壓電柔性臂的ARMAX模型辨識(shí)降階及最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制

婁軍強(qiáng)　周優(yōu)鵬　廖江江　李國平　魏燕定

摘要：研究了壓電柔性臂的系統(tǒng)模型辨識(shí)和振動(dòng)主動(dòng)抑制問題。基于自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMAX，Auto-Re-gressive Moving Average Exogenous）確立了系統(tǒng)辨識(shí)模型，且其辨識(shí)精度高達(dá)97.9%，并采用平衡降階法對(duì)高階的辨識(shí)模型進(jìn)行降階，得到低階模型，通過多頻激勵(lì)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了降階模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)具有較高的吻合度。針對(duì)柔性臂的振動(dòng)控制，提出了一種基于線性二次型（Linear Quadratic，LQ）最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制法，從求逆的角度，通過移動(dòng)系統(tǒng)極點(diǎn)來確定LQ的最優(yōu)狀態(tài)加權(quán)矩陣Q，該方法簡(jiǎn)單有效地解決了狀態(tài)加權(quán)矩陣Q和輸入加權(quán)矩陣R的選擇問題，具有明顯的物理工程意義。試驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了ARMAX模型對(duì)于壓電柔性臂系統(tǒng)模型辨識(shí)的適用性及平衡降階方法對(duì)模型降階的可行性，并驗(yàn)證了線性二次型最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)策略對(duì)柔性臂振動(dòng)控制的有效性。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)控制；系統(tǒng)辨識(shí)；壓電柔性臂；最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制；平衡降階；

中圖分類號(hào)：TB535；TP24 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0132-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.016

引言

隨著空間技術(shù)的發(fā)展和制造業(yè)對(duì)輕質(zhì)高速機(jī)構(gòu)的要求不斷提高，具有質(zhì)量輕、能耗低及移動(dòng)靈活方便等優(yōu)點(diǎn)的柔性機(jī)械臂被應(yīng)用到諸多領(lǐng)域。但是在外界干擾下，柔性臂極易引起持續(xù)的彈性振動(dòng)，這嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的定位精度和穩(wěn)定性。近年來，以壓電材料為代表的智能材料具有易與柔性結(jié)構(gòu)集成為一體的優(yōu)勢(shì)，常用于柔性臂的振動(dòng)主動(dòng)控制研究中。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模和控制算法設(shè)計(jì)是壓電柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)中的兩個(gè)基本問題，引起了國內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注。

建立精確的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型是設(shè)計(jì)高效控制算法的前提?；趯?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)辨識(shí)法可以避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算和理想化的假設(shè)，并很好地詮釋系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，是一種精度更高、效果更好的建模方法。自回歸滑動(dòng)平均模型由于考慮了噪聲和隨機(jī)干擾信號(hào)的影響，更符合實(shí)際工作環(huán)境，因而被許多研究者采用。Moore等對(duì)ARMAx模型作了理論上的闡述，并通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性。Bu等通過ARMAx模型與ARx模型在柔性臂模型辨識(shí)中的對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了ARMAx模型的有效性。一般而言，ARMAx模型的辨識(shí)精度與其辨識(shí)階數(shù)成正比，Afshari等通過試驗(yàn)激起了柔性臂的前三階振動(dòng)模態(tài)，采用ARMAx模型辨識(shí)，但是模型階數(shù)卻高達(dá)20階。顯然模型階數(shù)的提高必然會(huì)增加系統(tǒng)模型的復(fù)雜度，甚至引入不穩(wěn)定極點(diǎn)。而在實(shí)際柔性結(jié)構(gòu)模型的實(shí)驗(yàn)辨識(shí)中，往往由于噪聲干擾及高頻模態(tài)的存在使得系統(tǒng)模型階數(shù)較高，系統(tǒng)復(fù)雜化。故在辨識(shí)模型與柔性結(jié)構(gòu)主模態(tài)一致的情況下，如何找到一個(gè)低階系統(tǒng)使之與辨識(shí)系統(tǒng)具有幾乎一致的頻率響應(yīng)特性，從而在保證模型精度的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)降階仍有許多問題需要深入研究。

為了實(shí)現(xiàn)柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)的有效控制，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多種控制方法，如PID控制、獨(dú)立模態(tài)控制和速度反饋控制等經(jīng)典控制方法；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制及最優(yōu)控制等現(xiàn)代控制方法。在眾多的控制方法中，線性二次調(diào)節(jié)器（Linear Quadrat-ic Regulator，LQR）具有形式簡(jiǎn)單、易于工程實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，且擁有優(yōu)于經(jīng)典控制、不輸于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能控制方法的控制效果。LQR通過配置權(quán)重系數(shù)兼顧了柔性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)與致動(dòng)器控制輸出兩方面的需求，是當(dāng)前權(quán)重考慮下的最優(yōu)控制。顯然權(quán)重系數(shù)的選擇對(duì)于LQR控制效果的影響很大，但是目前關(guān)于權(quán)重系數(shù)的選取上并沒有具體的操作準(zhǔn)則，具有很大的隨意性。如果能夠結(jié)合柔性結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)，提出一種物理意義明確、簡(jiǎn)單有效的權(quán)重系數(shù)配置準(zhǔn)則，勢(shì)必可以取得更好的控制效果。

本文針對(duì)柔性臂的振動(dòng)主動(dòng)控制問題，首先介紹了壓電柔性臂實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)原理。然后基于外源自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMAX），通過數(shù)據(jù)采集板卡采集到柔性臂在掃頻激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)，辨識(shí)得到系統(tǒng)的模型參數(shù)。對(duì)辨識(shí)模型采用平衡截?cái)嗟慕惦A方法進(jìn)行了降階處理，建立了系統(tǒng)的降階模型，并驗(yàn)證了降階方法的正確性。最后采用LQ最優(yōu)控制法，從求逆的角度，提出一種極點(diǎn)移動(dòng)法來確定最優(yōu)狀態(tài)變量加權(quán)矩陣，最終求得最優(yōu)反饋增益矩陣K，通過仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證了控制策略的有效性。

1系統(tǒng)描述

本文所涉及的壓電柔性臂系統(tǒng)如圖1所示。柔性臂為懸臂形式。在柔性臂的根部兩側(cè)面對(duì)稱地貼有一組全橋連接的應(yīng)變片傳感器；兩片壓電致動(dòng)器以并聯(lián)的形式對(duì)稱粘貼于柔性機(jī)械臂的兩側(cè)面用于激勵(lì)或抑制柔性臂的彈性振動(dòng)；安裝在應(yīng)變片和壓電致動(dòng)器之間的激振器主要是為系統(tǒng)提供一組隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)。

振動(dòng)測(cè)試過程中，由應(yīng)變傳感器檢測(cè)柔性機(jī)械臂的振動(dòng)信號(hào)，并通過全橋電路將應(yīng)變信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?hào)，并經(jīng)低通濾波器處理后，由動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀（型號(hào)：AFT-095，放大增益5000）調(diào)理為可測(cè)電壓信號(hào)，最后通過多功能多通道數(shù)據(jù)采集板卡（型號(hào)：NIPCI-6221（37pin））的A/D模塊傳送至計(jì)算機(jī)上。壓電致動(dòng)器的控制電壓信號(hào)通過多功能多通道數(shù)據(jù)采集板卡的D/A模塊輸出，經(jīng)壓電驅(qū)動(dòng)電源（型號(hào)：HPV-IC0150A0300D，放大增益15）放大后，施加于壓電致動(dòng)器上。激振器電壓控制信號(hào)也是由多功能多通道數(shù)據(jù)采集板卡的D/A模塊輸出，經(jīng)功率放大器放大作用于激振器。整個(gè)測(cè)試過程都是基于NI—LABVIEW數(shù)據(jù)采集平臺(tái)，其實(shí)物裝置系統(tǒng)如圖2所示。

2系統(tǒng)模型辨識(shí)

系統(tǒng)模型辨識(shí)主要分為三個(gè)階段：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采集、系統(tǒng)模型選擇和模型參數(shù)辨識(shí)。其中系統(tǒng)模型選擇是系統(tǒng)模型辨識(shí)中的關(guān)鍵一步，直接關(guān)系到系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性?？紤]到現(xiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)環(huán)境中噪聲及外界隨機(jī)干擾的存在，引用一種時(shí)序模型：外源自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMAX），從統(tǒng)計(jì)角度來揭示各時(shí)序內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)關(guān)系和各時(shí)序之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。其數(shù)學(xué)模型如下

柔性臂和壓電致動(dòng)器的基本參數(shù)如表1所示?？紤]到主階模態(tài)的主導(dǎo)作用，本文僅截取柔性臂的一階模態(tài)進(jìn)行辨識(shí)研究。在本實(shí)驗(yàn)中，采用一幅值為3V，頻率范圍為0～5Hz的正弦掃頻信號(hào)，掃頻時(shí)間為10s，其采樣頻率為200Hz。借助MAT-LAB系統(tǒng)辨識(shí)工具箱對(duì)輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行ARMAX辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如圖3所示。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：ARMAX模型與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高度吻合，時(shí)域和頻域曲線均反映了辨識(shí)模型的準(zhǔn)確性，其匹配度高達(dá)97.92%，充分體現(xiàn)了ARMAX模型對(duì)于柔性臂系統(tǒng)的適用性。從系統(tǒng)的實(shí)測(cè)開環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)曲線圖3（b）可以清晰地看出柔性臂的一階固有頻率為1.44Hz（9.1rad/s），在掃頻范圍內(nèi)一階固有頻率占主導(dǎo)地位。通過模型參數(shù)辨識(shí)得到關(guān)于壓電柔性臂系統(tǒng)的8階AR-MAX函數(shù)模型，各項(xiàng)參數(shù)如表2所示。

3系統(tǒng)模型降階

通過實(shí)驗(yàn)辨識(shí)，目前得到的模型雖然精度較高，但是階次偏高，不便于控制器的設(shè)計(jì)；對(duì)于一個(gè)能控、能觀、漸近穩(wěn)定的定常系統(tǒng)，可以通過奇異值的大小來反映系統(tǒng)狀態(tài)的綜合可控可觀性能：大的奇異值對(duì)應(yīng)狀態(tài)的可控可觀性都很強(qiáng)，對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出影響大；小的奇異值對(duì)應(yīng)狀態(tài)的可控可觀性都弱，對(duì)系統(tǒng)的輸入輸出特性影響小，以此截去小的奇異值所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量達(dá)到系統(tǒng)降階的目的。本文采用平衡截?cái)嘟惦A法進(jìn)行系統(tǒng)模型降階。

以加載到壓電致動(dòng)器上的電壓u（t）為輸入變量，以傳感器檢測(cè)到的應(yīng)變電壓y（t）為輸出變量，從能觀的角度來定義系統(tǒng)狀態(tài)方程，構(gòu)造狀態(tài)變量如下：

結(jié)合式（2）所對(duì)應(yīng)的差分方程則可得能觀下的狀態(tài)方程：

其具體參數(shù)如表3所示。

為確認(rèn)降階模型與辨識(shí)模型以及實(shí)際系統(tǒng)之間的吻合程度，圖4（a）給出了辨識(shí)模型與降階模型的時(shí)域輸出信號(hào)，同時(shí)也給出了各模型所對(duì)應(yīng)的開環(huán)頻率響應(yīng)函數(shù)曲線如圖4（b），并與實(shí)測(cè)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。從時(shí)域輸出曲線及頻響函數(shù)曲線對(duì)比結(jié)果可看出：系統(tǒng)降階模型與系統(tǒng)實(shí)際響應(yīng)具有較高的吻合程度，高達(dá)85.87%，其對(duì)應(yīng)的Bode圖如圖5所示，降階前后兩個(gè)模型在其模態(tài)頻率處是一致的，突出了平衡截?cái)嘟惦A方法抓住了系統(tǒng)的主階模態(tài)頻率，體現(xiàn)平衡降階方法對(duì)辨識(shí)系統(tǒng)模型降階的有效性。

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)系統(tǒng)降階模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)的吻合程度，圖6給出了辨識(shí)模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)在一幅值為2V包含1，1.5及3Hz的正弦多頻激勵(lì)信號(hào)式（10）下的輸出比對(duì)結(jié)果。圖6（b）為多頻驗(yàn)證信號(hào)激勵(lì)下的辨識(shí)模型、降階模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果對(duì)比。

表4給出了在掃頻和驗(yàn)證兩種實(shí)驗(yàn)情況下模型吻合度值。圖4～6以及表4結(jié)果均表明：平衡降階方法所得低階模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)輸出具有很高的吻合度，圖6更一般性地說明了在多頻信號(hào)激勵(lì)下，降階模型在保持系統(tǒng)一階共振頻率不變的情況下，其匹配度較掃頻實(shí)驗(yàn)有了較高的提升，說明了主階模態(tài)在振動(dòng)中的主導(dǎo)作用，也體現(xiàn)了平衡降階法對(duì)系統(tǒng)降階的有效性及可行性。

4控制算法設(shè)計(jì)

針對(duì)柔性臂的低阻尼特性，其振動(dòng)衰減將會(huì)持續(xù)很長時(shí)間，為加快衰減時(shí)間，在振動(dòng)主動(dòng)控制過程中，通常引入閉環(huán)控制環(huán)節(jié)來增大系統(tǒng)的阻尼，達(dá)到快速抑制振動(dòng)的目的。為達(dá)到最優(yōu)控制效果，往往在給定的初始條件下尋找一種控制規(guī)律，使得系統(tǒng)在規(guī)定的性能指標(biāo)下具有最優(yōu)值。線性二次型最優(yōu)控制就是一種從狀態(tài)量偏移平衡位置的大小及對(duì)控制信號(hào)消耗的能量兩方面來權(quán)衡的最優(yōu)控制算法。

對(duì)于完全可控降階系統(tǒng)（8），線性二次型性能指標(biāo)定義為式中

Q=Q^T≥0為狀態(tài)變量加權(quán)矩陣，R=R^T>0為輸入變量的加權(quán)矩陣。

為使二次型性能指標(biāo)最小，選擇最優(yōu)控制輸入規(guī)律為

4.1加權(quán)矩陣Q，R的選取

在線性二次型最優(yōu)控制算法中，加權(quán)矩陣Q，R選取的合理性直接影響控制效果的好壞。在二次型性能指標(biāo)（11）中，第一項(xiàng)x^TQx主要反映系統(tǒng)響應(yīng)過程中偏離平衡位置的權(quán)重，第二項(xiàng)u^TRu反映控制過程中消耗的能量；為實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，確定二次型性能指標(biāo)達(dá)到極小值，對(duì)加權(quán)矩陣Q，R的選擇，實(shí)際也代表了對(duì)系統(tǒng)控制效果和能量消耗兩者折中選擇。而通常對(duì)控制輸入u的加權(quán)矩陣R取為單位矩陣I，最終只需調(diào)整狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣Q。

4.2加權(quán)矩陣Q的確定

從求逆的角度，通過移動(dòng)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部至期望位置，虛部保持不變的方法來確定加權(quán)矩陣Q。設(shè)系統(tǒng)（8）的一對(duì)共軛極點(diǎn)為：μ₀=η±jβ，期望極點(diǎn)為：σ₀=τ±jβ。對(duì)于任意的極點(diǎn)μ₀和σ₀。滿足最優(yōu)條件：|τ|>|η|時(shí)，可得

由于柔性臂系統(tǒng)（9）極點(diǎn)非?？拷撦S，也就是說，其開環(huán)阻尼效應(yīng)非常弱，導(dǎo)致柔性臂系統(tǒng)的彈性振動(dòng)要持續(xù)很長時(shí)間。為此，將極點(diǎn)的實(shí)部左移虛部保持不變，遠(yuǎn)離虛軸，以增大系統(tǒng)閉環(huán)阻尼，并通過二次型性能指標(biāo)來衡量極點(diǎn)移動(dòng)的距離。

通過以上二次型最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)法得到的反饋控制系數(shù)，圖7給出了在多頻信號(hào)（0.5和1.5Hz幅值為2V的正弦電壓）激勵(lì)停止后，利用壓電致動(dòng)器對(duì)柔性臂的振動(dòng)抑制的仿真過程。從應(yīng)變片傳感器檢測(cè)到的輸出電壓可以看出：在多頻信號(hào)5s激勵(lì)停止后，施加主動(dòng)控制，4s后柔性臂的振幅下降到±0.1V，此時(shí)默認(rèn)為振動(dòng)停止，與未加控制相比，大大縮短了柔性臂殘余振動(dòng)的衰減時(shí)間。

在相同的多頻信號(hào)（0.5和1.5Hz幅值為2V的正弦電壓）激勵(lì)下，圖8給出了控制前后柔性臂的振動(dòng)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)曲線。從圖8可以看出：在多頻信號(hào)激勵(lì)5s后，施加主動(dòng)控制，在控制后的5s柔性臂的振幅降低到0.1V，而不施加控制時(shí)，20s后還有近0.2V的振幅，其所對(duì)應(yīng)的頻域曲線也可以看出，在其共振頻率處，柔性臂振動(dòng)得到了很好地抑制，大大降低了柔性臂殘余振動(dòng)的衰減時(shí)間。但是與仿真結(jié)果相比，由于噪聲的干擾，其抑制衰減時(shí)間稍微長于仿真結(jié)果。

為了進(jìn)一步二次型最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制方法的有效性，利用電磁激振器的激勵(lì)作為外擾激起柔性臂的彈性振動(dòng)，其控制實(shí)驗(yàn)效果如圖9所示。從圖中可以看出：外界隨機(jī)激勵(lì)激起柔性臂的多頻振動(dòng)，在壓電致動(dòng)器的主動(dòng)控制下，5s后柔性臂的振幅抑制在±0.1V，殘余振動(dòng)基本得到控制，振動(dòng)衰減時(shí)間顯著縮短，而不施加控制時(shí)，24s后其殘余振動(dòng)才能基本停止；從圖9（b）可以看出，在外界隨機(jī)激勵(lì)下，柔性臂的前兩階共振頻率都得到了很好的抑制效果，反映該控制算法對(duì)主階模態(tài)的抑制作用，故提出的二次型最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制策略是有效的，提高了柔性臂末端的定位精度。

6結(jié)論

（1）從系統(tǒng)模型辨識(shí)的角度研究了壓電柔性臂系統(tǒng)模型的建立問題。采用ARMAx時(shí)間序列模型作為柔性機(jī)械臂系統(tǒng)參數(shù)模型，通過掃頻實(shí)驗(yàn)得到了系統(tǒng)的辨識(shí)模型且其與實(shí)際系統(tǒng)輸出具有較高的吻合度；在保持與原系統(tǒng)具有相同的動(dòng)力響應(yīng)特性下，采用平衡降階法對(duì)高階辨識(shí)模型進(jìn)行降階處理，得到了系統(tǒng)降階模型，并通過多頻實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了降階模型與實(shí)際系統(tǒng)具有較高吻合度，充分體現(xiàn)了平衡降階法的有效性。

（2）提出了一種線性二次型最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)控制法，該方法從求逆的角度出發(fā)，通過移動(dòng)系統(tǒng)極點(diǎn)來確定狀態(tài)變量加權(quán)矩陣Q，并通過多頻激勵(lì)和外界干擾激勵(lì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制算法的有效性。

（3）本文主要基于線性離散系統(tǒng)，介紹了單輸入單輸出ARMAx模型辨識(shí)及平衡降階方法，在振動(dòng)主動(dòng)控制上采用二次型最優(yōu)極點(diǎn)移動(dòng)法，均得到了較好的結(jié)果；針對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)，本文所介紹的方法也可以做進(jìn)一步的研究。