淺談中考“新知閱讀理解”的解題策略

戴向陽（安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初級中學(xué)）

淺談中考“新知閱讀理解”的解題策略

戴向陽（安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初級中學(xué)）

新知閱讀理解試題素材背景豐富、構(gòu)思新穎別致、題樣多變，突出對學(xué)生獨(dú)立自主學(xué)習(xí)與獲取新知能力的考查.但因缺少閱讀方法指導(dǎo)與解題策略指引，學(xué)生普遍存在畏難情緒.在對近年來新知閱讀理解題分析、分類的基礎(chǔ)上，歸納形成針對不同類型的解題策略.

新知閱讀；解題策略；回歸新知

新知閱讀理解題是中考閱讀理解一個重要組成部分，它以初中代數(shù)與幾何板塊中核心知識為線索，素材背景豐富、構(gòu)思新穎別致、題樣多變.新知型閱讀理解題的最大特點(diǎn)是現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，自學(xué)自用，考查學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)、獲取新知的能力，考查學(xué)生閱讀理解能力、綜合分析能力、辨析能力、探究能力，考查數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)思想等.通過對近年來有關(guān)中考試題的分析、研究與概括，新知閱讀理解可分為四種類型，即新運(yùn)算型，新定理型，新概念型，新方法型.本文以2014年中考試題為例，談?wù)勑轮喿x理解題的解題策略.

一、回歸聯(lián)系，落腳轉(zhuǎn)化

對于新定義運(yùn)算型閱讀題，解題時要回歸到新、舊運(yùn)算的相互聯(lián)系中，研讀新運(yùn)算與常規(guī)運(yùn)算的聯(lián)系，關(guān)注新運(yùn)算與哪些普通運(yùn)算有關(guān)，各運(yùn)算對象是如何組建（或搭配）成普通運(yùn)算的（即新、舊運(yùn)算的轉(zhuǎn)化），重點(diǎn)是盤問新運(yùn)算中各元素對象在轉(zhuǎn)化后的運(yùn)算中是否有序.

例1（2014年江蘇·揚(yáng)州卷）對x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：（其中a，b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：

（1）已知T(1，-1)=-2，T(4，2)=1，

①求a，b的值；

（2）若T(x，y)=T(y，x)對任意實(shí)數(shù)x，y都成立（這里T(x，y)，T(y，x)都有意義），則a，b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

解：（1）①a=1，b=3；②略.

整理，得（a-2b）（y2-x2）=0.

由于對任意實(shí)數(shù)x，y，T(x，y)=T(y，x)都成立，

所以a-2b=0，即a=2b.

【說明】此題考查學(xué)生對新運(yùn)算定義的理解及其應(yīng)用.三道小題梯度分明，由淺入深.此題借新運(yùn)算話題既考查了分式、等式性質(zhì)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，又考查了基本能力與思想：第（1）小題第①問檢測學(xué)生解方程組能力；第（1）小題第②問考查解不等式組能力及整數(shù)解概念，以及利用數(shù)軸工具討論整數(shù)解的分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想；第（2）小題則考查恒等式成立的條件.其中第（2）小題揭示了新運(yùn)算的一個性質(zhì)，即當(dāng)a=2b時，在式子有意義的情形下，新運(yùn)算T具有交換律.

關(guān)于新運(yùn)算類解題策略是研讀新運(yùn)算向舊運(yùn)算轉(zhuǎn)化中數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)及對象的匹配.解題時首先要弄清楚新運(yùn)算與哪些常規(guī)運(yùn)算有關(guān)，新運(yùn)算中對象是如何搭配的（如本題中第一個對象x在分子中與a結(jié)合，在分母中與2結(jié)合，而第二個對象y在分子中與b結(jié)合，在分母中系數(shù)為1），轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算時是否具有有序性（很明顯，本題中x，y是有序的）.

二、回歸具體，建立模型

對于新定理類閱讀題，應(yīng)回歸具體，從具體到一般.新定理猜想型閱讀題，應(yīng)立足于具體中歸納；新定理參數(shù)確定型閱讀題，要依據(jù)具體的數(shù)據(jù)，建立方程（或方程組）等模型確定新定理的參數(shù).

例2（2014年四川·宜賓卷）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y均為整數(shù)，則稱點(diǎn)P為格點(diǎn).若一個多邊形的頂點(diǎn)全是格點(diǎn)，則稱該多邊形為格點(diǎn)多邊形．格點(diǎn)多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)記為N，邊界上的格點(diǎn)數(shù)記為L.例如，圖1中的△ABC是格點(diǎn)三角形，對應(yīng)的S=1，N=0，L=4.

（1）求出圖1中格點(diǎn)四邊形DEFG對應(yīng)的S，N，L的值；

（2）已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=N+aL+ b，其中a，b為常數(shù).若某格點(diǎn)多邊形對應(yīng)的N=82，L=38，求S的值．

圖1

解：（1）S=3，N=1，L=6.

（2）根據(jù)格點(diǎn)三角形ABC和格點(diǎn)四邊形DEFG所對應(yīng)的S，N，L的值，可得N-1.當(dāng)N=82，L=38時，

【說明】此題是一道新定理參數(shù)確定型閱讀題，考查的是著名的“皮克公式”.此題作為閱讀理解題，文字通俗易懂，沒有理解上的難點(diǎn).第（1）小題學(xué)生易于解答，難點(diǎn)在第（2）小題，即如何確定a，b的值.此題關(guān)鍵并不在于要學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣工作，即通過畫圖統(tǒng)計獲得大量數(shù)據(jù)，并且撥云見日窺見復(fù)雜數(shù)據(jù)背后的規(guī)律.所以設(shè)計此題不是寄希望于學(xué)生發(fā)現(xiàn)“皮克公式”，而是直接呈現(xiàn)“皮克公式”，即“已知格點(diǎn)多邊形的面積可表示為S=N+aL+b，其中a，b為常數(shù)”，意在考查學(xué)生是否會通過具體數(shù)據(jù)確定“皮克公式”中的參數(shù).所以此題解答的關(guān)鍵是確定常數(shù)a，b的值，引發(fā)方程模型來觀摩問題.要確定常數(shù)a，b，必須找兩組S，N，L的值，而S，N，L的值可在具體圖形中獲得.學(xué)生可依據(jù)試題中提供的△ABC和四邊形DEFG來獲得常數(shù)a，b的值，或自構(gòu)多邊形獲得S，N，L的值.在△ABC中有0+4a+b=1，在四邊形DEFG中有1+6a+b=3，解得

新定理型閱讀題有兩類：一類是自主探索新知規(guī)律（或定理）；另一類是已知新知結(jié)構(gòu)形式，尚不明確結(jié)構(gòu)中有關(guān)參數(shù)值.前者的規(guī)律可以通過初中階段的知識來推導(dǎo)，如中考中關(guān)于對數(shù)的試題，就是通過所學(xué)知識——冪的運(yùn)算逆推而得.對于后者，要么通過觀察現(xiàn)有的表格數(shù)據(jù)得到，要么以一定的語言或符號的形式給出數(shù)量關(guān)系式，只需確定相關(guān)參數(shù)即可，如以多面體的棱、面、頂點(diǎn)之間的歐拉定理為對象的中考題，不同時期就出現(xiàn)過不同形式.對于新定理類閱讀題，無論是基于定理的發(fā)現(xiàn)，還是基于定理結(jié)構(gòu)中參數(shù)的確認(rèn)，這類問題的解題策略就是回歸具體，在特殊中揭開一般.

三、回歸定義，品悟概念

對于數(shù)學(xué)名詞新概念或性質(zhì)探究型閱讀題，解題的關(guān)鍵是回歸到新名詞的定義中，因?yàn)槎x指出了概念的本質(zhì)，即概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).解題時，要細(xì)嚼、細(xì)品定義，從中悟思想、方法，悟思考問題的方式.定義是問題的生長點(diǎn)，是解題的起點(diǎn)，是思維的著陸點(diǎn).

例3（2014年浙江·舟山卷）類比梯形的定義，我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）已知：如圖2，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度數(shù)．

圖2

圖3

（2）在探究“等對角四邊形”性質(zhì)時：

①小紅畫了一個“等對角四邊形”ABCD（如圖3），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此時她發(fā)現(xiàn)CB＝CD成立．試證明此結(jié)論.

②由此小紅猜想：“對于任意‘等對角四邊形’，當(dāng)一組鄰邊相等時，另一組鄰邊也相等”．你認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，試證明；若不正確，舉出反例．

（3）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求對角線AC的長．

解：（1）因?yàn)椤螦≠∠C，根據(jù)“等對角四邊形”的定義，有∠D=∠B=80°.

由四邊形內(nèi)角和等于360°，得∠C=360°-2×80°-70°=130°.

（2）①如圖4，連接BD.

圖4

因?yàn)锳B=AD，

所以∠ABD=∠ADB.

又因?yàn)椤螦BC=∠ADC，

所以∠CBD=∠CDB.

故CB=CD.

②略.

（3）如圖5，當(dāng)∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC，相交于點(diǎn)E.

圖5

因?yàn)椤螦BC=90°，∠DAB=60°，AB=5，

所以AE=10.

所以DE=AE-AD=10-4=6.

又因?yàn)椤螮DC=90°，∠E=30°，

所以在Rt△ACD中，由勾股定理，得

如圖6，當(dāng)∠DCB=∠DAB=60°時，過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥BC，

圖6

因?yàn)镈E⊥AB，∠DAB=60°，AD=4,

所以BE=AB-AE=5-2=3.

因?yàn)樗倪呅蜝FDE是矩形,

所以DF=BE=3，BF=DE=23.

因?yàn)椤螪CB=60°，

所以在Rt△DCF中，有CF=3.

所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得

【說明】此題考查學(xué)生對新概念的理解，性質(zhì)的探究及應(yīng)用.第（1）小題直接考查對定義的認(rèn)識；第（2）小題考查對等對角四邊形性質(zhì)的探索能力，兩道小題有梯度的推進(jìn)探索進(jìn)程；第（3）小題駐足于定義考查，并靈活運(yùn)用.此題涉獵的基礎(chǔ)知識廣范，考查了學(xué)生理解能力、分析能力、概括能力（如小紅的猜想內(nèi)容屬于概括不準(zhǔn)）、合情推理能力（如小紅從特殊到一般的猜想，盡管猜想不正確），演繹推理能力、運(yùn)用能力等，考查了分類討論思想、從特殊到一般的思想方法，考查了應(yīng)用意識.

此題解題策略是回歸定義，品悟等對角四邊形限制性條件，誘發(fā)分類討論思想.根據(jù)定義，等對角四邊形應(yīng)滿足兩個條件：一對角相等，另一對角不等.波利亞說，當(dāng)思維受挫時，不妨回到定義中去.所以面對新概念問題時，在解題過程中要不斷回訪定義，每一次回訪都可能有新的體會.在第（2）小題第②問與第（3）小題中，學(xué)生容易受挫.如果解題時能及時回審定義，不難發(fā)現(xiàn)問題首先要分類討論.在第（2）小題第②問中，分類討論起源于兩處：等對角四邊形中的角；相等的鄰邊.它們的匹配有多種情況，而第（2）小題第①問只是其中一種情形，小紅根據(jù)第（2）小題第①問的猜想，犯了不完全歸納的錯誤.在第（3）小題中，分類討論只源于等對角四邊形的定義.

例4（2014年安徽卷）若兩個二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

（1）試寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求當(dāng)0≤x≤3時，y2的最大值.

解：（1）略.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)y1=2x2-4mx+2m2+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，1），

所以2-4m+2m2+1＝1.

解得m＝1.

所以y1=2x2-4x+3＝2（x-1）2+1.

因?yàn)閥1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，

所以函數(shù)y1+y2頂點(diǎn)為（1，1），

故設(shè)y1+y2＝k（x-1）2+1，

所以y2=k（x-1）2+1-y1=（k-2）（x-1）2.

又由y2=ax2+bx+5知，函數(shù)y2的圖象經(jīng)過（0，5）.

則（k-2）×12＝5.

所以k-2＝5.

所以y2=5（x-1）2.

當(dāng)0≤x≤3時，根據(jù)y2的函數(shù)圖象知，當(dāng)x=3時，y2有最大值，函數(shù)y2最大值為20.

【說明】此題通過對同簇二次函數(shù)概念及應(yīng)用的考查，檢測了求頂點(diǎn)的常用方法，即頂點(diǎn)公式法、配方法等；檢測了二次函數(shù)解析式形式，即一般式、頂點(diǎn)式等，以及頂點(diǎn)與頂點(diǎn)式互推；檢測了函數(shù)最值與求法.第（1）小題是個開放性問題，條件開放結(jié)論也開放，當(dāng)給定一個頂點(diǎn)時，就有一簇滿足概念的二次函數(shù)，自由度廣，難度不大.第（2）小題難點(diǎn)增加，一方面來源于同簇二次函數(shù)的概念，另一方面來自對符號語言“y1+y2”的認(rèn)知.對第（1）小題學(xué)生存在兩種思考方式，一種是寫兩個函數(shù)，然后讓其頂點(diǎn)相同，開口方向一樣；另一種是先確定一個相同頂點(diǎn)，利用頂點(diǎn)式寫出解析式，再使二次項(xiàng)系數(shù)同正或同負(fù).很明顯，用第一種方式思考，先任意寫一個二次函數(shù)的一般式，再寫一個一般式二次函數(shù)，并使其頂點(diǎn)坐標(biāo)與拋物線方向同前一個一致，困難接踵而來；而用第二種方式思考，自會用函數(shù)的頂點(diǎn)式來刻畫，然后讓二次項(xiàng)系數(shù)符號相同即可，這種方式不但能有效解決問題，而且可以“秒殺”問題.我們所言第（1）小題難度不大，是基于第二種思考方式來說的，而用第一種方式思考的學(xué)生而言，難有下手之處.第（2）小題是對同簇二次函數(shù)概念的運(yùn)用，對不同的處理方式難易度又分上下，一種是先合，得出y1+y2解析式，再配方或用頂點(diǎn)公式得出頂點(diǎn)，然后依據(jù)同簇二次函數(shù)的概念，建立函數(shù)y1+y2與函數(shù)y1的頂點(diǎn)相同的方程，如此對學(xué)生的數(shù)據(jù)整理能力與計算能力要求都很高；另一種，依據(jù)同簇二次函數(shù)概念，得出函數(shù)y1+y2的頂點(diǎn)就是函數(shù)y1的頂點(diǎn)，從而得出函數(shù)y1+y2的頂點(diǎn)式，輕松解決問題.

此題解題策略是品味同簇二次函數(shù)的概念，以彼觀此、換位思考是化繁為易的關(guān)鍵.

四、回歸過程，著眼通性

解方法遷移型閱讀題，關(guān)鍵在研讀、細(xì)品解題的過程，反思解法本質(zhì)與通性，實(shí)現(xiàn)解題方法有效正遷移.

例5（2014年山東·濟(jì)寧卷）閱讀材料：

圖7

（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），如圖8所示，各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r；

圖8

圖9

（2）理解應(yīng)用：如圖9，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)切圓，設(shè)它們的半徑分別為r1和r2，求的值.

解：（1）如圖10，連接OA，OB，OC，OD.

2016—08—19

戴向陽（1974—），男，中學(xué)一級教師，主要從事教育教學(xué)研究與解題研究.