把握數(shù)學(xué)本質(zhì) 滲透數(shù)學(xué)思想

付健 孫秀萍

教學(xué)內(nèi)容：人教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》三年級上冊第五單元第50頁例1。

教材簡析：

倍的認識是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域“數(shù)的運算”中的重要內(nèi)容，是學(xué)生第一次接觸比率。比率這一概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，是學(xué)生以后學(xué)習(xí)比例、一元函數(shù)的基礎(chǔ)。理解兩個量的倍數(shù)關(guān)系（比率）也是學(xué)生乘法認知結(jié)構(gòu)建立的重要內(nèi)容。本節(jié)課教學(xué)的主要內(nèi)容是理解一個數(shù)是另一個數(shù)幾倍的含義，初步建立倍的概念。

教材編寫特點：教材充分利用學(xué)生已有的乘、除法知識，幫助學(xué)生建立倍的概念。先利用“幾個幾”引出倍的含義后，再從除法的角度加深對倍的概念的理解，讓學(xué)生體會倍的本質(zhì)。教材安排多個層次的活動，讓學(xué)生通過多次感知，在不斷比較和抽象的過程中建立倍的概念。通過大量的比較兩個量的倍數(shù)關(guān)系的機會，幫助學(xué)生建立倍的直觀模型。

學(xué)情分析：

“倍”的概念建立是在學(xué)生掌握簡單的乘法和除法知識后進行演化學(xué)習(xí)的，它是依據(jù)乘法知識中“份”的概念擴展而來的。然而在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生對兩個不等量的比較，只會用“多”或“少”來形容。所以，在引出倍的同時必須搭建好“倍”與“份”的橋梁，讓學(xué)生由“份”拓展到“倍”，最終又回到“份”，使“倍”的知識在整體網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生和發(fā)展。

本節(jié)課我創(chuàng)造性地使用教材，由例題開始，要學(xué)生解讀主題圖，先引導(dǎo)學(xué)生搞清紅蘿卜的根數(shù)是綠蘿卜的3倍，初步建立倍的概念。然后用總結(jié)出來的分類計數(shù)，圈、擺、列式等方法引導(dǎo)學(xué)生找到白蘿卜與綠蘿卜的倍數(shù)關(guān)系?！氨丁钡母拍畹母兄屠斫舛紡膱D形入手，使抽象的概念直觀化、形象化、簡單化，從擺圖到看圖以及練習(xí)中畫出第二行小棒是第一行小棒的4倍，都反應(yīng)出數(shù)形結(jié)合思想的滲透。在新課探究中，分別改變綠蘿卜、白蘿卜的根數(shù)，滲透正反比例的思想。

教學(xué)目標：

1. 結(jié)合具體情境，理解一個數(shù)是另一個數(shù)幾倍的含義，初步建立倍的概念。

2. 在操作活動中，獲得“倍”概念的直觀體驗。

3. 培養(yǎng)學(xué)生觀察、操作、分析及語言表達的能力，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。在探索與交流的過程中體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值。

教學(xué)重、難點：初步建立倍的概念。理解“倍”與除法的關(guān)系。

教學(xué)準備：綠蘿卜教具、紅蘿卜教具、白蘿卜教具、題單。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，談話引入

展示教材50頁情境圖。

師：你看到了什么蘿卜，數(shù)量各是多少？

生：我看到了綠蘿卜和紅蘿卜。綠蘿卜有2根，紅蘿卜有6根。（教師在黑板上貼出：綠蘿卜2根，紅蘿卜6根。）

師：比較綠蘿卜和紅蘿卜的數(shù)量，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：2比6少。

生2：6比2多。

生3：6是2的3倍。

二、觀察實踐，探究新知

1.初步認識“倍”的概念。

師：6表示紅蘿卜的根數(shù)，2表示綠蘿卜的根數(shù)，3倍是什么意思呢？

生：3倍表示6里面有3個2。

師：請一名同學(xué)上臺擺一擺紅蘿卜，使大家看得清楚一些。

生：我是2根2根擺的。

師：（指著這個2根）這是——

生：1個2根。

接著邊指邊數(shù)，紅蘿卜有3個2根。

師：綠蘿卜2根，紅蘿卜有3個2根。我們就說紅蘿卜的根數(shù)是綠蘿卜根數(shù)的3倍。

師：“倍”就是我們今天要認識的新朋友（板書：倍的認識）。

師：什么是倍呢？兩個數(shù)進行比較，一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)，這個數(shù)就是另一個數(shù)的幾倍。

師：剛剛我們用2和6這兩個數(shù)進行比較，6里面包含幾個2，6就是2的幾倍。

師：我們通過擺一擺，找到了6里面有3個2。其實我們也可以2根2根地圈一圈，也可以在每2根的下面畫一條橫線，無論是擺、圈還是畫橫線，其實都是為了清楚地看到份數(shù)。除了這些方法，有沒有更簡便的方法呢？

（生列算式。6÷2=3。）

師：請同桌之間說一說紅蘿卜和綠蘿卜之間的倍數(shù)關(guān)系。

…………

師：同學(xué)們，我們已經(jīng)找到了紅蘿卜和綠蘿卜之間的倍數(shù)關(guān)系，下面請大家回憶一下，我們是怎么找到6和2的倍數(shù)關(guān)系的？先怎么樣？

（生先觀察圖片：凌亂的綠蘿卜、紅蘿卜圖片。）

師：按顏色的不同進行分類，并且數(shù)出了個數(shù)。這就是分類計數(shù)的過程。

生：然后我們?nèi)σ蝗Ρ容^，也可以擺一擺比較，也可以畫橫線，還可以列算式。

師：最后我們找到了紅蘿卜和綠蘿卜之間的倍數(shù)關(guān)系，完成了填空。

師：現(xiàn)在小兔又拿來了白蘿卜，下面我們就用剛才的這種方法來找到白蘿卜和綠蘿卜之間的倍數(shù)關(guān)系，好嗎？

根據(jù)自學(xué)提示（圈一圈、填一填），完成答題卡。

師：有多少根白蘿卜？

生：10根。

師：誰來填一填？

生：10根里面有5個2根，白蘿卜是綠蘿卜的5倍。（師板書。）

師：同學(xué)們，你們和我一樣嗎？為什么2根2根圈？

師：這道題不圈行不行？

生：不行，自學(xué)提示要求圈一圈。

師：審題很重要。

【評析】通過觀察紅蘿卜和綠蘿卜之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)綠蘿卜有2根，紅蘿卜有3個2根，紅蘿卜的根數(shù)是綠蘿卜的3倍，讓學(xué)生初步建立“倍”的概念。并用圈一圈、擺一擺、列式等求倍的方法找到白蘿卜的與綠蘿卜的倍數(shù)關(guān)系。

2. 在變化中加深對倍的概念的理解。

（1）白蘿卜減少到8根、2根。白蘿卜的根數(shù)是綠蘿卜的（ ）倍。

（2）白蘿卜由2根增加到12根，白蘿卜的根數(shù)是綠蘿卜的（ ）倍。（2根綠蘿卜在下面，也就是1份量的位置發(fā)生了變化。）

師：兩個數(shù)比較大小，與實物的位置沒有關(guān)系。

師：剛才我們一直在比較蘿卜的數(shù)量，如果不是蘿卜，是其他事物行不行？

生：行。

師：對，倍是兩個數(shù)進行比較，這兩個數(shù)對應(yīng)什么事物都可以。你們瞧，老師用2個方形代替綠蘿卜，用10個梯形代替紅蘿卜，誰能來填一填？

【評析】由蘿卜圖片逐漸抽象成圖形，把“對象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化成為“圖形之間的關(guān)系”，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀。分別增加和減少白蘿卜、綠蘿卜的根數(shù)，比的比較量和標準量分別變化，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)倍數(shù)會發(fā)生變化，無形中滲透了正、反比例思想。

三、練習(xí)鞏固，加深理解

1.小小答題手。

生：蘋果的個數(shù)是梨的3倍。

師：你是怎么想的？

生：蘋果9個，梨3個，9÷3=3。

師：還有其他方法嗎？

生：這是一個有規(guī)律的排列，3個蘋果和1個梨為一組重復(fù)出現(xiàn)。第一組中蘋果的個數(shù)是梨的3倍，所以這道題蘋果的個數(shù)就是梨的3倍。

師：第一組里蘋果的個數(shù)是梨的3倍。第二組里蘋果的個數(shù)是梨的3倍。第三組剛剛知道了蘋果的個數(shù)是梨的3倍。對于有規(guī)律的排列，無論組數(shù)怎么變化，蘋果和梨的倍數(shù)關(guān)系是不變的。

師：你們第二行畫了多少根小棒？

生：20根。

師：為什么是20根小棒？

生：因為是4個5根，也就是20根。

【評析】每一道題目的設(shè)計都充滿了執(zhí)教者對本節(jié)課內(nèi)涵以及外延的獨特見解。（1）將蘋果和梨按3：1的比例成組出現(xiàn)，滲透比例思想。（2）雖讓學(xué)生建構(gòu)了“解決求一個數(shù)的幾倍是多少”的問題的思維模式，但重點是加深學(xué)生對倍的含義的理解。

2. 小小魔術(shù)師。

師：如果老師給你6個紅○（課件出示6個紅○），請你擺出綠色○，使紅色○的個數(shù)是綠色○的倍數(shù)，你能擺出幾種情況呢？（小組討論。）

師：觀察四組○，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：紅○始終是6個，為什么比較的結(jié)果一會兒是6倍，一會兒是3倍、2倍、1倍呢？

生：因為綠○的個數(shù)在不斷地變化。

【評析】在這個環(huán)節(jié)的教學(xué)過程中，付老師帶給我們的不僅僅是認識“倍”，更將倍的意義建立在一個深厚的數(shù)學(xué)大背景中。通過紅○個數(shù)不變，改變綠○的個數(shù)，讓學(xué)生從觀察、操作中再一次體驗到“1份”在變化，比較的結(jié)果也發(fā)生著變化。即在總數(shù)不變的情況下份數(shù)如果變了，那么它們之間的倍數(shù)關(guān)系也發(fā)生了變化?？倲?shù)不變，每份數(shù)越少，份數(shù)就越多，反之亦然。

四、課堂總結(jié)

師：同學(xué)們，讓我們一起回顧一下今天所學(xué)的內(nèi)容。今天這節(jié)課我們認識了一個新朋友“倍”。倍，是兩個數(shù)進行比較，要想知道一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，那我們就要先知道一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)。我們還學(xué)習(xí)到了一些求倍的方法。

總評：

一、 對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的準確把握

基于核心素養(yǎng)的教學(xué)，首先要求教師抓住知識的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考。

“倍”是一個比較抽象的概念，是兩個數(shù)量之間的比率關(guān)系，是學(xué)生的認知從加法結(jié)構(gòu)變化到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點。乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的是“加法結(jié)構(gòu)”，是數(shù)量的合并與多少的比較，沒有接觸到兩個數(shù)量的比率關(guān)系。對兩個量或多個量之間的比率關(guān)系的真正理解，需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起“乘法結(jié)構(gòu)”。而“倍”的學(xué)習(xí)正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)的開始。付老師緊緊抓住“倍的本質(zhì)是兩個數(shù)量在相互比較”，運用幾種不同數(shù)量的蘿卜比較：6個紅蘿卜與2個綠蘿卜比較，10個白蘿卜與2個綠蘿卜比較，通過擺一擺、圈一圈的方法，給被比較量按照標準量分份。在這個過程中不斷強調(diào)誰與誰比較，讓學(xué)生建立起“倍”的直觀模型，然后結(jié)合除法從比較關(guān)系的角度對“倍”再認識（求紅蘿卜的個數(shù)是綠蘿卜的幾倍就是以綠蘿卜的個數(shù)為標準，看紅蘿卜里包含幾份綠蘿卜），再通過兩個比較量不斷的、有趣的變化，進一步加深對“倍”的認識，在多種形式的活動和練習(xí)中鞏固對“倍”概念的理解，不急不躁，循序漸進，建立起倍數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。在變化的過程中，付老師還注意引導(dǎo)學(xué)生把不同的、非本質(zhì)的特征全部去掉，只保留數(shù)字之間的比較關(guān)系，如10與2，6與3……并用簡單的語言表達出來，使學(xué)生在不斷的抽象中實現(xiàn)一次次理性的飛躍，對“倍”的認識達到了概念性水平。

二、 對學(xué)生已有認知的有效利用

站在學(xué)生的立場思考問題，就是我們所說的“尊重教育”的一方面。教師在備課時要充分了解學(xué)生對所講授的內(nèi)容知道了什么，不知道什么。對學(xué)生知道的內(nèi)容如何加以利用，對學(xué)生不知道的內(nèi)容采用什么方式傳授才能更好地讓學(xué)生理解……這也是課程資源的一部分。

二年級的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法、除法的相關(guān)內(nèi)容，通過課前調(diào)研還發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“倍”學(xué)生也或多或少有些了解，甚至許多學(xué)生知道一個數(shù)的幾倍就是這個數(shù)乘幾。付老師充分利用學(xué)生的這些已有認知完成了“倍”的直觀模型初步建構(gòu)。上課伊始，開門見山地提出：觀察6與2，你有什么發(fā)現(xiàn)？然后由學(xué)生的回答6是2的3倍，追問：2 由2個綠蘿卜表示，6由 6個紅蘿卜表示，3倍怎么表示？引導(dǎo)學(xué)生在黑板上擺出3倍關(guān)系。在不斷的追問中進一步明確誰與誰比較、每一份的個數(shù)是多少、一共有多少份。“倍”的直觀模型完全建立起來后，再運用二年級乘、除法的知識進一步解釋，順利建立起“倍”的數(shù)學(xué)概念。新舊知識銜接點找得準確，教學(xué)過程流暢、有序。

三、 對解決問題方法的精心指導(dǎo)

學(xué)生解決問題的能力不是天然而成的，也不是一蹴而就的，需要教師長期、反復(fù)精心指導(dǎo)逐步形成。

本節(jié)課的每一個教學(xué)環(huán)節(jié)結(jié)束，付老師都及時總結(jié)、歸納方法。如第一個環(huán)節(jié)認識倍以后，及時引導(dǎo)學(xué)生歸納確定直觀圖片給出的兩種數(shù)量倍數(shù)關(guān)系方法：分類——比較——解決。同時強調(diào)比較的方法可以是擺一擺、圈一圈等分份的方法，也可以用列除法算式的方法，體現(xiàn)了算法多樣化。在圈一圈找白蘿卜與綠蘿卜的倍數(shù)關(guān)系中，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注審題的重要性。在找蘋果、梨的倍數(shù)關(guān)系時，引導(dǎo)學(xué)生注意一般方法和特殊方法（規(guī)律的運用）的取舍，強調(diào)優(yōu)化意識。

四、對基本數(shù)學(xué)思想的有意滲透

數(shù)學(xué)思想不是靠講解讓學(xué)生理解的，而是在大量、反復(fù)的情境創(chuàng)設(shè)中讓學(xué)生自主感悟的。

本節(jié)課通過設(shè)計連續(xù)情境，不斷改變兩個比較量的數(shù)量，讓學(xué)生充分感悟正、反比例的思想；在小組合作擺出紅、綠兩種圓片的倍數(shù)關(guān)系中讓學(xué)生感悟一一對應(yīng)的思想。在“第一行給出5根小棒，如何在第二行擺出第一行的4倍”的分析中，付老師通過反例讓學(xué)生清楚按照份數(shù)擺的方法最好，不容易多擺或少擺。體現(xiàn)算法多樣化的同時，進一步滲透優(yōu)化思想。

編輯/魏繼軍