在交會處提升能力

姜鴻雁（江蘇省無錫市河埒中學(xué)）

在交會處提升能力

姜鴻雁（江蘇省無錫市河埒中學(xué)）

在教學(xué)過程中，教師可用整體意識和民主理念引領(lǐng)自己的教學(xué)行為，復(fù)習(xí)課教學(xué)亦如此.在教學(xué)設(shè)計時，于知識點、方法點的交會處，讓舊題、舊知識這些“老歌”唱出“新意”，讓復(fù)習(xí)課不再枯燥；在課堂教學(xué)時，教師可與學(xué)生角色變換，讓學(xué)生在實現(xiàn)主人翁的挑戰(zhàn)中，提升各項能力.復(fù)習(xí)課如此上，教師在提升自己的同時，把快樂與成就帶給了學(xué)生.

幾何問題；方程思想；知識交會；角色變換；思維共振

筆者2015年6月底參加江蘇省無錫市名師評比活動課堂教學(xué)環(huán)節(jié)時，上了一節(jié)課題為“品味角平分線”（蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第七章“平面圖形的認識（二）”）的復(fù)習(xí)課，得到聽課教師的一致好評.筆者回顧課堂教學(xué)的過程，結(jié)合自己對復(fù)習(xí)課的一些認識，形成文字，期待大家批評指正.

一、課堂實錄及說明

師：雖然我們第一次見面，但幾天前老師就牽掛你們，猜測你們的復(fù)習(xí)進度，預(yù)測你們的學(xué)習(xí)狀態(tài)，相信同學(xué)們一定已經(jīng)厲兵秣馬了.今天我們一起重溫一位“老朋友”，看看它能給我們帶來什么樣的思維碰撞.

問題1：在△ABC中，∠A=n.如圖1，△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，求∠BOC的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）.

圖1

師：為什么？

生1：因為△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線相交于點O，

師：你用了什么數(shù)學(xué)思想？

生1：用了整體思想，即把∠ABC+∠ACB，∠OBC+∠OCB看成一個整體.

師：還有不同的解法嗎？

生2：如圖2，延長BO，交AC于點E.

圖2

因為∠BEC=∠A+∠ABE，∠BOC=∠BEC+∠ACO，所以∠BOC=∠A+∠ABE+∠ACO.

因為BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，

師：你用到了什么圖形及其結(jié)論？

生2：“魚形”ABOC，結(jié)論是∠BOC=∠A+∠ABO+∠ACO.

師：哦，因為它長得像“魚”，還有不同思路么？

圖3

生3：如圖3，連接AO并延長，交AC于點D.由此可知∠BOD=∠ABO+∠BAO，∠DOC=∠ACO+∠OAC，所以∠BOC=∠BAC+∠ABO+∠ACO，其余過程與生1相同.

師：你用不同的方法把“魚形”的結(jié)論證明了.借助生3的輔助線，我突然有了一個想法，∠BAO+∠ABO+∠ACO的值是多少？為什么？

生4：應(yīng)該是90°.因為三角形的三條角平分線相交于一點，點O是兩條角平分線交點，則連接線段AO也應(yīng)該平分∠BAC.

生：哦！那得到本題的數(shù)量關(guān)系就簡單了.

【設(shè)計意圖】此題讓學(xué)生從一個非常熟悉的問題入手，引出課題，讓學(xué)生在“老師”的角色中完成知識的回憶.可是課堂進展到此，在一個個“還有什么不同的思路”的追問中，學(xué)生思維并沒有運行到筆者預(yù)設(shè)的軌道——用方程思想解決幾何問題，這說明學(xué)生在這方面留有空白.同時也說明學(xué)生需要引導(dǎo).生3、生4的表現(xiàn)是本節(jié)課意外的生成.

師：還有其他方法嗎？角的平分線提供了角與角之間的倍分關(guān)系，如果我們用字母表示小角度數(shù)的話，那大角的度數(shù)將很容易表示；三角形的內(nèi)角和定理是推理過程中的重要支柱，如果從方程視角來看，則可認為是相等關(guān)系；這些將給我們帶來什么呢？試試看！

師：如果設(shè)∠OBC=x，則……

生：∠ABC=2x.

師：下面的過程哪位小老師能講下去？

生5：設(shè)∠OCB=y，則∠ACB=2y，能得到兩個方程：在△BOC中，x+y+∠BOC=180°①，在△ABC中，2x+2y+∠A=180°②.

師：對于這兩個方程，我們該怎么辦呢？

生：消去x，y.用①×2-②，或者①-②÷ 2，……

師：用方程方法解決幾何問題，是解決問題的常用思路.當(dāng)角與角之間存在倍分關(guān)系時，可以通過用字母表示角度，則它們的數(shù)量關(guān)系就更加明顯，使問題解決更加方便.今天讓我們在方程思想方法下品味角平分線.

師：這里的未知數(shù)x，y的值我們并沒有求，那他們的作用是什么？

生：輔助未知數(shù).

師：為了方便記憶、理解和積累經(jīng)驗，把這幅圖也起個名字.這是三角形的兩條內(nèi)角平分線，我們就叫它“二內(nèi)”吧.有“二內(nèi)”，則會有什么？

生：“二外”.

【設(shè)計意圖】在眾多方法說完之后，又是一個追問“還有其他方法嗎？”當(dāng)學(xué)生陷入深思的時候，他們正處在“憤”“悱”狀態(tài)，教師的一個提示，一個點撥，讓學(xué)生的思維激起浪花.一道舊題目，給出了新做法，讓三角形中的計算與二元一次方程組兩部分知識波相遇形成了思維的共振效果.同時，也為解決下面的問題打開了思維的閥門，既是幫助學(xué)生理解記憶，又為后面串題成線做好思維的導(dǎo)火線.

問題2：在△ABC中，∠A=n.如圖4，△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分線相交于點O′，求∠BO′C的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）.

圖4

筆者把“二內(nèi)”“二外”兩幅圖畫在一起，即如圖5所示.

圖5

師：哪位同學(xué)愿意做小老師到臺上來講？

生6：設(shè)∠O′BC=x，∠O′CB=y，則∠CBD=2x，∠BCE=2y.得到兩個方程：x+y+∠BO′C=180°①，∠A+（180°-2x）+（180°-2y）=180°②.消去x，y，解得

師：兩道非常熟悉的問題，在新視角下，對它們卻有了全新的認識.在復(fù)習(xí)過程中，要慢慢學(xué)會像這樣把所學(xué)的知識進行整合重組，以便提升自己解決問題的能力.觀察問題1與問題2的結(jié)論，有何發(fā)現(xiàn)？

觀察片刻后，有學(xué)生提出：∠BOC與∠BO′C互補.

師：為什么呢？

生7：我是看兩個角的表達式，發(fā)現(xiàn)兩個角的和是180°.

師：不錯，能不能結(jié)合圖形給出證明？

生8到黑板上給出證明，證明過程略.

師：誰能結(jié)合平時的解題，提出與三角形角平分線相關(guān)的問題來嗎？

生9：如圖6，BP，CP分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF的平分線，∠A=n，求出∠P的度數(shù).

師：太棒了，誰能解決這道題？

圖6

筆者把生9所說圖形與圖5畫在了一起，所以呈現(xiàn)在黑板上的是圖7.

圖7

生10到講臺上運用∠ACF，∠PCF分別是△ABC，△PBC的外角，結(jié)合方程組很快解決了問題.得∠P=

【設(shè)計意圖】部分學(xué)生能自如地用方程解決熟悉的問題，說明學(xué)生已經(jīng)把方程思想同化到自己的知識體系中了.學(xué)生感嘆方法的簡潔，說明學(xué)生認可這個方法，同時讓學(xué)生感到知識的重組意義多么重大.這正是復(fù)習(xí)課的意義與價值所在.

師：你們發(fā)現(xiàn)∠P與∠O′的關(guān)系了嗎？為什么？

生11：由剛才的討論可知，△BPO′是直角三角形，所以∠P與∠O′互余.從表達式也可以看出這一點.

師：很好，從數(shù)、形角度都能看出這一點.有一點要做補充說明：圖7中，CO′，CP分別是∠BCE，∠ACF的平分線，△BPO′與點B，點O′，點C，點P四個點有關(guān)，想想這里有一個什么問題需要交待？

生：O′，C，P三點共線.

生12：CO′，CP分別是對頂角∠BCE，∠ACF的角平分線，對頂角的平分線在同一直線上.

師：很好.這是數(shù)學(xué)嚴謹魅力的彰顯.到此，我們運用方程思想，將熟悉的結(jié)論重新梳理，將熟悉的圖形重新整合，發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性.把一個個零散的題目、結(jié)論串起來，有助于我們的記憶和掌握，更有助于提高學(xué)習(xí)能力，希望同學(xué)們將這種學(xué)習(xí)的方法成為一種經(jīng)驗和習(xí)慣.

【設(shè)計意圖】這個教學(xué)環(huán)節(jié)是對熟悉的結(jié)論進行重組和整合，不僅提高了學(xué)生的思維能力，也是在暗示學(xué)生學(xué)會整合知識，注意知識間的關(guān)聯(lián)性，有助于理解與記憶，這是學(xué)習(xí)方法也是經(jīng)驗積累.

師：剛才都是在三角形中研究問題，我們還要在四邊形、多邊形中研究；剛才是研究了角的平分線問題，我們還要研究角的三等分線、四等分線……

后面的教學(xué)進程，就是把角平分線問題推廣到四邊形等多邊形中，在方程思想的浸潤之下，逐一解決.其中有部分問題是學(xué)生編寫的.

師：時間過得真快，我們合作了一節(jié)課，同學(xué)們表現(xiàn)很出色.我們要通過這節(jié)課學(xué)會在復(fù)習(xí)的過程中整合曾經(jīng)做過的題目，學(xué)會串題成線；重組學(xué)過的知識點和數(shù)學(xué)方法，在這些數(shù)學(xué)思想和方法的指導(dǎo)下編織知識線條，形成知識網(wǎng)絡(luò)，并逐步養(yǎng)成良好的思維方式和習(xí)慣，相信你們到收獲結(jié)果的時候一定能滿載而歸！

【設(shè)計意圖】當(dāng)課堂教學(xué)運行到這里，已經(jīng)下課了，沒有時間把思維的天地推廣到n邊形，更沒有時間推廣到三等分線、四等分線等，甚至連給學(xué)生自我總結(jié)的時間都沒有，筆者只能自己總結(jié)，點出本節(jié)課的設(shè)計意圖.

二、教后思考

1.在知識方法交會融合處，提升學(xué)生能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中明確提出，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要關(guān)注知識的生長點和延伸點，把每節(jié)課的知識置于整體知識體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)與體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系.所以，教師在教學(xué)過程中，要用整體的意識、理念引領(lǐng)自己的教學(xué)行為，復(fù)習(xí)課教學(xué)亦如此.用整體的教學(xué)目光看，前面所學(xué)知識方法為后面的學(xué)習(xí)做鋪墊，后面的知識往往又能反過來促進前面知識的深入理解與提升，相輔相成，互相促進，使學(xué)習(xí)呈螺旋上升的態(tài)勢.

這種態(tài)勢讓我們思考：在復(fù)習(xí)課中，我們除了構(gòu)建一章章知識框架外，除了講練習(xí)題外，除了糾錯外，還要做什么？筆者認為，既然后繼學(xué)習(xí)的知識方法能為前面所學(xué)知識注入新的思維活力，那么在復(fù)習(xí)時，需要用后來學(xué)過的方法重新審視曾經(jīng)解決過的問題，并在此過程中，將曾經(jīng)解決過的問題重新整合，讓它們由原來的點狀零散分布，到線狀甚至片狀分布，讓學(xué)生有耳目一新之感，讓學(xué)生感覺復(fù)習(xí)課不再枯燥，更是提升學(xué)生認知能力、思維能力的契機，是對教師教學(xué)設(shè)計的挑戰(zhàn).

以本節(jié)課為例，在知識方法的交會處，我們可以聽到思維拔節(jié)的聲音.上課前，在筆者把學(xué)案下發(fā)之后，就聽到不少學(xué)生在下面竊竊私語：這些題目我們以前都做過，又是它們！但在課中，卻不時聽到“這個方法好簡潔！”的感嘆，這是學(xué)生積極情態(tài)的反映，他們還會有“復(fù)習(xí)課沒意思”的想法嗎？另外，在教師的點撥之下，學(xué)生能夠自如地把角平分線與方程（組）內(nèi)容交織于一體，這不僅是對解決幾何圖形能力的提高，也是促進方程模型思想的建立，展示了數(shù)學(xué)知識方法的相輔相成，水乳交融.這種學(xué)生思維的拔節(jié)態(tài)勢，反映出學(xué)生的解題能力、思維能力就在這個點上得到提升.

培養(yǎng)學(xué)生重組知識，要先從教師開始，教師不但要有這個意識，更要有行動.這需要教師要懷著整體教學(xué)的意識，沉下心、研教材、深思考，才能具備一雙發(fā)現(xiàn)知識交會的眼睛，才能改進自己的教學(xué)設(shè)計，提升自己，成就學(xué)生.

2.在師生的角色交會互換中，提升學(xué)生能力

《標(biāo)準(zhǔn)》中還明確指出，教師應(yīng)成為學(xué)生學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者，為學(xué)生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件.筆者認為，教師的這“三者”角色，不僅體現(xiàn)在課前的教學(xué)設(shè)計上，還要體現(xiàn)在具體的教學(xué)活動中.

在本節(jié)課中，在學(xué)生能講題的地方，筆者都給了學(xué)生上臺表演的機會；學(xué)生能編題的地方，筆者鼓勵學(xué)生編寫題目，這時學(xué)生是小老師.相反，在學(xué)生講、解題的時候，最需要幫助之處、最需要點撥之地，筆者給他們一架梯子，還原教師角色.本節(jié)課就是在教師與學(xué)生的角色交會互換中，讓學(xué)生成為主人，在實現(xiàn)主人翁的挑戰(zhàn)中，除了有新發(fā)現(xiàn)，更增添一份自信.讓學(xué)生做主人，這既會給課堂帶來意外的生成，更能提升學(xué)生的思維和表達能力等綜合素質(zhì).

具體來說，從講題角度，對于“二內(nèi)”這個基本圖形及基本結(jié)論（如圖1中，∠BOC=90°+的教學(xué)，幾乎都是學(xué)生充當(dāng)小老師的角色在講解，而筆者不斷地提問.在讓他們做小老師的同時，筆者更期盼方程思路能從學(xué)生口中流露，可是事與愿違.在這過程中，產(chǎn)生了意想不到的生成：復(fù)習(xí)了三角形角平線相交于一點并隨之產(chǎn)生解決這道題的另一思路.在這時，筆者恢復(fù)教師的身份，因勢利導(dǎo)，給了他們思維一個“支點”.雖然在這個環(huán)節(jié)里花了不少時間，筆者課前的教學(xué)預(yù)設(shè)也沒能完成，但筆者決不因為前面時間花長了而后悔，因為正是在這個民主的過程中，學(xué)生積極思考、求知求真的積極情態(tài)得到了激發(fā).

從答題角度，教學(xué)常態(tài)是教師拋出問題，學(xué)生解答問題.其實，我們也可以在適當(dāng)?shù)臅r候讓學(xué)生自己編寫題目，這不但讓學(xué)生有主人翁的感覺，更重要的是，在這個過程中，學(xué)生的問題意識得到了培養(yǎng)，這一點在復(fù)習(xí)過程中，價值更加可觀.例如，在本節(jié)課中，“一內(nèi)一外”問題的提出，以及把方程思想推廣到四邊形時，其中部分問題，都是來自學(xué)生之口.學(xué)生在編寫的過程中，已經(jīng)自覺、不自覺地串題成“線”，整合重組所學(xué)內(nèi)容，逐步達到“會一題，通一類”的境界.課堂的最后，雖然對學(xué)生提出的在“n邊形和角的三等分線、四等分線”的話題沒有時間解決，但是已經(jīng)給了學(xué)生思維飛翔的翅膀.

在復(fù)習(xí)課中，只有教師對知識再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，才能有學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造；在復(fù)習(xí)課中，只有學(xué)生真正參與的課堂，才是靈動的課堂，不僅有教師的預(yù)設(shè)，更有來自學(xué)生寶貴的生成.在教師的預(yù)設(shè)中，學(xué)生向教師學(xué)習(xí)；在學(xué)生的生成中，教師可以向?qū)W生學(xué)習(xí).課堂是思維碰撞的場所，為營造這樣的場所需要教師和學(xué)生一起努力.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［3］符永平.老歌新唱淺印深痕：“發(fā)現(xiàn)式復(fù)習(xí)課型”操作體系科學(xué)構(gòu)建的研究與實踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2009（11）：27-30.

［4］姜曉剛.基于數(shù)學(xué)實驗的三角形的中位線定理的探究：一節(jié)江蘇省“教學(xué)新時空”研討課的設(shè)計與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：56－59．

［5］鄔云德.寓“過程教育”于“認識不等式”教學(xué)探索及反思［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2014（1/2）：68-70.

［6］孫慶民，于彬.基于“導(dǎo)學(xué)·反思”教學(xué)法的教學(xué)案例及幾點思考：以“平行四邊形的性質(zhì)（第一課時）”為例［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2016（6）：46-49.

［7］于彬.基于“兩人制暑期集中課例打磨”的實踐與思考：以“圓（第一課時）”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2015（10）：12-14.

2016—08—15

姜鴻雁（1975—），女，中學(xué)高級教師，主要從事課堂教學(xué)研究.