考慮CSI效應(yīng)的AMD控制系統(tǒng)構(gòu)建及其時(shí)變時(shí)滯補(bǔ)償

陳朝駿　李祚華　滕軍　幸厚冰

摘要：由于AMD控制系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)之間存在著相互作用CSI（control-structureinteraction），造成了以慣性質(zhì)量為支撐點(diǎn)向被控結(jié)構(gòu)施加的控制力不等于理論的最優(yōu)控制力，即施加的控制力將有所滯后。為此，針對(duì)AMD控制系統(tǒng)建立了不計(jì)CSI效應(yīng)、計(jì)低階CSI效應(yīng)和同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)的三種數(shù)學(xué)模型，經(jīng)分析表明了計(jì)低、高階CSI效應(yīng)對(duì)AMD控制系統(tǒng)的影響最大，進(jìn)而確定了由CSI效應(yīng)造成的時(shí)變時(shí)滯的范圍。針對(duì)某4層鋼框架實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，基于保性能算法設(shè)計(jì)了相應(yīng)的時(shí)變時(shí)滯補(bǔ)償控制器，以系統(tǒng)控制效果、AMD控制力及行程為指標(biāo)，對(duì)比了有無(wú)時(shí)滯的兩種控制系統(tǒng)的性能，結(jié)果表明在較大的時(shí)變時(shí)滯的影響下，此控制算法依舊具有良好的控制效果以及穩(wěn)定的控制參數(shù)。關(guān)鍵詞：振動(dòng)控制；高柔結(jié)構(gòu)；AMD控制系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)滯；保性能控制

中圖分類號(hào)：TU352.2；TU973.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2018）01-0020-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.003

引言

高柔結(jié)構(gòu)的主動(dòng)質(zhì)量阻尼器AMD（activemassdamper）具有控制效果好、控制頻帶寬等優(yōu)點(diǎn)，多用于控制該結(jié)構(gòu)水平方向的動(dòng)力響應(yīng)。由于AMD控制系統(tǒng)存在著時(shí)滯效應(yīng)，導(dǎo)致了系統(tǒng)性能的降低甚至失穩(wěn)，限制了AMD控制系統(tǒng)的發(fā)展以及運(yùn)用。

時(shí)滯主要來(lái)源于數(shù)據(jù)采集時(shí)滯、控制力計(jì)算時(shí)滯以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時(shí)滯等。其中，數(shù)據(jù)采集時(shí)滯較小，可不考慮其影響；對(duì)于控制力計(jì)算時(shí)滯，目前已有學(xué)者提出了考慮高階振型信息的低維控制器設(shè)計(jì)方法，該方法壓縮了計(jì)算量，降低了控制力計(jì)算時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響。實(shí)際AMD控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時(shí)滯主要受控制器與結(jié)構(gòu)間的相互作用CSI（control-structure interaction）的影響。在實(shí)際工程中，Stewart等對(duì)比分析了應(yīng)用于風(fēng)輪機(jī)的主動(dòng)控制系統(tǒng)中考慮與不考慮CSI效應(yīng)的影響，結(jié)果表明考慮CSI效應(yīng)的控制系統(tǒng)控制效果更好。執(zhí)行機(jī)構(gòu)的靈敏度在很大程度上取決于驅(qū)動(dòng)形式，本文所采用的電磁驅(qū)動(dòng)AMD系統(tǒng)是最為常見(jiàn)的一種控制方式。除此之外，目前有關(guān)控制系統(tǒng)CSI效應(yīng)影響側(cè)重于CSI效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響。但在實(shí)際工程中，反饋信號(hào)的輸入頻率將對(duì)CSI效應(yīng)造成影響，可通過(guò)分析尋求合適的控制電壓輸入頻率以減弱CSI效應(yīng)的影響。同時(shí)，由于該輸入頻率時(shí)刻在變化，該部分時(shí)滯是時(shí)變性也是不可忽略的。

由于時(shí)變時(shí)滯的影響，LQR控制器往往不能保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及期望性能。因此需要對(duì)系統(tǒng)的時(shí)滯進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償。實(shí)際中，Xu等針對(duì)不確定時(shí)滯系統(tǒng)提出了非脆弱魯棒H_∞控制器設(shè)計(jì)方法。H_∞控制主要考慮了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，犧牲了系統(tǒng)的性能，而保性能控制算法GCC（guaranteed cost control）是一種將系統(tǒng)性能和魯棒性相結(jié)合的LQR控制器設(shè)計(jì)方法。為了成功地將GCC算法運(yùn)用到高柔結(jié)構(gòu)中，在對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行保性能狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)之前，需要求解Riccati矩陣方程的正定解，早期主要基于Riccati方程的方法，但這種方法需人為事先確定某些待定參數(shù)，然而當(dāng)前依舊缺乏尋找這些參數(shù)的最優(yōu)值的方法，這類人為確定參數(shù)的方法給控制系統(tǒng)帶來(lái)了很大的保守性，并且求解Riccati方程的方法多為迭代方法，其收斂性不能得到保證，而線性矩陣不等式LMI（Linear matrix inequality）方法可以克服求解Riccati方程困難的問(wèn)題。因此，針對(duì)CSI效應(yīng)產(chǎn)生的時(shí)變時(shí)滯，研究基于LMI的保性能狀態(tài)反饋時(shí)變時(shí)滯補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)方法更有實(shí)際意義。

綜上分析，本文先以4層鋼框架結(jié)構(gòu)為分析對(duì)象，建立了該結(jié)構(gòu)AMD系統(tǒng)的不計(jì)CSI效應(yīng)、計(jì)低階CSI效應(yīng)和同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)時(shí)的數(shù)學(xué)模型，分析了控制電壓輸入頻率對(duì)CSI效應(yīng)的影響。再針對(duì)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)，提出了保性能時(shí)滯補(bǔ)償控制增益的設(shè)計(jì)方法，將該系統(tǒng)的增益求解問(wèn)題表示為非線性矩陣不等式組，并通過(guò)變量替換法轉(zhuǎn)化為易求解的線性矩陣不等式組，再由LMI工具箱求解出最優(yōu)解。最后通過(guò)與無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了保性能時(shí)滯補(bǔ)償增益的有效性。

1考慮CSI的AMD控制系統(tǒng)

AMD控制系統(tǒng)的流程可由圖1簡(jiǎn)單描述。圖中，v為控制電壓（或電流）信號(hào)，u為控制力，w為外激勵(lì)荷載，H_uv為伺服電機(jī)控制電壓（或電流）到控制力的傳遞函數(shù)，H_yu為控制力到被控結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傳遞函數(shù)，H_vy為反饋狀態(tài)到控制電壓（或電流）的傳遞函數(shù)?？刂破髋c結(jié)構(gòu)間的相互作用是指AMD控制系統(tǒng)中控制器與結(jié)構(gòu)間的相互動(dòng)力影響即CSI效應(yīng)，如圖1中虛線框表示。

若考慮外激勵(lì)作用，控制系統(tǒng)的力平衡方程為

將控制力與外激勵(lì)分開考慮，式（1）可寫成狀態(tài)方程為

目前以電磁驅(qū)動(dòng)的AMD系統(tǒng)應(yīng)用最為常見(jiàn)，驅(qū)動(dòng)形式在很大程度上決定了執(zhí)行機(jī)構(gòu)的靈敏度。若控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)反應(yīng)足夠靈敏，則可在該周期內(nèi)完成最優(yōu)控制力的施加，即系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)時(shí)滯較小。然而在實(shí)際工程中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)響應(yīng)滯后致使最優(yōu)控制力施加滯后，可見(jiàn)CSI效應(yīng)其實(shí)是表現(xiàn)為控制系統(tǒng)的控制時(shí)滯。

以常用于土木結(jié)構(gòu)控制領(lǐng)域中的永磁直流（DC）旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)為例，如圖2所示。該類型電機(jī)的具體參數(shù)參考了文獻(xiàn)，對(duì)應(yīng)的輸入輸出關(guān)系可由下式表示

系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力為

從式（6）可看出，控制力受到了結(jié)構(gòu)頂層相對(duì)速度的影響，說(shuō)明由于CSI的影響，使得結(jié)構(gòu)與AMD控制系統(tǒng)的性能是結(jié)合在一起的。而且，式（6）還包含了控制力的高階項(xiàng)。因此根據(jù)不同精度解的要求，以某一單自由度AMD控制系統(tǒng)為例，其參數(shù)如表1所示，針對(duì)上述伺服電機(jī)參數(shù)建立了該系統(tǒng)不計(jì)CSI效應(yīng)、計(jì)低階CSI效應(yīng)和同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)三類不同情況的數(shù)學(xué)模型，如圖3所示。當(dāng)不考慮CSI效應(yīng)，系統(tǒng)的控制力與電壓間成線性關(guān)系，即僅考慮圖3中的（a）項(xiàng)，此時(shí)系統(tǒng)為理想系統(tǒng)；當(dāng)AMD控制系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)力變化率為零，即不考慮圖3中的（c）項(xiàng)時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)僅考慮了低階CSI效應(yīng)；當(dāng)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)力變化率不為零，即同時(shí)考慮圖3中的（a），（b）和（c）項(xiàng)，此時(shí)系統(tǒng)考慮了低、高階CSI效應(yīng)。

1.1不計(jì)CSI效應(yīng)

不計(jì)CSI效應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)的控制力與控制電壓間的關(guān)系為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

系統(tǒng)的輸出方程為

在Matlab軟件Simulink仿真工具箱的環(huán)境下，根據(jù)式（11）和（12），建立了不計(jì)CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。從式（12）可得，系統(tǒng)的輸出包括了位移、速度、加速度及控制力。此時(shí)，再利用命令“Bode”函數(shù)繪制出控制電壓到控制力的傳遞函數(shù)，其中輸入為控制電壓、輸出為控制力，其幅值及相角如圖4所示。司以看出：（1）傳遞函數(shù)的幅值為一常數(shù)，即輸出（控制力）與輸入（控制電壓）成線性關(guān)系；（2）傳遞函數(shù)的相角差恒為零，即控制力與控制電壓保持同相位，說(shuō)明此時(shí)控制電壓到控制力的轉(zhuǎn)化過(guò)程無(wú)時(shí)間滯后。

1.2計(jì)低階CSI效應(yīng)

僅考慮低階CSI效應(yīng)時(shí)，伺服電機(jī)的輸入輸出關(guān)系為

同理，根據(jù)式（14）和（15），建立了僅計(jì)低階CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。此時(shí)，其控制電壓到控制力的傳遞函數(shù)的幅值及相角如圖5所示?？梢钥闯觯海?）隨著控制電壓輸入頻率的增大，傳遞函數(shù)的幅值逐漸增大，而相角差逐漸增大（相角差為負(fù)值表明控制力滯后于控制電壓），最后均趨近于零，說(shuō)明輸入電壓到輸出控制力的轉(zhuǎn)換時(shí)滯隨控制電壓輸入頻率的增大而逐漸減小，而幅值逐漸增大；（2）計(jì)及低階CSI效應(yīng)時(shí)，控制力與控制電壓間的關(guān)系受控制電壓輸入頻率的影響，而不再保持線性關(guān)系。

1.3同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)

同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)的控制系統(tǒng)，伺服電機(jī)的輸入輸出關(guān)系為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

最后，根據(jù)式（17）和（18）建立了同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。此時(shí)，其控制電壓到控制力的傳遞函數(shù)的幅值及相角如圖6所示?？梢钥闯觯海?）隨著控制電壓輸入頻率的增大，傳遞函數(shù)的幅值和相角差均先增大后減?。唬?）當(dāng)控制電壓輸入頻率過(guò)大或過(guò)小時(shí)，其到控制力傳遞函數(shù)幅值及相角差較小，說(shuō)明此時(shí)單位控制電壓對(duì)應(yīng)的控制力較小，且時(shí)間滯后較大。

綜合圖4～6可知：（1）理想情況下AMD控制系統(tǒng)的輸入到輸出傳遞函數(shù)的幅值最大，即單位控制電壓產(chǎn)生的控制力最大，而相角差相比最小，即控制力滯后于控制電壓的時(shí)間最短。因此，不計(jì)CSI效應(yīng)的伺服電機(jī)性能相比最好，計(jì)及低階CSI效應(yīng)時(shí)次之，而計(jì)及高階CSI效應(yīng)時(shí)最差；（2）外激勵(lì)（包括控制力）的頻率過(guò)大或過(guò)小時(shí)，傳遞函數(shù)幅值及相角（負(fù)值）較小，則單位電壓產(chǎn)生的控制力較小，且控制力滯后于控制電壓的時(shí)間較長(zhǎng)，即控制系統(tǒng)的時(shí)滯較大；若適當(dāng)減?。ɑ蛟龃螅┛刂屏敵鲱l率使得其位于幅頻曲線和相頻曲線的峰值附近，則單位控制電壓可轉(zhuǎn)換成較大的控制力且控制系統(tǒng)附加時(shí)滯會(huì)較??；（3）外界激勵(lì)對(duì)AMD控制系統(tǒng)影響，也可歸結(jié)為對(duì)控制電壓到控制力傳遞函數(shù)的幅值（影響控制力大小，與控制增益對(duì)應(yīng)）或相角（影響控制力相位，與控制時(shí)滯對(duì)應(yīng)）的影響。因?yàn)锳MD控制系統(tǒng)持續(xù)對(duì)被控結(jié)構(gòu)施加控制力，系統(tǒng)受外界的影響可主要是對(duì)傳遞函數(shù)相角的影響。

2實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的時(shí)滯范圍確定

由圖4～6可知，當(dāng)控制力的頻率一定，則控制輸入到輸出的相角差一定，即控制輸出滯后于輸入的延時(shí)一定；而當(dāng)控制力（包括外激勵(lì)）的頻率時(shí)刻變化時(shí)，系統(tǒng)的時(shí)滯將時(shí)刻變化。以El Centro波（SN向）為例，其調(diào)幅后的時(shí)程曲線及其經(jīng)FFT變換之后的付氏譜特性曲線如圖7所示，此時(shí)地震波作用下不計(jì)CSI效應(yīng)、計(jì)低階CSI效應(yīng)和同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)的系統(tǒng)控制電壓與控制力歸一化后的對(duì)比情況如圖8所示?？芍?，在El Centro波作用下，不計(jì)CSI效應(yīng)及計(jì)低階CSI效應(yīng)時(shí)控制力與控制電壓基本同步，而同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)時(shí)系統(tǒng)控制力滯后于控制電壓較多，此種情況與實(shí)際工程最為接近，故實(shí)際中控制力滯后于控制電壓一個(gè)時(shí)變時(shí)滯。

上述伺服電機(jī)控制系統(tǒng)控制力滯后于控制電壓的時(shí)滯隨時(shí)間變化曲線及其變化率曲線如圖9所示?？梢钥闯觯海?）El Centro波作用下，上述伺服控制系統(tǒng)控制力滯后于控制電壓的時(shí)間變化較大，其最大時(shí)滯為0.11s；（2）地震作用結(jié)束后，控制力滯后于控制電壓的時(shí)間保持常數(shù)（0.11s）且達(dá)到最大。這是由于此時(shí)外激勵(lì)頻率（或反饋信號(hào)頻率，即控制電壓輸入頻率）為0，相角差最大，則控制系統(tǒng)的時(shí)滯最大。

3保性能時(shí)滯補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

3.1保性能時(shí)滯補(bǔ)償增益設(shè)計(jì)原理

由于頻率不一的外激勵(lì)作用下，同時(shí)計(jì)低、高階CSI效應(yīng)時(shí)伺服電機(jī)的輸入（控制電壓）到輸出（控制力）存在著較大的時(shí)變時(shí)滯。因此，進(jìn)行保性能時(shí)滯補(bǔ)償控制增益的設(shè)計(jì)尤為必要。

受時(shí)滯影響的系統(tǒng)控制力為（19）式中G為控制系統(tǒng)的保性能時(shí)滯補(bǔ)償增益，d（t）為控制系統(tǒng)的時(shí)滯。

將式（19）代入式（2），若不考慮外激勵(lì)作用，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

在外激勵(lì)及控制力作用下，考慮時(shí)滯影響的閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

（27）則系統(tǒng)（25）是漸近穩(wěn)定的。由式（27）可得

對(duì)式（29）兩邊進(jìn)行積分，可求得時(shí)滯閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足

3.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

針對(duì)文獻(xiàn)[8]所述的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，基于3.1節(jié)為理論基礎(chǔ)設(shè)計(jì)該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能時(shí)滯補(bǔ)償控制器，并通過(guò)延遲輸出控制力引人大小為0～0.5s的隨機(jī)時(shí)滯。本文重點(diǎn)關(guān)注AMD裝置所在結(jié)構(gòu)樓層（第4層）的控制效果以及AMD行程的大小。為了能夠選取到合適的權(quán)系數(shù)，本文先設(shè)計(jì)了該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的LQR經(jīng)典最優(yōu)控制器，再通過(guò)對(duì)該結(jié)構(gòu)各樓層的控制效果以及AMD控制參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析，最終確定了權(quán)矩陣中第4層位移項(xiàng)、AMD慣性質(zhì)量塊位移項(xiàng)以及經(jīng)濟(jì)指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)Q₄，Q₅和R的取值，分別為6×10⁵，3×10²和1×10^-3，其余各層的加權(quán)系數(shù)均設(shè)為零。在加載頻率為1Hz，峰值為45.89N的正弦激勵(lì)荷載作用下，無(wú)控、無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)和有時(shí)滯且Gcc補(bǔ)償系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)第4層位移、加速度響應(yīng)對(duì)比情況如圖10，11所示，對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)、控制效果以及AMD性能指標(biāo)如表2所示。表2中的每一工況的實(shí)驗(yàn)取時(shí)為300s，圖10，11中都僅給出時(shí)間為30s的數(shù)據(jù)。

從圖10，11及表2可以看出：（1）當(dāng)不考慮時(shí)滯效應(yīng)時(shí)，本文設(shè)計(jì)的最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能控制器能有效地控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)；（2）當(dāng)考慮時(shí)滯效應(yīng)時(shí)，該控制器還可對(duì)時(shí)變時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償，保性能控制器依然有效，結(jié)構(gòu)位移、加速度控制效果較無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)而言，分別僅變化了4.15%，-5.58%；因此，運(yùn)用保性能控制方法對(duì)AMD控制系統(tǒng)中含有較大時(shí)變時(shí)滯的工況時(shí)，依然能夠?qū)⒔Y(jié)構(gòu)響應(yīng)控制在較理想的范圍內(nèi)。

4結(jié)論

本文基于伺服電機(jī)輸入輸出關(guān)系建立了4層鋼框架AMD控制系統(tǒng)3種不同類型的CSI效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，明確了CSI效應(yīng)對(duì)控制系統(tǒng)的影響主要表現(xiàn)為造成了系統(tǒng)時(shí)滯的時(shí)變性，進(jìn)而分析了該時(shí)變時(shí)滯的范圍，最后設(shè)計(jì)了相應(yīng)的保性能時(shí)變時(shí)滯補(bǔ)償控制器。得出主要結(jié)論如下：

（1）當(dāng)AMD控制系統(tǒng)不考慮CSI效應(yīng)時(shí)，控制電壓到控制力傳遞函數(shù)的幅值為定值，而其相角為零，控制系統(tǒng)的附加時(shí)滯為零。

（2）當(dāng)AMD控制系統(tǒng)考慮CSI效應(yīng)時(shí)，可通過(guò)適當(dāng)調(diào)節(jié)控制電壓輸入頻率（控制力輸出頻率），使得其位于幅頻曲線和相頻曲線的峰值附近，此時(shí)傳遞函數(shù)的幅值最大而相角最小，即單位控制電壓可轉(zhuǎn)換成較大的控制力且控制系統(tǒng)的附加時(shí)滯會(huì)較小。

（3）AMD控制系統(tǒng)的CSI效應(yīng)其實(shí)質(zhì)為控制力滯后于控制電壓的時(shí)間。在頻率不一的外激勵(lì)如地震荷載的作用下，該時(shí)滯為某一時(shí)刻變化的量，因此實(shí)際AMD控制系統(tǒng)為時(shí)變時(shí)滯控制系統(tǒng)。

（4）當(dāng)系統(tǒng)考慮時(shí)變時(shí)滯時(shí)，最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能控制器能明顯減輕結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)，且與無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)相比，兩者的控制效果、AMD控制力及其行程輸出基本相當(dāng)。因此，本文設(shè)計(jì)的最優(yōu)狀態(tài)反饋保性能時(shí)滯補(bǔ)償控制器能有效減小CSI效應(yīng)的影響。