到的？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答“BD=AE的前提是△BCD和△ACE全等”.

追問(wèn)2：全等的條件是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生回答“SAS”.追問(wèn)3：只要“等腰三角形”就行嗎？還需要滿(mǎn)足什么條件？

師生活動(dòng)：學(xué)生答“頂角相等”.

追問(wèn)4：必須是頂角相等嗎？

此處若學(xué)生發(fā)現(xiàn)“底角相等也可以”.教師要繼續(xù)追問(wèn)“為什么？”教師點(diǎn)撥，“我們發(fā)現(xiàn)，雖然圖形變了（屏幕展示圖6），但是結(jié)論BD=AE沒(méi)有變，而且解題的思路和方法（指向板書(shū)過(guò)程）也都沒(méi)有改變”.

圖6

屏幕顯示題目：如圖6，△ABC和△DCE均是等腰三角形，其中CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE=α，且點(diǎn)B，C，E共線.求證：BD=AE.

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生在由“等邊”到“不等邊”的過(guò)程中，體會(huì)雖然圖形的形狀改變了，但是結(jié)論BD=AE沒(méi)有改變，證明的思路和方法也沒(méi)有改變，其原因是證明全等的關(guān)鍵條件沒(méi)有改變；由“等邊”到“等腰”，將問(wèn)題推廣到一般的情況.在此過(guò)程中讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)類(lèi)比、一般化的數(shù)學(xué)思想.

問(wèn)題3：剛才我們探討了“不共線”可以，“不等邊”也可以，那么既“不共線”又“不等邊”可以嗎？

動(dòng)態(tài)展示△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，如圖7所示.

圖7

師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以，原因同前.學(xué)生發(fā)現(xiàn)，原來(lái)題目中的條件不必是兩個(gè)等邊三角形，只要是兩個(gè)頂角相等的等腰三角形就可以了，這個(gè)問(wèn)題就更具有一般性了.教師指出，我們不僅要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)論，還要抓住圖形的本質(zhì)特征，嘗試著把問(wèn)題推廣到一般情況.這也是研究問(wèn)題的思路和方法.

追問(wèn)1：我們剛才研究問(wèn)題的思路是將問(wèn)題“一般化”，還可以怎樣研究呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生很容易回答出將問(wèn)題“特殊化”.

追問(wèn)2：特殊的等腰三角形還有什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生很容易想到等腰直角三角形（屏幕顯示圖8，然后動(dòng)態(tài)展示），類(lèi)比剛才的研究思路和方法，學(xué)生可以課下研究.

圖8

【設(shè)計(jì)意圖】深化問(wèn)題的研究，增強(qiáng)學(xué)生思維的全面性、深刻性.

（3）小結(jié).

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，并讓學(xué)生回答以下問(wèn)題.

①本節(jié)課研究了哪些主要內(nèi)容？

②本節(jié)課研究問(wèn)題的主要思路是什么？

③在研究過(guò)程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法？

④對(duì)本節(jié)的研究?jī)?nèi)容你還有哪些新的想法？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生回答.對(duì)于問(wèn)題④，學(xué)生可能提出“對(duì)于原題目，如果連接MN，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？如果連接PC，還能發(fā)現(xiàn)哪些新結(jié)論？”等等.

【設(shè)計(jì)意圖】前兩個(gè)問(wèn)題主要是引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過(guò)程、研究方法等方面總結(jié)自己的收獲，并從中體會(huì)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，建立知識(shí)之間、方法之間、過(guò)程之間、解決問(wèn)題策略之間的普遍聯(lián)系.第三個(gè)問(wèn)題，主要是拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生不僅能夠分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，而且還逐漸地學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，學(xué)生由“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”“樂(lè)學(xué)”轉(zhuǎn)變.

（4）作業(yè).

①證明“問(wèn)題1”中得到的其他結(jié)論.

②探索“問(wèn)題2”中一般化和特殊化后的結(jié)論，并證明.

③證明“問(wèn)題3”中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，探索并證明“連接PC”后的其他結(jié)論.

【設(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題探索自然延續(xù)到課后，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容、方法，啟發(fā)學(xué)生逐漸體會(huì)如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

6.目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

如圖9，△ABC和△DCE均是等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE.

（1）求證：BD=AE；

（2）若∠BAC=70°，求∠BPE的度數(shù).

圖9

【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對(duì)幾何問(wèn)題研究方法的掌握程度.

二、設(shè)計(jì)特點(diǎn)

這是一節(jié)習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì).傳統(tǒng)的習(xí)題課一般是教師將一組題呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生分析題、解答題，總結(jié)解題方法，從而豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課，教師不是以學(xué)生會(huì)解題為目標(biāo)，而是以一道典型題為載體，通過(guò)對(duì)這道題進(jìn)行橫向拓展和縱向延伸，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法，學(xué)會(huì)用上位的數(shù)學(xué)思想方法解決一類(lèi)問(wèn)題.這樣的設(shè)計(jì)，不再是“以題論題”，而是“以題論法”“以題論道”.

本節(jié)課內(nèi)容主要包括兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是條件不變，發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論，并證明其中的兩個(gè)結(jié)論；二是結(jié)論不變，弱化條件，將問(wèn)題一般化，或強(qiáng)化條件，將問(wèn)題特殊化.

在第一環(huán)節(jié)中，條件不變，探究更多的結(jié)論.這是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，開(kāi)放性的問(wèn)題本身給學(xué)生提供了廣闊的探究空間，也使學(xué)生思維發(fā)散性得到很好的鍛煉.對(duì)“究竟應(yīng)從哪個(gè)角度發(fā)現(xiàn)新結(jié)論？”的再思考，又可以使學(xué)生對(duì)無(wú)序的發(fā)現(xiàn)過(guò)程進(jìn)行理性分析，這個(gè)過(guò)程具有方法論意義，學(xué)生通過(guò)反思，可以深刻地認(rèn)識(shí)到這正是幾何學(xué)的研究對(duì)象和研究本質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)思維由發(fā)散到聚合的飛躍.學(xué)生正是在這種發(fā)散與聚合的過(guò)程中，感悟研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的切入點(diǎn)和一般方法.在第二個(gè)環(huán)節(jié)中，條件弱化時(shí)，圖形在變，位置在變，圖形和位置都在變，學(xué)生在這變的過(guò)程中體會(huì)不變的本質(zhì)——研究策略、研究方法、研究過(guò)程等都是不變的，學(xué)生也在這不變的過(guò)程中，進(jìn)一步感悟變的規(guī)律——將條件一般化或特殊化，這也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法——一般化、特殊化.整節(jié)課，學(xué)生在多角度地發(fā)現(xiàn)結(jié)論、多種方法證明結(jié)論、多維度地拓展問(wèn)題的過(guò)程中，可以進(jìn)一步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，漸漸地學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題.學(xué)生在對(duì)眾多結(jié)論的探究角度的分析中，在從他人獲得的結(jié)論與自己結(jié)論的比較與修正中，在變與不變的感悟中，思維的廣闊性、深刻性、批判性、靈活性等品質(zhì)都能得到有效發(fā)展，學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)也能得到進(jìn)一步提升.

［1］俞求是，王冰.《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》教師教學(xué)用書(shū)（八年級(jí)上冊(cè)）［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［2］王冰.教材分析：從宏觀到微觀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2011（5）：29-31.

［3］王冰.變中出彩［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2008（4）：18-20.

2016—09—30

王冰（1964—），女，中學(xué)高級(jí)教師，遼寧省特級(jí)教師，大連市領(lǐng)軍人才，主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)、中考命題及教材編寫(xiě)研究．