一種初始相位函數(shù)估計的DDTFA方法及其應(yīng)用

李蓉　李付豪　田莉莉　劉堅

摘要：針對數(shù)據(jù)驅(qū)動時頻分析方法（Data-Driven Time-Frequency Analysis，DDTFA）的初始相位函數(shù)估計直接影響算法的收斂性及分解精度的問題，將多尺度線調(diào)頻基稀疏分解方法（Multi-Scale Chirplet Sparse Decomposition，MSCSD）引入DDTFA的初始相位函數(shù)估計中，提出了MSCSD-DDTFA方法，并應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷中。MSCSD方法采用分段線性擬合的思想，可從低信噪比信號中精確地估計出信號的瞬時頻率，進(jìn)而求取相位函數(shù)；DDTFA方法則可根據(jù)MSCSD估計的相位函數(shù)不失真地分離出時變非平穩(wěn)信號分量；最后，可根據(jù)MSCSD估計出的瞬時頻率對信號分量進(jìn)行階次包絡(luò)分析，獲取階次包絡(luò)譜以診斷變轉(zhuǎn)速齒輪故障。算法仿真和應(yīng)用實例表明：該方法可準(zhǔn)確分離出信號中的時變非平穩(wěn)信號分量，并提取變轉(zhuǎn)速齒輪故障特征。

關(guān)鍵詞：故障診斷；數(shù)據(jù)驅(qū)動時頻分析；多尺度線調(diào)頻基；稀疏分解；匹配追蹤

中圖分類號：TH165⁺.3；TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號1004-4523（2018）01-0148-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.018

引言

齒輪傳動是機(jī)械設(shè)備中常見的傳動方式。機(jī)械設(shè)備中的齒輪因工況、負(fù)載等改變常處于變轉(zhuǎn)速下運行。變轉(zhuǎn)速機(jī)械振動信號中蘊含了豐富的動力學(xué)特性與故障征兆信息，該信息對于機(jī)械設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測和早期故障的診斷至關(guān)重要。當(dāng)齒輪處于變轉(zhuǎn)速下運行時，其振動信號為時變非平穩(wěn)信號，此時，基于平穩(wěn)假設(shè)的信號分析方法不再適用。

對于時變非平穩(wěn)信號的分析，較為常用的方法主要有時頻分析方法。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EmpiricalMode Decomposition，EMD）方法因無需預(yù)設(shè)基函數(shù)，且信號分解效果優(yōu)于小波分析，因而成為了自適應(yīng)時頻分析方法中一種重要的方法并得到廣泛的應(yīng)用。EMD方法的本質(zhì)是通過不斷地對信號進(jìn)行篩分，將信號從高頻到低頻分解為有限個具有物理意義的固有模式函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）及趨勢項之和。但EMD方法缺少理論基礎(chǔ)，且存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。為克服EMD的模態(tài)混疊問題，wu和Huang提出了總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法。EEMD方法利用高斯白噪聲具有頻率均勻分布的統(tǒng)計特性，使加入噪聲后的信號在不同尺度上具有連續(xù)性，因此有效解決了模式混疊問題。但EEMD方法在引入白噪聲的同時，也產(chǎn)生了一系列問題，如關(guān)鍵參數(shù)的取值、高耗時以及重構(gòu)信號中殘余噪聲問題。

受EMD方法和壓縮感知理論的啟發(fā)，HOU T Y和SHI Zuoqiang新近提出了一種基于數(shù)據(jù)的自適應(yīng)時頻分析方法——數(shù)據(jù)驅(qū)動時頻分析（DDTFA）方法，其主要思想是將信號分解轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題，在優(yōu)化過程中實現(xiàn)信號的自適應(yīng)分解。與EMD和EEMD方法相比，DDTFA方法具有明確的理論基礎(chǔ)，無端點效應(yīng)和模態(tài)混迭間題，且可從低信噪比信號中精確地提取信號中的時變非平穩(wěn)信號。然而，DDTFA方法因采用了高斯一牛頓迭代算法，其收斂性及運算結(jié)果依賴于初始相位函數(shù)的選取，但DDTFA方法分解所需初始相位函數(shù)并非需要與理論值完全一致，只需在一定范圍內(nèi)，該方法均能收斂。因而，如何精確地估計出信號的初始相位函數(shù)是DDTFA方法應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備，尤其是變工況機(jī)械設(shè)備故障診斷的關(guān)鍵。

針對DDTFA方法的初始相位函數(shù)選取問題，文獻(xiàn)基于精確一維搜索中的等間隔搜索原理，提出了一種基于分辨率搜索初值分析方法以實現(xiàn)初始相位函數(shù)的自適應(yīng)選取，并將其應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷中，取得了一定的效果。文獻(xiàn)以分解后殘余量的能量值最小為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法對初始相位函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，可自適應(yīng)地選擇合適的初始相位函數(shù)。上述兩種DDTFA初始相位函數(shù)估計方法均為基于迭代搜索的智能方法，由于近年來基于時頻分析的初始相位函數(shù)估計方法能有效地估計初始相位函數(shù)，以滿足時變非平穩(wěn)信號的需要，因此本文擬采用基于時頻分析的初始相位函數(shù)估計方法，與DDTFA相結(jié)合。常見的可用于初始相位函數(shù)估計的時頻分析方法有：同步壓縮方法（Synchrosqueezing Transform，SST），參數(shù)化時頻分析方法（GeneralParameterized Time-Frequency Transform，GPTFT）等。同步壓縮方法是一種通過重分配和擠壓的方法，將時間一尺度平面轉(zhuǎn)換為時間-頻率平面的后處理方法。該方法能較準(zhǔn)確在時頻譜中提取脊線，但分辨率和對噪聲的魯棒性有待提升。新近提出的基于參數(shù)化時頻分析方法的瞬時頻率估計方法在瞬時頻率和相位函數(shù)估計方面取得了較好的效果，但對不同類型的信號，其時頻分析效果受核函數(shù)選取的影響。隨著核函數(shù)庫的不斷豐富，該方法的適用范圍將不斷擴(kuò)展。與上述兩種基于時頻分析方法的初始相位函數(shù)估計方法不同，本文引入多尺度線調(diào)頻基稀疏分解（MSCSD）來解決DDTFA初始相位函數(shù)估計問題。

MSCSD方法采用分段擬合的思想，通過將信號分解成一系列的動態(tài)支撐區(qū)，每個動態(tài)支撐區(qū)用一個多尺度線調(diào)頻基進(jìn)行擬合，可精確估計信號的瞬時頻率和相位函數(shù)，且抗噪性較好。而DDTFA方法則可根據(jù)MSCSD估計的相位函數(shù)不失真地分析出時變非平穩(wěn)信號分量，因此，綜合這兩種方法的優(yōu)點，提出MSCSD-DDTFA方法，并將其應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷中。該方法先采用MSCSD方法對時變非平穩(wěn)信號進(jìn)行分析，估計出瞬時頻率和相位函數(shù)；再將獲取的相位函數(shù)作為DDTFA的初始相位函數(shù)，采用DDTFA方法對信號進(jìn)行分析，求取時變非平穩(wěn)信號分量；最后，根據(jù)MSCSD估計的瞬時頻率對時變非平穩(wěn)信號分量進(jìn)行階次包絡(luò)分析以獲取變轉(zhuǎn)速齒輪故障特征信息。算法仿真和應(yīng)用實例表明，該方法可有效分離各時變信號成分和提取變轉(zhuǎn)速齒輪故障特征，非常適合于時變非平穩(wěn)信號的分析。

1數(shù)據(jù)驅(qū)動時頻分析方法

數(shù)據(jù)驅(qū)動時頻分析方法是在EMD方法和壓縮感知理論的啟發(fā)下所提出的一種自適應(yīng)信號分解方法。DDTFA方法主要包含兩個部分：自適應(yīng)過完備字典庫的建立；尋找信號在自適應(yīng)過完備字典庫中的最稀疏表示，即最優(yōu)化問題。

DDTFA方法選取的過完備字典庫為

由上可知，DDTFA方法采用了高斯一牛頓迭代算法，需預(yù)設(shè)初始相位函數(shù)θ₀。由于高斯一牛頓迭代算法對初始相位函數(shù)的選取較為敏感，初始相位函數(shù)的估計精度將直接影響DDTFA方法的收斂性及其分解精度，因此，DDTFA方法初始相位函數(shù)的設(shè)置需要較高的估計精度。

2多尺度線調(diào)頻基稀疏分解方法

多尺度線調(diào)頻基稀疏分解方法是匹配追蹤算法與分段擬合思想的結(jié)合，采用多尺度線調(diào)頻基將頻率呈曲線變化的非平穩(wěn)信號進(jìn)行分段線性擬合，可精確估計信號的瞬時頻率和相位。

MSCSD方法的基本原理為：對于任意信號s（t），可以將其展開為N個基函數(shù)的線性組合

式（8）定義的多尺度線調(diào)頻基在動態(tài)分析時間段內(nèi)的瞬時頻率f_z為a_μ+2b_μt。通過多尺度線調(diào)頻基對信號進(jìn)行逐段投影分析，計算獲得每個時間分析段J內(nèi)的最大投影系數(shù)β_I和對應(yīng)的多尺度線調(diào)頻基h_μ，b_μ，_I（t）。

為了使整個分析時間段內(nèi)的殘余信號能量最小，需采用合適的方法連接動態(tài)時間支撐區(qū)，該連接方法使得在整個分析時間段內(nèi)分解信號的總能量最大，即

（12）式中

n代表第n次分解；Пⁿ覆蓋整個分析時間段且不重疊。通過上面對動態(tài)時間支撐區(qū)的連接可以得到分解信號c₁，至此完成了第1次分解。原信號減去分解信號即為殘余信號，將殘余信號作為下一輪分解的分析信號，直至殘余信號的能量小于一定的閾值便停止分解。最終得到的時域波形S_z即為每個動態(tài)支撐區(qū)迭代結(jié)束后的c_I（t）連接的集合。

3算法步驟

MSCSD方法采用分段擬合的思想將分析信號分成若干動態(tài)支撐段，每段采用一個多尺度線調(diào)頻基進(jìn)行表示，可從低信噪比信號中準(zhǔn)確地估計出信號的瞬時頻率，進(jìn)而估計出載波信號及其相位函數(shù)，然而，MSCSD方法求取的信號存在較大的幅值失真；而DDTFA方法以MSCSD估計的相位函數(shù)為預(yù)設(shè)的初始相位函數(shù)，可從低信噪比信號中分離出時變非平穩(wěn)信號分量，且幅值失真小。因此，針對時變非平穩(wěn)信號，采用MSCSD方法以解決DDTFA初始相位函數(shù)估計問題，將MSCSD和DDTFA兩個方法相結(jié)合，優(yōu)勢互補(bǔ)，提出MSCSD-DDTFA方法，并將該方法用于變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷中。

該方法的具體計算步驟如下：

（1）采用MSCSD方法對待分析信號s進(jìn)行分析，獲取信號的瞬時頻率f_z和時域波形S_z；

（2）對求出信號S_z進(jìn)行分析，獲取其相位函數(shù)θ（t）；

（3）以相位函數(shù)θ（t）作為初始相位函數(shù)，采用DDTFA方法對待分析信號s進(jìn)行分析，獲取時變非平穩(wěn)信號分量s；

（4）根據(jù)MSCSD估計的瞬時頻率f_z求取轉(zhuǎn)頻信號f_r=（f_z）/N_T，N_T為齒輪齒數(shù)；

（5）采用轉(zhuǎn)頻信號f_r對時變非平穩(wěn)信號分量S進(jìn)行階次包絡(luò)分析，根據(jù)階次包絡(luò)譜診斷變轉(zhuǎn)速齒輪故障。

4算法仿真

4.1單分量AM-FM信號分析

為驗證本文方法提取變轉(zhuǎn)速齒輪振動信號的有效性，先設(shè)置單分量調(diào)幅調(diào)頻仿真信號S₁（t）。信號S₁（t）的模擬齒數(shù)為20，載波信號的頻率為調(diào)制信號頻率的20倍，即載波信號被1倍轉(zhuǎn)頻調(diào)制，其表達(dá)式如式（13）所示。采樣頻率為4096Hz，采樣時長為1s，仿真信號S₁（t）的時域波形如圖1所示。

由于MSCSD與DDTFA方法均具有較強(qiáng)的抗噪能力，因此，為模擬強(qiáng)噪聲的干擾，對原信號S₁（t）加入高斯白噪聲，其信噪比為-4dB，加噪后信號的時域波形如圖2所示。由圖2可看出，信號分量S₁（t）已被完全淹沒在噪聲中。

分別采用MSCSD，SST及GPTFT三種方法對圖1和圖2所示仿真信號進(jìn)行分析，估計出載波信號的瞬時頻率并求瞬時頻率估計均方根誤差（Root-Mean-Square Error，RMSE），結(jié)果分別如圖3和表1所示。由圖3（a）和（b）可知，MSCSD估計出的載波信號瞬時頻率曲線與載波信號的實際理論頻率曲線基本重合，而SST和GPTFT估計出的載波信號瞬時頻率曲線與理論瞬時頻率曲線差別較大，該差別在圖3（b）信噪比為-4dB的加噪信號中尤為明顯。由圖3、表1可知：MSCSD方法可在強(qiáng)背景噪聲下有效估計出單分量AM-FM信號的瞬時頻率曲線，且效果優(yōu)于SST和GPTFT。

采用MSCSD方法對上述加噪仿真信號S₁（t）求取的相位函數(shù)與仿真信號S₁（t）的理論相位函數(shù)對比，如圖4所示。由圖可看出，實線與虛線基本重合，說明針對加噪單分量AM-FM信號MSCSD估計出的相位函數(shù)具有極高的精度。

將圖4所示相位函數(shù)作為初始相位函數(shù)，采用DDTFA方法對圖2所示加噪仿真信號進(jìn)行分析，分解出的信號分量S₁（t）及其誤差如圖5所示。

為進(jìn)一步驗證MSCSD-DDTFA方法的分解精度，采用EEMD方法對圖2加噪仿真信號進(jìn)行分析，估計出的信號分量S'₁（t）的時域波形及其估計誤差如圖6所示。由圖5和6可知：針對圖2加噪單分量AM-FM信號，MSCSD-DDTFA分解精度優(yōu)于EEMD。

為進(jìn)一步驗證MSCSD-DDTFA方法的有效性，對其分解出的圖5（a）所示信號分量進(jìn)行階次包絡(luò)譜分析，得到的階次包絡(luò)譜如圖7所示。由圖7可知，1倍轉(zhuǎn)頻階次O_r處出現(xiàn)了明顯的峰值，與式（13）仿真信號設(shè)置的1倍調(diào)制特征相符，驗證了本文提出的MSCSD-DDTFA方法能有效對低信噪比的單分量AM-FM信號進(jìn)行分析，且精度優(yōu)于EE-MD。

4.2多分量AM—FM信號分析

為驗證本方法對于多分量調(diào)幅調(diào)頻信號的有效性，設(shè)置由兩個幅值和頻率均相近的調(diào)幅調(diào)頻信號S₂（t），其表達(dá)式如下式所示

（14）采樣頻率為4096Hz，采樣時長為0.5s，兩個分量及合成信號S₂（t）的波形依次如圖8所示。采用MSCSD對S₂（t）進(jìn)行初始相位函數(shù)的估計，結(jié)果如圖9所示。由圖9可看出，兩個分量的估計相位函數(shù)與理論相位函數(shù)重合度較高，說明MSCSD可有效估計多分量AM-FM信號的初始相位函數(shù)，且精度較高。為進(jìn)一步驗證MSCSD-DDTFA對多分量AM-FM信號的分解有效性，分別運用MSCSD-DDTFA和理論相位函數(shù)一DDTFA方法對仿真信號S₂（t）進(jìn)行分析，結(jié)果如圖10所示。由圖10可看出，MSCSD-DDTFA與已知理論初始相位函數(shù)的DDTFA的分解精度極為接近，經(jīng)計算，均方根誤差依次為0.073548和0.045285，存在一定差距，但依然具有較高的分解精度?？紤]實際工程應(yīng)用中，采集到的時變非平穩(wěn)信號的理論初始相位函數(shù)未知，因此本文提出的MSCSD方法可有效解決該情況下DDTFA初始相位函數(shù)選取問題，適用于多分量AM-FM信號的分析。

5應(yīng)用實例

為驗證本文方法對變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷的有效性，本節(jié)將采用實測變轉(zhuǎn)速斷齒齒輪振動信號進(jìn)行分析，并與SST-DDTFA及GPTFT-DDTFA方法進(jìn)行對比。

試驗臺為單級傳動齒輪箱，如圖11所示。試驗齒輪為正齒輪，主動軸齒輪與從動軸齒輪齒數(shù)分別為55和75°為模擬齒輪故障，在主動軸的齒輪上整體切割掉一個齒，以模擬齒輪斷齒故障。試驗用LMS數(shù)據(jù)采集儀拾取齒輪箱的振動加速度信號，同時，在主動軸采用光電式轉(zhuǎn)速傳感器采集轉(zhuǎn)速信號，以便進(jìn)行對比研究。

試驗時采樣頻率為4096Hz，采樣時長為1s，齒輪箱處于變轉(zhuǎn)速下運行，采集到的齒輪箱振動加速度信號的時域波形如圖12。

采用MSCSD方法對圖12所示實測信號進(jìn)行分析，得到嚙合頻率如圖13所示。圖13中的虛線為MSCSD方法估計出的嚙合頻率，實線為通過光電轉(zhuǎn)速傳感器測取計算獲得的嚙合頻率，由圖可看出，實線與虛線基本重合。

基于MSCSD估計的嚙合頻率曲線，求取相位函數(shù)如圖14所示，以該相位函數(shù)為初始相位函數(shù)，采用DDTFA方法對圖12所示變轉(zhuǎn)速斷齒振動加速度信號進(jìn)行分析，求取的信號分量如圖15所示。采用階次包絡(luò)分析方法對分解出的信號分量進(jìn)行分析，得到的階次包絡(luò)譜如圖16（a）所示。由圖16（a）可看出，在2倍轉(zhuǎn)頻階次處出現(xiàn)了明顯的峰值，說明信號的調(diào)制頻率被2倍轉(zhuǎn)頻所調(diào)制，與齒輪斷齒時的轉(zhuǎn)頻調(diào)制故障特征相符，驗證了本文所提出的MSCSD-DDTFA方法對實測變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷的有效性。

同樣，分別采用SST-DDTFA方法及GPTFT-DDTFA方法對該實測變轉(zhuǎn)速斷齒信號進(jìn)行分析，估計出的實測嚙合信號的階次包絡(luò)譜分別如圖16（b）和（c）所示。由圖16（b）可知：SST-DDTFA所得嚙合信號的階次包絡(luò)譜故障特征被噪聲干擾，雖然在2倍轉(zhuǎn)頻階次處也出現(xiàn)了峰值，但不及MSCSD-DDTFA的診斷結(jié)果明顯。而由圖16（c）可知：GPTFT-DDTFA所得嚙合信號的階次包絡(luò)譜，故障特征被噪聲淹沒，未能有效診斷出故障特征。

6結(jié)論

針對數(shù)據(jù)驅(qū)動時頻分析方法（DDTFA）的初始相位函數(shù)估計問題，本文引入了基于多尺度線調(diào)頻基稀疏分解（MSCSD）方法。MSCSD方法可精確估計信號的瞬時頻率和相位函數(shù)，且抗噪性較好，而DDTFA方法則可根據(jù)MSCSD估計的相位函數(shù)不失真地分析出時變非平穩(wěn)信號分量，因此將MSCSD與DDTFA方法相結(jié)合，提出了MSCSD-DDTFA方法，并將其應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速齒輪故障診斷中，主要結(jié)論如下：

（1）MSCSD方法可有效估計單分量和多分量調(diào)幅調(diào)頻信號的相位函數(shù)，且基于MSCSD的相位函數(shù)估計具有較高的精度和良好的抗噪性，可較好解決DDTFA方法的初始相位函數(shù)估計問題。

（2）MSCSD-DDTFA方法能有效地分解單分量和多分量調(diào)幅調(diào)頻信號，且分析精度優(yōu)于EEMD方法，較適合于時變非平穩(wěn)信號的分析。

（3）將MSCSD-DDTFA用于變轉(zhuǎn)速齒輪故障振動信號的分析，結(jié)果表明該方法能有效提取齒輪故障振動信號分量，并提取其故障特征。

由于MSCSD不能完全準(zhǔn)確地估計出各種時變非平穩(wěn)信號的初始相位函數(shù)，針對頻率段重合的多分量時變非平穩(wěn)信號，MSCSD-DDTFA如何提高分解精度和計算效率，是今后需要研究的重點。