桶形基礎(chǔ)水平承載力極限平衡計(jì)算公式的理論推導(dǎo)

王 蕾，金書(shū)成

（1.江門(mén)市啟智學(xué)校，廣東 江門(mén) 529000；（2.長(zhǎng)大橋梁建設(shè)施工技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430040）

0 引 言

桶形基礎(chǔ)水平極限承載力平衡解法的思路是，根據(jù)地基破壞形式，假定土體反力分布，而后根據(jù)力的平衡建立反力與荷載間關(guān)系。根據(jù)已有研究結(jié)果，桶形基礎(chǔ)破壞模式與尺寸、荷載形式及土體性質(zhì)有關(guān)[1-2]。Murff等和Aubeny等將桶周土體分成多個(gè)區(qū)域，桶形基礎(chǔ)土體的變形機(jī)理如圖1所示[3-4]。本文以桶形基礎(chǔ)土體的變形機(jī)理為參考，選取單桶砂土基礎(chǔ)為研究對(duì)象，根據(jù)數(shù)值模擬和物模試驗(yàn)建立土體水平荷載的極限平衡受力狀態(tài)，推導(dǎo)不同區(qū)域的土體抗力，并根據(jù)極限平衡法獲得單桶基礎(chǔ)水平承載力計(jì)算公式。

圖1 桶形基礎(chǔ)土體的變形機(jī)理

1 受力模型

桶形基礎(chǔ)水平承載力的極限平衡解法最重要的是進(jìn)行破壞模式的合理假定，本文結(jié)合相關(guān)研究成果[5-6]對(duì)計(jì)算模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。當(dāng)長(zhǎng)徑比L/D＜2.0時(shí)，桶形基礎(chǔ)在水平荷載下圍繞其軸線(xiàn)上的桶底中心發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，選擇圖2a的計(jì)算模型；當(dāng)長(zhǎng)徑比L/D≥2.0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心位置位于桶體軸線(xiàn)0.8L處，選擇圖2b的計(jì)算模型。其中，z0為轉(zhuǎn)動(dòng)中心深度，P為水平荷載。

2 公式推導(dǎo)

極限平衡法成立的條件以合理的假定為前提，本文計(jì)算公式推導(dǎo)基于三維極限平衡法的基本假定。

2.1 當(dāng)長(zhǎng)徑比L/D＜2.0時(shí)

2.1.1 計(jì)算假設(shè)。

（1）在XOZ平面內(nèi)θ=0處，桶前徑向水平抗力沿桶高呈拋物線(xiàn)形分布（見(jiàn)圖2a），其形式為：

其中，kh為水平向地基系數(shù)，根據(jù)“m”法求得，即kh=mz；ω為桶體在水平荷載作用下的轉(zhuǎn)動(dòng)角。

（2）在XOY平面內(nèi)，土體的徑向水平抗力沿桶周呈三角函數(shù)分布，其形式為：

則土體的徑向水平抗力沿x軸方向的分量為：

將（3）式代入（1）式，可得土體x軸方向水平抗力為：

（3）桶后主動(dòng)區(qū)土體水平抗力為：

其中，ka為郎肯主動(dòng)土壓力系數(shù)，γ｀為土體飽和重度。

2.1.2 公式推導(dǎo)。基于以上計(jì)算假定，進(jìn)行公式推導(dǎo)。

（1）水平土壓力合力。桶前外壁的水平土壓力合力為：

同理，桶后外壁的水平土壓力合力為：

其中，S1和S2分別為桶體前側(cè)和后側(cè)的徑向土壓力作用面積，R為桶體半徑。

（2）前側(cè)外桶壁摩擦力合力為：

（3）后側(cè)外桶壁摩擦力合力為：

（4）基底表面豎向土體抗力合力為：

其中S3為桶體基底面積。

（5）水平極限承載力P對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（6）水平土壓力合力N1對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（7）水平土壓力合力N2對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（9）基底表面豎向土體抗力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（10）基底表面摩擦力合力為：

根據(jù)以上推導(dǎo)，由水平力平衡得：

由豎向力平衡得：

其中N3為基底表面豎向土體抗力合力。

由轉(zhuǎn)動(dòng)中心彎矩平衡得：

聯(lián)立（17）、 （18）、 （19）三式可得長(zhǎng)徑比L/D＜2.0時(shí)的桶形基礎(chǔ)水平極限承載力為：

2.2 當(dāng)長(zhǎng)徑比L/D≥2.0時(shí)

2.2.1 計(jì)算假設(shè)。

（1）在XOZ平面內(nèi)θ=0處，桶前徑向水平抗力沿桶高在轉(zhuǎn)動(dòng)軸以上呈拋物線(xiàn)形分布（線(xiàn)性分布） （見(jiàn)圖2b），其形式為：

And his mother fell across the edge of the brick bed,sobbing and cursing.

其中k0為土靜止側(cè)壓力系數(shù)。

在XOY平面內(nèi)，土體的徑向水平抗力沿桶周呈三角函數(shù)分布，其形式為：

則土體的徑向水平抗力沿x軸方向的分量為：

將（23）式代入（21）式，可得土體x軸方向水平抗力為：

（2）桶后主動(dòng)區(qū)土體水平抗力為：

可得土體x軸方向水平抗力為：

2.2.2 公式推導(dǎo)?；谝陨嫌?jì)算假設(shè)，進(jìn)行公式推導(dǎo)。

（1）水平土壓力合力。轉(zhuǎn)動(dòng)中心以上桶前外壁水平土壓力合力為：

轉(zhuǎn)動(dòng)中心以下桶前外壁水平土壓力合力為：

其中，S11為轉(zhuǎn)動(dòng)中心以上前側(cè)徑向土壓力作用面積，S12為轉(zhuǎn)動(dòng)中心以下前側(cè)徑向土壓力作用面積，R為桶體半徑。

同理，轉(zhuǎn)動(dòng)中心以上桶后外壁水平土壓力合力為：

轉(zhuǎn)動(dòng)中心以下桶后外壁水平土壓力合力為：

其中，S21為轉(zhuǎn)動(dòng)中心以上前側(cè)徑向土壓力作用面積，S22為轉(zhuǎn)動(dòng)中心以下前側(cè)徑向土壓力作用面積。R為桶體半徑。

（2）前側(cè)外桶壁摩擦力合力為：

（3）后側(cè)外桶壁摩擦力合力為：

（4）基底表面豎向土體抗力合力為：

（5）水平極限承載力P對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（6）水平土壓力被動(dòng)區(qū)合力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（7）水平土壓力主動(dòng)區(qū)合力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（8）外桶壁摩擦力合力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（9）基底表面摩擦力合力Tb對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

（10）基底表面豎向土體抗力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的彎矩為：

根據(jù)以上推導(dǎo)，由水平力平衡得：

由豎向力平衡得：

由轉(zhuǎn)動(dòng)中心彎矩平衡得：

聯(lián)立（43）、 （44）、 （45）式可得長(zhǎng)徑比L/D≥2.0時(shí)桶形基礎(chǔ)水平極限承載力為：

3 結(jié) 語(yǔ)

將本文推導(dǎo)的計(jì)算公式與現(xiàn)有經(jīng)典實(shí)驗(yàn)和計(jì)算方法進(jìn)行比較，取文獻(xiàn)[7]所述實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛯?shí)驗(yàn)結(jié)果作為參照，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 桶形基礎(chǔ)水平承載力比較結(jié)果

由表1可知，本文推導(dǎo)的計(jì)算公式與文獻(xiàn)[10]的計(jì)算結(jié)果接近，相較于試驗(yàn)值也滿(mǎn)足工程精度要求。與現(xiàn)有研究和計(jì)算方法相比，本文推導(dǎo)的計(jì)算公式考慮了桶形基礎(chǔ)的轉(zhuǎn)動(dòng)中心位置隨長(zhǎng)徑比L/D的變化，以及土體剪切作用和基底摩擦力對(duì)桶形基礎(chǔ)水平承載力的影響，根據(jù)單桶基礎(chǔ)破壞模式，利用三維極限平衡法推導(dǎo)出軟土桶形基礎(chǔ)水平承載力的計(jì)算公式。所采用的方法考慮影響因素全面，適合工程應(yīng)用，可為指導(dǎo)實(shí)踐提供一定的理論參考，所推導(dǎo)的計(jì)算公式精度高，適用于工程驗(yàn)算。

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