數(shù)形結(jié)合思想在圓錐曲線問(wèn)題解答中的應(yīng)用
——以2015-2017年全國(guó)高考1卷為例

一、題目的提出

1.2015年全國(guó)1卷第20題。

（Ⅰ）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說(shuō)明理由。

2.2016年全國(guó)1卷第20題。

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E。

（I）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍。

3.2017年全國(guó)1卷第20題。

（I）求C的方程；

（II）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn)。

二、題目的欣賞

1.選材。這三題都來(lái)源于近三年全國(guó)1卷理科數(shù)學(xué)試卷的第20題，這些題涉及中學(xué)數(shù)學(xué)的多個(gè)主干知識(shí)。例如，橢圓的方程及性質(zhì)、拋物線、直線、斜率、導(dǎo)數(shù)、切線方程、圓、直線與圓、直線與橢圓、直線與拋物線等內(nèi)容，這些都是《考試說(shuō)明》中的B、C等級(jí)要求的內(nèi)容，體現(xiàn)了重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查的命題理念，同時(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容巧妙組合，自然交匯。

2.題目源自課本。第二題 （2016年高考題）來(lái)源于“人教版”A版選修教材2-1的第二章第二節(jié)的課后習(xí)題，在課本2-1的第49頁(yè)的第7題；第三題（2017年高考題）來(lái)源于“人教版”A版必修2的第四章的第一節(jié)的課后習(xí)題，在課本的第124頁(yè)的第6題。這些高考題，有些是題型、有些是方法來(lái)源于課本，都是課本中的重要內(nèi)容，體現(xiàn)命題源自課本，而課本是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

3.設(shè)問(wèn)。這些題目都設(shè)兩個(gè)問(wèn)題，對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題大部分學(xué)生都是很熟悉的，自然比較容易得分。例如第一題的第一問(wèn)，給出了參數(shù)k=0時(shí)，求切線方程。給出了參數(shù)的具體數(shù)值，問(wèn)題便簡(jiǎn)單了，但還有一個(gè)參數(shù)a，又要求學(xué)生有一定的代數(shù)推理和規(guī)范表達(dá)的能力，所以說(shuō)第一題即使送分也不是完全送分的。對(duì)于第二題，給出兩個(gè)角相等，要求學(xué)生有轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把兩角相等轉(zhuǎn)化成斜率之和等于0，能考慮到這一點(diǎn)的學(xué)生就不多了。然后利用直線與拋物線的關(guān)系及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系找到相等關(guān)系，從而求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)。要算出最后答案，且其中有兩個(gè)參數(shù)k和a，這里的代數(shù)推理運(yùn)算要求很高，對(duì)于不少學(xué)生來(lái)說(shuō)是一道有難度的題，也恰恰是一道壓軸題。

4.解法。

（1）2015年全國(guó)1卷第20題。

（Ⅱ）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，M（x1，y1），N（x2，y2），直線 PM，PN的斜率分別為k1，k2

將y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0

∴ x1+x2=4k，x1x2=-4a

由∠OPM=∠OPN，得直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，則有k1+k2=0所以b=-a，故P（0，-a）。

（2）2016年全國(guó)1卷第20題。

解析：（Ⅰ）因?yàn)閨AD|=|AC|，EB||AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|

又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （x+1）2+y2=16，從而|AD|=4所以|EA|+|EB|=4

（Ⅱ）當(dāng)l與軸x不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1+y1），N（x2+y2）

可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，由k2＞0得四邊形MPNQ面積的取值范圍為

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為 x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四邊形MPNQ的面積為12。綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為

（3）2017年全國(guó)1卷第20題。

解析：（I）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)。

由題設(shè)可知△=16（4k2-m2+1）＞0 （1）

由題設(shè) k1+k2=-1，故 （2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0

5.抓住共同處，分析共同點(diǎn)。這三道題中，有不少共同之處，值得與大家分享。其一，都有直線方程、直線的斜率。其二，都有直線與圓錐曲線的聯(lián)立，都有韋達(dá)定理的使用。其三，三道題就有兩題跟橢圓有關(guān)，只有一題跟拋物線有關(guān)，說(shuō)明橢圓還是考查的重點(diǎn)。其四，第一問(wèn)主要是以求曲線方程為主，第二問(wèn)主要是求范圍問(wèn)題和定點(diǎn)問(wèn)題。從這些共同處，不難看出以后教學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容和重要題型。

三、教學(xué)啟示

1.重視基礎(chǔ)知識(shí)的生成，公式的靈活運(yùn)用。圓錐曲線的問(wèn)題，是高考的必考點(diǎn)，主要考查橢圓、拋物線、直線方程、以及圓等內(nèi)容，這一部分基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)多，且之間又有緊密的聯(lián)系。學(xué)好這一部分內(nèi)容，必須領(lǐng)會(huì)橢圓、圓、拋物線等概念，掌握各個(gè)性質(zhì)形成過(guò)程，不要死記硬背，死記硬背肯定是不行的。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要重視知識(shí)的產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程，幫助學(xué)生建立和領(lǐng)會(huì)知識(shí)體系的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，能讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)和掌握主干知識(shí)的交匯處。同時(shí)，這一章節(jié)有特別多的公式，比如“兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率公式、弦長(zhǎng)公式”等內(nèi)容，學(xué)生不僅要知道這些公式是如何產(chǎn)生的，也要掌握這些公式、會(huì)運(yùn)用這些公式，它們就是我們手上的“工具”或“武器”，沒(méi)有了它們，我們很難解決數(shù)學(xué)里的曲線問(wèn)題。靈活運(yùn)用它們是教師要思考的，也是學(xué)生學(xué)好圓錐曲線的保障。

對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法，需要教師在日常的教學(xué)和訓(xùn)練中，不斷地概括、提煉、比較、歸納、總結(jié)、反思、體會(huì)。相對(duì)于基礎(chǔ)題來(lái)說(shuō)，解答時(shí)，不能靠記憶或背來(lái)解決問(wèn)題，不然，學(xué)生就失去了理解、領(lǐng)會(huì)題目的機(jī)會(huì)，也沒(méi)有得到總結(jié)和歸納，升華成自己的東西。所以，在日常教學(xué)中，教師一定要注重方法的歸納和總結(jié)，最好讓學(xué)生自己領(lǐng)會(huì)，這樣得到的方法、思想才是自己的。

3.重視運(yùn)算能力和分析能力的訓(xùn)練。近三年全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)試卷的第20題，也是必做題的倒數(shù)第2題，是有一定難度的，特別是第二個(gè)問(wèn)，涉及的運(yùn)算很多，再加上還需要分析它們內(nèi)在的聯(lián)系，以及圖像和代數(shù)的關(guān)系，需要很強(qiáng)的分析能力和思維能力。解析幾何的核心是利用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，所以代數(shù)運(yùn)算是重要的一環(huán)。從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展來(lái)說(shuō)，小學(xué)只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)會(huì)加減乘除，初中要求會(huì)在實(shí)數(shù)范圍的加減乘除，還有冪的一些簡(jiǎn)單運(yùn)算，到了高中，不僅要會(huì)具體數(shù)字的運(yùn)算，還有冪、對(duì)數(shù)、帶字母的運(yùn)算，這里還有許多公式的靈活運(yùn)用，要求高了不少。教師在教學(xué)中，重視加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力的培養(yǎng)，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓他們自己去運(yùn)算，提高運(yùn)算能力。

分析能力就是對(duì)回答問(wèn)題的一種反應(yīng)，遇到某些條件，能有及時(shí)有效的反應(yīng)，這里面還要利用圖形分析問(wèn)題，因?yàn)閳D像比較直觀，便于觀察。一般的，在理解題目后，把問(wèn)題畫在圖形上，利用圖形分析問(wèn)題，思考如何解決。例如第二題的第一個(gè)問(wèn)，證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程，經(jīng)過(guò)畫圖分析，可知點(diǎn)E的軌跡是一個(gè)橢圓，同時(shí)要留意題中的點(diǎn)“直線l過(guò)點(diǎn)B （1，0）且與x軸不重合”，即要去掉橢圓上與x軸相交的點(diǎn)。對(duì)其他有關(guān)直線問(wèn)題，也都要留意斜率存在和不存在的兩種不同情形，這些都需要教師在日常教學(xué)中，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)會(huì)、掌握和總結(jié)歸納。

學(xué)生解題能力是在學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)不斷地分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化分解問(wèn)題，通過(guò)不斷的聽(tīng)懂、反思、感悟、領(lǐng)會(huì)、內(nèi)化、遷移等過(guò)程中提高的，所以教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生尋找問(wèn)題的切入點(diǎn)，轉(zhuǎn)化的有效點(diǎn)，運(yùn)算方法的優(yōu)劣，讓學(xué)生體會(huì)到困惑、反思、理解、內(nèi)化等過(guò)程。

[1]秦月花.例談平面幾何分析法在圓錐曲線問(wèn)題解答中的運(yùn)用［J］.教育觀察，2016，（20）：90－91.

[2]李秀蓮.論高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效策略選擇——以2013年高考數(shù)學(xué)山東卷為例［J］.當(dāng)代教育科學(xué).2013，（22）：46－47.