《任意角的三角函數(shù)》概念解讀及教學(xué)建議

王松春　張衛(wèi)東　王勇　周盼賢

[摘要]《任意角的三角函數(shù)》不僅概念多，而且有的概念比較重要.研究《任意角的三角函數(shù)》的教學(xué)具有實(shí)際意義.

[關(guān)鍵詞]任意角的三角函數(shù)；概念；解讀；建議

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05002102

《任意角的三角函數(shù)》是三角函數(shù)的核心概念，是一個(gè)承上啟下的概念.“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的，采用哪一種定義方法是一個(gè)取舍問題，沒有對(duì)錯(cuò)之分，不存在商榷的問題.周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)典型的例子便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”.在教學(xué)過程中，教師幫助學(xué)生明確三角函數(shù)的“函數(shù)”特征，確定哪些變量之間可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，將任意角的三角函數(shù)概念自然“產(chǎn)出”是本節(jié)課的著力點(diǎn).教師應(yīng)該將單位圓定義貫穿教學(xué)始終.單位圓不僅作為簡(jiǎn)化定義的工具，而且為后面三角函數(shù)線和三角函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)做鋪墊.

一、任意角的三角函數(shù)概念在高中數(shù)學(xué)中的地位和作用

三角函數(shù)是一個(gè)重要的基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.它在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，它是解決實(shí)際問題的重要工具.

任意角的三角函數(shù)是三角函數(shù)的核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點(diǎn)，由它可以導(dǎo)出三角函數(shù)線，三角函數(shù)定義域、值域、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)等.同時(shí)它也是學(xué)習(xí)參數(shù)方程、平面向量、斜率等知識(shí)的基礎(chǔ).因此，任意角的三角函數(shù)概念是一個(gè)承上啟下的核心概念.

二、任意角的三角函數(shù)概念內(nèi)容解析

回顧三角學(xué)發(fā)展史，可以發(fā)現(xiàn)它的起源、發(fā)展與天文學(xué)密不可分，它是一種對(duì)天文觀察結(jié)果進(jìn)行推算的方法.日出日落，四季更替……客觀世界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象，這種按一定規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象.周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān).

《任意角的三角函數(shù)》是人教A版《數(shù)學(xué)4》（必修）中的內(nèi)容，是在學(xué)習(xí)了弧度制和任意角之后，將正弦、余弦、正切定義為以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)（這種定義法也叫單位圓定義法）.由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)就可看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).課本在習(xí)題旁白處還給出了終邊定義法，用角終邊上任意一點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)和點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r的比值來定義.

“單位圓定義法”的本質(zhì)是：對(duì)于任意角α，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P（x，y）唯一確定.這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.即角α（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y——正弦，角α（弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x——余弦，可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡(jiǎn)單的.另外，“x=cosα，y=sinα是單位

圓的自然的動(dòng)態(tài)描述.由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱性）的解析表述.”其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角α每隔2π（圓周長(zhǎng)）而重復(fù)出現(xiàn).即點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來的位置.它非常直觀地顯示了這兩個(gè)函數(shù)的周期性.正切的定義可以聯(lián)系初中銳角三角函數(shù)的定義，類比給出y/x.教師還應(yīng)該把握時(shí)機(jī)順便點(diǎn)明當(dāng)α為銳角時(shí)，單位圓定義法與初中銳角三角函數(shù)的定義并無矛盾.

“單位圓定義法”與“終邊定義法”本質(zhì)上是一致的.采用哪一種定義方法是一個(gè)取舍問題，沒有對(duì)錯(cuò)之分，不存在商榷的問題.事實(shí)上，在“終邊定義法”中，給出定義后有如下說明：“根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角α，這三個(gè)比值（如果有的話）都不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變……對(duì)于確定的角α，上面三個(gè)比值都是唯一確定的.這就是說，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).”這恰恰說明了“以角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為比值”是不失一般性的.另外，用“單位圓定義法”直截了當(dāng)、簡(jiǎn)潔易懂，不需要這樣的說明，就更顯出其好處了.

本節(jié)課的重點(diǎn)是理解任意角的三角函數(shù)的概念，并初步運(yùn)用定義解決相關(guān)問題.其中，將“任意角的三角函數(shù)”概念自然“產(chǎn)出”是本節(jié)課的“著力點(diǎn)”.

三、高一學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了任意角的概念，知道了角的概念推廣是建立在需要數(shù)學(xué)地表示周期性運(yùn)動(dòng)的邏輯起點(diǎn)上，這為進(jìn)一步研究任意角的三角函數(shù)提供邏輯起點(diǎn).由于學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了以直角三角形為載體的銳角三角函數(shù)，沒有在函數(shù)觀點(diǎn)層面上認(rèn)識(shí)銳角的三角函數(shù)，由此產(chǎn)生任意角三角函數(shù)認(rèn)識(shí)的負(fù)遷移，認(rèn)為任意角三角函數(shù)就是求任意角三角函數(shù)值.這種對(duì)函數(shù)關(guān)系的認(rèn)同是學(xué)生學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)概念的困難之一.我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”.學(xué)生學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)概念的另一個(gè)困難是對(duì)相關(guān)變量的確定.學(xué)生之前學(xué)習(xí)的其他基本初等函數(shù)（一次、二次函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）建模過程一般只涉及兩個(gè)變量相比，質(zhì)點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，涉及的變量多，相關(guān)變量的確定就可能感到無從下手.因此，在教學(xué)過程中，需要幫學(xué)生明確三角函數(shù)的“函數(shù)”特征，借助一般函數(shù)的定義，在眾多變量中，通過甄別、篩查，確定哪些變量之間可以構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.

四、任意角的三角函數(shù)概念教學(xué)建議

1.以函數(shù)為主線.任意角的三角函數(shù)，其關(guān)鍵詞“任意角”“三角”“函數(shù)”中，“函數(shù)”最為本質(zhì)和重要.任意角的三角函數(shù)，是一個(gè)典型而重要的函數(shù)模型，其研究的一般過程與方法，應(yīng)在“函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型”的思想指導(dǎo)下，以構(gòu)建勻速圓周運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為目標(biāo)，用函數(shù)的概念去同化任意角三角函數(shù)的概念.具體的，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到它是數(shù)（其意義是角）到數(shù)（坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值）的對(duì)應(yīng).

2.合理地看待“單位圓定義”.三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.周期現(xiàn)象一般與周期運(yùn)動(dòng)有關(guān)，一個(gè)典型的例子便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”.不失一般性，單位圓（半徑為1的圓）上點(diǎn)P按怎樣的規(guī)律不斷重復(fù)出現(xiàn)？用什么樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫呢？之前學(xué)習(xí)的其他基本初等函數(shù)（一次、二次函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)）建模過程一般只涉及兩個(gè)變量相比，質(zhì)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，涉及的變量多，相關(guān)變量的確定就可能感到無從下手.而引入單位圓定義能將確定變量關(guān)系的思維過程簡(jiǎn)化.教學(xué)中，教師可借助幾何畫板展示點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)三角函數(shù)值的變化規(guī)律.

3.將單位圓定義貫穿教學(xué)始終.單位圓不僅能作為簡(jiǎn)化定義的工具，還可以為緊跟其后的三角函數(shù)線的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).我們要把單位圓定義法貫穿三角函數(shù)學(xué)習(xí)的始終，并結(jié)合其對(duì)稱性、直觀性討論函數(shù)的定義域，推導(dǎo)誘導(dǎo)公式等.

4.教學(xué)基本流程建議.（1）簡(jiǎn)單回顧，確立課題（三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型）；（2）提供背景，研究“原型”（圓周上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置研究，不失一般性，選單位圓）；（3）函數(shù)視角，探尋關(guān)系（從物理到數(shù)學(xué)，從運(yùn)動(dòng)到對(duì)應(yīng)）；（4）同化順應(yīng)，概念建構(gòu)（“函數(shù)”“任意角的三角函數(shù)”“銳角三角函數(shù)”關(guān)系探討）；（5）坐標(biāo)求解，回歸定義（教材例題，體會(huì)定義）.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）