傳遞函數(shù)的能控和能觀測標準型實現(xiàn)方法

王春俠

(陜西理工大學 電氣工程學院， 陜西 漢中 723001)

0　引言

單輸入單輸出線性定常連續(xù)n階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

(1)

相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(2)

由式(1)或者式(2)建立如下式(3)的狀態(tài)空間表達式，稱為系統(tǒng)的實現(xiàn)問題。

(3)

為了分析和設(shè)計方便，通常規(guī)定狀態(tài)空間表達式有能控標準型(標準Ⅰ型和標準Ⅱ型)、能觀測標準型(標準Ⅰ型和標準Ⅱ型)和約當標準型這三類標準型式。

許多教科書介紹了能控標準Ⅰ型和Ⅱ型、能觀測標準型Ⅰ型和Ⅱ型等四種實現(xiàn)，但大部分教科書對于這四種實現(xiàn)的狀態(tài)變量如何選取未做出比較全面、簡潔的解釋，這給讀者理解與學習這四種實現(xiàn)帶來了一定的困難[1-5]。

本文給出由傳遞函數(shù)或者高階微分方程建立能控標準型和能觀測標準型的兩種方法，即基于微分方程的時域法和基于梅森公式的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法。下面以三階系統(tǒng)為例，詳細介紹這兩種方法，其結(jié)論可以推廣到n階系統(tǒng)。

三階系統(tǒng)微分方程的一般形式為

(4)

相應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(5)

其中

β2=b2-a2b3

β1=b1-a1b3

β0=b0-a0b3

1　時域法

1.1　能控標準Ⅰ型實現(xiàn)

對式(5)，引入中間變量q，令

(6)

式(5)變形為

(7)

式(6)進行拉氏反變換得

(8)

對式(8)，選擇狀態(tài)變量

x1=q

(9)

(10)

(11)

由式(9)～(11)、式(8)和式(7)，得能控標準Ⅰ型為

y=β0β1β2X+b3u

(12)

1.2　能觀測標準Ⅰ型實現(xiàn)

對式(4)，選擇狀態(tài)變量

x1=y-k3u

(13)

(14)

(15)

由式(13)～(15)，得

(16)

(17)

并令

(18)

由式(16)～(18)和式(13)，得能觀測標準Ⅰ型為

y=100X+k3u

(19)

其中

k3=b3

k2=b2-a2k3

k1=b1-a1k3-a2k3

k0=b0-a0k3-a1k2-a2k1

1.3　能控標準Ⅱ型實現(xiàn)

對式(8)，選擇狀態(tài)變量

x3=q

(20)

(21)

(22)

由式(20)～(22)和式(8)，得

(23)

(24)

(25)

由式(23)～(25)和式(7)，得能控標準Ⅱ型為

y=k2k1k0X+b3u

(26)

其中

k2=β2

k1=β1-a2k2

k0=β0-a1k2-a2k1

1.4　能觀測標準Ⅱ型實現(xiàn)

對式(5)，引入中間變量z，令

(27)

式(5)變形為

y=b3u+z

(28)

式(27)進行拉氏反變換得

(29)

對式(29)，選擇狀態(tài)變量

x3=z

(30)

(31)

(32)

由式(30)～(32)和式(29)，得

(33)

(34)

(35)

由式(33)～(35)和式(28)，得能觀測標準Ⅱ型為

y=001X+b3u

(36)

由式(12)、式(19)、式(26)和 式(36)可見，標準Ⅰ型的系統(tǒng)矩陣是底伴隨矩陣，標準Ⅱ型的系統(tǒng)矩陣是右伴隨矩陣。能控標準Ⅰ型與能觀測標準Ⅱ型對偶，能觀測標準Ⅰ型與能控標準Ⅱ型對偶。

2　基于梅森公式的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法

控制工程中，根據(jù)線性定常系統(tǒng)的信號流圖，可以用梅森公式

(37)

求出傳遞函數(shù)。

式(37)中，P是從自變量到因變量的傳遞函數(shù)；Δ=1-ΣLa+ΣLbLc-ΣLdLeLf+…是特征式，其中ΣLa為所有單回路增益之和，ΣLbLc為所有兩兩互不接觸回路的回路增益的乘積之和，ΣLdLeLf為所有三三互不接觸回路的回路增益的乘積之和，以此類推；j是從自變量到因變量的前向通道的條數(shù)；pk是從自變量到因變量的第k條前向通道增益；Δk是第k條前向通道的余因子式，它等于特征式△中除去與第k條前向通道接觸的回路增益項(包括回路增益的乘積項)以后的余項式。

反過來，根據(jù)梅森公式的拓撲結(jié)構(gòu)，可以畫出相應(yīng)的信號流圖來表示傳遞函數(shù)。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以看成是某些節(jié)點被選作狀態(tài)變量時的信號流圖。

基于梅森公式列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的主要步驟是：①根據(jù)傳遞函數(shù)構(gòu)造信號流圖。構(gòu)造原則是，首先根據(jù)傳遞函數(shù)的分母來構(gòu)造反饋回路，再根據(jù)傳遞函數(shù)的分子來構(gòu)造前向通道。②選擇那些輸入支路傳輸增益為s-1的節(jié)點變量作為狀態(tài)變量(這時的信號流圖即系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖)。③根據(jù)得到的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖，列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。

同一個傳遞函數(shù)，可以對應(yīng)多個不同的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖，因此，所選擇的狀態(tài)變量及所列寫的狀態(tài)空間表達式也將各不相同。

(38)

2.1　反饋回路的構(gòu)造

將式(38)的分母變形，即

1+a2s-1+a1s-2+a0s-3

=1+s-1[a2+s-1(a1+a0s-1)]

分別以a2，a1，a0為反饋增益，構(gòu)成三個相互接觸的負反饋回路。從內(nèi)至外的回路增益依次是L1=-a2s-1，L2=-a1s-2，L3=-a0s-3。

Δ=1-L1-L2-L3

(39)

2.2　△k=1(k=1、2、3)時前向通道的構(gòu)造

對式(38)的分子β2s-1+β1s-2+β0s-3，令

p1=β2s-1,p2=β1s-2,p3=β0s-3

(40)

對照式(37)，則

Δ1=Δ2=Δ3=1

(41)

由式(39)～(41)可得式(5)的兩個狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖1和圖2。按圖1選擇狀態(tài)變量，可得能控標準Ⅰ型狀態(tài)空間表達式，同式(12)。按圖2選擇狀態(tài)變量，可得能觀測標準Ⅱ型狀態(tài)空間表達式，同式(36)。

2.3　△k≠1(k=1、2)時前向通道的構(gòu)造

將式(38)的分子變形，即

β2s-1+β1s-2+β0s-3

=k2s-1·(1-L1-L2)+k1s-2·(1-L1)+k0s-3

其中，k2=β2，k1=β1-a2k2，k0=β0-a1k2-a2k1。令

p1=k2s-1，p2=k1s-2，p3=k0s-3

(42)

對照式(37)，則

圖1　能控標準Ⅰ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

圖2　能觀測標準Ⅱ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

圖3　能觀測標準Ⅰ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

圖4　能控標準Ⅱ型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

Δ1=1-L1-L2，Δ2=1-L1，Δ3=1

(43)

由式(39)、式(42)、(43)可得式(5)的兩個狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖，如圖3和圖4。按圖3選擇狀態(tài)變量，可得能觀測標準Ⅰ型狀態(tài)空間表達式，同式(19)。按圖4選擇狀態(tài)變量，可得能控標準Ⅱ型狀態(tài)空間表達式，同式(26)。

由圖1～4可看出，能控標準型和能觀測標準型的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖有以下特點：

(1)能控標準型的各狀態(tài)變量同輸入變量一起線性疊加構(gòu)成輸出變量，如圖1和圖4。能觀測標準型的輸入變量疊加到各狀態(tài)變量的微分端和系統(tǒng)的輸出端，如圖2和圖3。

(2)標準Ⅰ型的各狀態(tài)變量均反饋到最左邊狀態(tài)變量的微分端，且最內(nèi)環(huán)L1在最左邊，如圖1和圖3。標準Ⅱ型的最右邊的狀態(tài)變量分別反饋到各狀態(tài)變量的微分端，且最內(nèi)環(huán)L1在最右邊，如圖2和圖4。

可見，使用狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法，狀態(tài)變量的選擇及狀態(tài)空間表達式的列寫會方便和直觀得多，無需死記某些組合的關(guān)系式。

3　結(jié)語

時域法與狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖法的本質(zhì)是相同的，但后者巧妙地利用傳遞函數(shù)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖不唯一這一性質(zhì)，把四種實現(xiàn)型式統(tǒng)一成兩種前向通道的選擇，化繁為簡，更易于掌握。

參考文獻：

[1]周鳳岐，周軍，郭建國.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2011年.

[2]賀良華.現(xiàn)代控制理論及應(yīng)用[M].武漢：中國地質(zhì)大學出版社，2013年.

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[4]王劃一.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2004年.

[5]曲延濱，王新生.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2005年.