基于移動(dòng)質(zhì)量梁列式的混合編組列車—多跨雙線簡支梁橋垂向耦合振動(dòng)分析

文穎　陶蕤　何旭輝　周智輝

摘要：現(xiàn)有車橋振動(dòng)分析需逐步判斷輪對與橋梁單元接觸狀態(tài)，增加了多線混合編組列車與多跨橋梁耦合關(guān)系建模的復(fù)雜性?；谳唽εc橋梁密貼模型，通過引入窗函數(shù)，建立輪對與橋梁狀態(tài)變量的顯式關(guān)系，推導(dǎo)了移動(dòng)質(zhì)量梁動(dòng)力特性矩陣；將車輛一系簧上部分視為獨(dú)立多剛體系統(tǒng)，建立了混合編組列車一多跨雙線簡支梁橋垂向耦合振動(dòng)分析通用模型。基于Newmark-β法關(guān)于狀態(tài)變量的遞推公式，提出了車橋系統(tǒng)方程求解的降階算法，確保計(jì)算規(guī)模為最小。開展算例分析，驗(yàn)證了模型的正確性。計(jì)算了高速列車一三跨雙線簡支箱梁橋垂向耦合振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)果表明：車體垂向位移較其他響應(yīng)在雙、單線加載時(shí)滿足恒定峰值比；橋梁各跨跨中響應(yīng)最大值在單線行車時(shí)基本不變；與單線加載相比，雙線對稱加載橋跨跨中最大垂向位移近似放大2倍，不對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度出現(xiàn)下降。

關(guān)鍵詞：車-橋耦合；混合編組列車；多跨雙線簡支梁；移動(dòng)質(zhì)量梁；降階算法

中圖分類號：U211.3；U448.13 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0001-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.001

引言

隨著中國高速、重載鐵路的快速發(fā)展，簡支梁橋因架設(shè)方便，適應(yīng)地基不均勻沉降而獲得廣泛應(yīng)用。例如，京滬高鐵橋線比達(dá)到80.5%，雙線簡支箱梁約占橋梁總長度的88%。朔黃重載鐵路預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁橋占橋梁總里程的97.57%。與此同時(shí)，開行長大列車能降低鐵路運(yùn)營成本而被公認(rèn)為鐵路運(yùn)輸發(fā)展的方向。當(dāng)長大列車經(jīng)過多跨雙線鐵路橋梁時(shí)，車橋垂向動(dòng)力相互作用分析需要建立上、下行列車各輪對與各跨橋梁耦合關(guān)系，呈現(xiàn)出復(fù)雜時(shí)變特征。此外，長大列車編組呈現(xiàn)多樣性，當(dāng)調(diào)整列車編組后，車橋垂向耦合振動(dòng)模型隨之變化，給應(yīng)用帶來不便。因此，開展混合編組列車一多跨雙線簡支梁橋系統(tǒng)垂向振動(dòng)的高效、通用分析方法研究十分必要。

現(xiàn)有車橋垂向耦合振動(dòng)分析的列式方法主要分為兩種：一是將列車與橋梁視為相互作用的整體，采用直接積分法求解系統(tǒng)響應(yīng)；二是分別建立車輛和橋梁子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，以輪軌位移銜接條件及輪軌力趨向定值作為收斂條件，迭代求解系統(tǒng)響應(yīng)。它們的共同特點(diǎn)是，每一時(shí)間步通過逐一判斷各輪對與各橋梁單元是否接觸，分別更新車橋系統(tǒng)動(dòng)力特性矩陣和輪軌力，未建立車橋相互作用通用顯式模型。開展混合編組列車一多跨雙線鐵路橋梁系統(tǒng)垂向振動(dòng)分析，逐步判斷車橋接觸狀態(tài)而修正車橋耦合作用模型是一項(xiàng)復(fù)雜而耗時(shí)的工作。文獻(xiàn)提出了長大列車縱向動(dòng)力學(xué)建模的循環(huán)變量方法，解決了傳統(tǒng)方法車輛模型通用性差和數(shù)據(jù)處理效率低的問題，未考慮車橋垂向耦合作用。Yang和Wu提出了車輛一橋梁互制單元，盡管采用動(dòng)力凝聚技術(shù)顯著降低求解規(guī)模，仍需逐步更新輪對一橋梁耦合關(guān)系，當(dāng)考慮長大列車通過多線橋梁時(shí)，不可避免地消耗大量計(jì)算資源。此外，更換列車編組后，必須修正計(jì)算程序，不便于工程應(yīng)用。

本文假定列車輪對與橋梁接觸。將輪對與橋梁視為整體，基于時(shí)間窗函數(shù)，給出輪對與橋梁狀態(tài)變量的關(guān)系通式，構(gòu)造移動(dòng)質(zhì)量梁模型。將一系簧上部分（包括車體、轉(zhuǎn)向架和二系懸掛）視為獨(dú)立多剛體系統(tǒng)（忽略縱向車鉤力作用）?；趶椥韵到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢能不變值原理，建立了適用于任意編組列車一多跨雙線簡支梁橋系統(tǒng)垂向振動(dòng)分析的顯式動(dòng)力特性矩陣，基于Newmark-β法關(guān)于速度和加速度的遞推公式，提出了車橋耦合大系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解的降階算法。通過與文獻(xiàn)結(jié)果對比及計(jì)算單、雙線“先鋒號”高速列車經(jīng)過某三跨簡支梁橋時(shí)車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，驗(yàn)證了車橋垂向耦合作用通用模型和求解算法的正確性及適用性。

1車橋系統(tǒng)垂向耦合作用模型

本文考慮混合編組列車與雙線鐵路多跨簡支梁橋的垂向耦合作用（如圖1（a）所示），忽略列車橫向振動(dòng)與垂向振動(dòng)的弱耦合特性（當(dāng)考慮車橋系統(tǒng)在靜平衡位置附近發(fā)生垂向線性微振動(dòng)時(shí)，該假定是合理的），主要目的是建立長大列車一多跨雙線鐵路橋梁系統(tǒng)垂向振動(dòng)的高效、通用分析方法。

1.1車輛獨(dú)立多剛體模型

下文選取經(jīng)典四軸鐵路車輛模型為研究對象，本文提出的車橋系統(tǒng)垂向耦合動(dòng)力學(xué)通用分析方法能模擬系列不同類型車輛而無需修改分析程序。假定列車以恒定車速進(jìn)出橋梁（上、下行線的列車運(yùn)行速度分別為v₁和v₂），混合編組列車共包含n_v輛車、n_w個(gè)輪對，第n輛車與第n+1輛車的相鄰輪對間距為△d_n。車輛垂向動(dòng)力學(xué)參數(shù)如圖1（b）所示，它們的含義是：m_c，J_c和m_t，J_t分別為車體和轉(zhuǎn)向架的質(zhì)量和面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k_tw，c_tw和k_ct，c_ct為一系和二系懸掛剛度和阻尼常數(shù)；m_w為輪對質(zhì)量。

假定列車輪對與橋梁密貼，輪對自由度不再是獨(dú)立變量。車輛模型的獨(dú)立自由度包括車體點(diǎn)頭角θ_c和沉浮位移z_c，前、后轉(zhuǎn)向架點(diǎn)頭角θ_t1、θ_t2和沉浮位移z_t1，z_t2。因此，圖1（b）中車輛一系懸掛以上部分形成了獨(dú)立多剛體系統(tǒng)。車輛獨(dú)立多剛體模型的位移向量為

（1）式中各位移分量的正方向如圖1（b）所示，n（n=1，2，…，n_v）表示車輛在列車編組中的序號。車輛獨(dú)立多剛體模型的質(zhì)量矩陣Mⁿ_v，阻尼矩陣Cⁿ_v和剛度矩陣Kⁿ_v由下式得到

1.2移動(dòng)質(zhì)量梁列式

前節(jié)已指出列車輪對沒有獨(dú)立自由度，將與橋梁形成相互作用的整體。因此，移動(dòng)輪對與橋梁構(gòu)成了“移動(dòng)質(zhì)量梁”。移動(dòng)質(zhì)量梁的慣性特性來源于梁體均布質(zhì)量m_b、梁截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I_xb和輪對集中質(zhì)量m_w，剛度與阻尼特性（假定輪對為理想剛體且與橋梁保持完全剛性接觸）與原始橋梁一致。為了定量分析移動(dòng)車輪對“移動(dòng)質(zhì)量梁”慣性特性的貢獻(xiàn)，必須先確定輪對狀態(tài)參數(shù)（位移、速度及加速度）。當(dāng)輪對與某橋梁單元接觸后，輪對運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由運(yùn)行速度及梁單元節(jié)點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)唯一確定。

1.2.1輪對一橋梁單元相對位置分析

如前所述，針對混合編組列車一多跨雙線橋梁系統(tǒng)垂向振動(dòng)分析問題，倘若逐步判斷所有輪對與橋梁單元的接觸狀態(tài)，將消耗大量計(jì)算資源。文獻(xiàn)在求解系列移動(dòng)質(zhì)量引起的簡支梁垂向振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，通過定義窗函數(shù)，確定質(zhì)量單元與簡支梁橋的耦合關(guān)系。本文借鑒該思路，引入與橋梁單元對應(yīng)的窗函數(shù)，建立描述輪對與橋梁單元接觸狀態(tài)的通用模型。首先引入如圖2所示的單位階躍函數(shù)

假定橋梁被劃分為n_b個(gè)單元，x^k₁和x^k₂表示第k個(gè)單元節(jié)點(diǎn)局部坐標(biāo)（以列車進(jìn)橋端為坐標(biāo)系原點(diǎn)，列車前進(jìn)方向?yàn)檎较颍?，則l_k=x^k₂-x^k₁為第k個(gè)單元的長度。列車進(jìn)入橋梁的瞬時(shí)計(jì)為t₀（上、下行線列車進(jìn)橋時(shí)刻分別標(biāo)記為t^u₀和t^d₀），則第n輛車第h個(gè)輪對到達(dá)和離開第k個(gè)梁單元的時(shí)刻分別為：

進(jìn)入第k個(gè)梁單元的時(shí)刻

離開第k個(gè)梁單元的時(shí)刻

1.2.2列車輪對一橋梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)顯式關(guān)系模型

為了突出混合編組列車一雙線多跨簡支梁橋系統(tǒng)垂向振動(dòng)分析的通用建模方法研究，忽略軌道結(jié)構(gòu)的傳力作用。本節(jié)將利用上節(jié)得到的輪對與橋梁單元相對位置表達(dá)式，建立輪對與橋梁狀態(tài)參數(shù)間的顯式關(guān)系模型。由于該模型與車輛類型無關(guān)，適用于混合編組列車建模?；谳唽σ粯蛄好苜N假定，輪對狀態(tài)參數(shù)滿足如下全微分關(guān)系

1.3車輛獨(dú)立多剛體系統(tǒng)一移動(dòng)質(zhì)量梁耦合關(guān)系列式

本文以車輛一系懸掛為界，將車橋系統(tǒng)處理為車輛獨(dú)立多剛體一移動(dòng)質(zhì)量梁相互作用系統(tǒng)。前兩節(jié)已分別建立車輛獨(dú)立多剛體系統(tǒng)和移動(dòng)質(zhì)量梁的動(dòng)力特性矩陣。本節(jié)從能量原理出發(fā)，推導(dǎo)描述車輛獨(dú)立多剛體系統(tǒng)一移動(dòng)質(zhì)量梁相互作用的動(dòng)力特性矩陣。一系懸掛內(nèi)力勢能U_s的一階變分如下

（14）其中與移動(dòng)質(zhì)量梁運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相關(guān)的子矩陣均是時(shí)間的顯式函數(shù)，反映了車輛獨(dú)立多剛體系統(tǒng)一移動(dòng)質(zhì)量梁相互作用的時(shí)變特性。

2車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程高效求解的降階算法

本文采用彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢能不變值原理和形成矩陣的“對號入座”法則，建立車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。車橋系統(tǒng)總勢能包括前文提到的車輛獨(dú)立多剛體系統(tǒng)慣性力、彈性力及阻尼力勢能U_v、移動(dòng)質(zhì)量梁慣性力、彈性力及阻尼力勢能U^I_gb+U^e_gb+U^d_gb、一系懸掛內(nèi)力勢能U_s以及反映車輛對橋梁靜力加載的車輛重力勢能V_v。因此，車橋系統(tǒng)的動(dòng)力平衡條件為

（15）

（16）將式（2），（11），（14）和（16）代入式（15），可得車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程如下

本文采用Newmark-β法求解式（17）。對于按四軸車輛編組的列車一雙線鐵路多跨簡支梁橋系統(tǒng)，總自由度數(shù)為2×n_v×6+3×N-n_c（n_c為橋梁約束自由度數(shù)）。隨著列車編組數(shù)量和橋梁跨數(shù)的增加，系統(tǒng)動(dòng)力特性矩陣階數(shù)將變得異常龐大，嚴(yán)重影響計(jì)算效率。為了縮減計(jì)算規(guī)模，采取分別求解車輛和移動(dòng)質(zhì)量梁運(yùn)動(dòng)方程的策略。下面以計(jì)算車橋系統(tǒng)t+△t時(shí)刻動(dòng)力響應(yīng)為例進(jìn)行說明。由New-mark-β法關(guān)于計(jì)算t+△t時(shí)刻速度和加速度的遞推公式得

（20）式（19）和（20）都以t+△t時(shí)刻車橋系統(tǒng)位移為待求變量，它們構(gòu)成聯(lián)立代數(shù)方程組。當(dāng)列車總自由度數(shù)多于橋梁總自由度數(shù)時(shí)（例如，考慮單跨雙線鐵路橋梁通行長大列車），將式（19）代入式（20），可得求解q^t+△t_b的聯(lián)立方程組

與式（17）相比，式（21）的待求變量僅剩下橋梁位移，待求變量明顯減少。倘若列車總自由度數(shù)少于橋梁總自由度數(shù)（例如，考慮單輛車通過多跨橋梁），則將式（20）代入式（19），得到以車輛位移q^t+△t_v為全部待求變量的聯(lián)立方程組，上述降階算法的目的是確保車橋系統(tǒng)耦合振動(dòng)分析的待求變量數(shù)為最少。

3算例驗(yàn)證

本節(jié)選取文獻(xiàn)中四軸車輛一單跨簡支梁橋系統(tǒng)垂向振動(dòng)分析算例進(jìn)行比較說明，車輛和橋梁參數(shù)見文獻(xiàn)。車體垂向位移和橋梁跨中撓度時(shí)程如圖5（a）和（b）所示。

當(dāng)t=1.04s時(shí)，車體垂向位移達(dá)到最大值1.56mm。橋梁跨中最大撓度及其出現(xiàn)時(shí)間分別為2.01mm和t=0.86s，均與文獻(xiàn)的結(jié)果一致。其他時(shí)刻車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)與文獻(xiàn)結(jié)果吻合良好，從而驗(yàn)證了基于移動(dòng)質(zhì)量梁列式的車橋垂向耦合振動(dòng)分析通用模型及運(yùn)動(dòng)方程求解的降階算法正確性。

4實(shí)例分析

本節(jié)考慮混合編組列車一雙線3跨24m混凝土簡支梁橋垂向耦合振動(dòng)分析。橋梁橫截面如圖6所示。橋梁混凝土密度ρ_b=2500kg/m³，混凝土彈性模量和剪切模量分別為35GPa和14GPa，橋梁阻尼比取2%。箱梁截面特性參數(shù)如表1所示。車輛選取“先鋒號”高速列車模型，列車編組為1動(dòng)+1拖+2動(dòng)+1拖+1動(dòng)，車輛模型動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表2所示。分別計(jì)算橋上單線行車（v₁=270km/h）和雙線對開（v₁=v₂=270km/h）條件下車橋垂向耦合振動(dòng)響應(yīng)。

由圖7可知，單線加載時(shí)首輛動(dòng)車和拖車車體垂向位移最大值分別為0.474mm和0.537mm，雙線加載時(shí)對應(yīng)的最大值分別為0.782mm和0.888mm，雙、單線行車條件下，動(dòng)車和拖車車體垂向位移最大值的比值約為1.65且?guī)缀跬瑫r(shí)達(dá)到最大值。由圖8和9可知，首輛動(dòng)車和拖車車體垂向最大加速度在雙、單線加載條件下的比值分別為1.79，1.64，最大點(diǎn)頭角之比為1.96，1.48。此外，車體垂向峰值位移在雙、單線加載時(shí)滿足一致比例（最大差別在6%以內(nèi)）。車體垂向加速度和點(diǎn)頭角盡管同時(shí)達(dá)到峰值，但雙、單線行車峰值響應(yīng)比并不維持恒定比例。

由圖10不難發(fā)現(xiàn)，單線行車條件下各跨橋梁跨中最大垂向位移均穩(wěn)定在0.828mm，扭轉(zhuǎn)角為3.25×10^-5rad，跨中垂向位移和扭轉(zhuǎn)角時(shí)程基本滿足一致變化規(guī)律，可見列車進(jìn)入各橋跨的初始狀態(tài)對橋梁振動(dòng)響應(yīng)并無影響。雙線對開條件下，各跨跨中最大垂向位移分別為1.34，1.60和1.34mm，是單線加載結(jié)果的1.63，1.93和1.63倍。由于第二跨橋梁跨中響應(yīng)達(dá)到極值時(shí)，雙線列車恰好以跨中對稱布置，跨中撓度近似是單線加載結(jié)果的2倍，扭轉(zhuǎn)角則趨于零。各跨橋梁跨中最大垂向加速度（如圖11所示）在單線加載時(shí)保持不變（大致為0.077g），雙線對開加載時(shí)各跨橋梁跨中最大垂向加速度分別是單線加載結(jié)果的0.73，1.84和0.79倍，顯見對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度獲得放大，但不滿足2倍關(guān)系，而不對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度則下降。

5結(jié)論

針對雙線混合編組列車一多跨橋梁垂向耦合振動(dòng)分析通用模型的建立問題，本文通過引入時(shí)間窗函數(shù)，給出了輪對及橋梁狀態(tài)變量通用顯式表達(dá)式，提出了考慮輪對對橋梁移動(dòng)加載作用的移動(dòng)質(zhì)量梁列式。將車輛-系簧上部分視為與列車編組無關(guān)的獨(dú)立多剛體系統(tǒng)，建立了混合編組列車一雙線多跨簡支梁橋垂向耦合振動(dòng)分析通用模型，推導(dǎo)了車橋系統(tǒng)顯式時(shí)變動(dòng)力特性矩陣，基于Newmark-β法關(guān)于相鄰時(shí)刻速度和加速度的遞推公式，提出了車橋系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程求解的降階算法，以最低計(jì)算規(guī)模獲得車橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。

通過分析文獻(xiàn)算例，驗(yàn)證了車橋垂向耦合振動(dòng)分析的通用模型和求解算法的正確性和適用性。計(jì)算了“先鋒號”高速列車一三跨雙線簡支梁橋系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果表明：

1）車體垂向位移在單、雙線行車條件下幾乎同時(shí)達(dá)到極值，雙、單線加載的峰值響應(yīng)比按相同規(guī)律變化。車體垂向加速度和點(diǎn)頭角同時(shí)達(dá)到峰值，但峰值響應(yīng)比不同。

2）單線行車條件下，各橋跨跨中動(dòng)力響應(yīng)的最大值基本不變且具有相同時(shí)程（因列車進(jìn)橋時(shí)間不同，相位有差別），反映出列車進(jìn)橋狀態(tài)對橋梁振動(dòng)影響不大。

3）雙線對開條件下，對稱加載橋跨跨中最大垂向位移是單線的2倍，跨中扭轉(zhuǎn)角等于零，與靜力加載結(jié)果一致；對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度獲得放大，但不滿足2倍關(guān)系，不對稱加載橋跨跨中最大垂向加速度則出現(xiàn)下降。