同一內(nèi)容在不同教學(xué)階段的教學(xué)設(shè)計(jì)

蔣智東

[摘要]同一內(nèi)容，根據(jù)其發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的不同階段，應(yīng)有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)來引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解和技能的形成.

[關(guān)鍵詞]教學(xué)設(shè)計(jì)；絕對(duì)值；函數(shù)；問題

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05001703

絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它既有代數(shù)形式，又有幾何背景.“含有|x-a|的一類函數(shù)問題”形式新穎、綜合性強(qiáng)、思維難度大，要求學(xué)生不僅能深刻理解題意，還必須具備較好的邏輯推理能力和充足的思想方法儲(chǔ)備.而這些要求不是一蹴而就的，它需要一個(gè)過程.需要經(jīng)過兩輪的復(fù)習(xí)課教學(xué)，方可達(dá)到基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)知、基本方法的構(gòu)建、基本思想的滲透，并在此基礎(chǔ)上完成一系列的應(yīng)用的目標(biāo).

一、設(shè)計(jì)原則

1.教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定要有層次性

就“含有|x-a|的一類函數(shù)問題”，我們在第一輪、第二輪復(fù)習(xí)兩個(gè)階段組織不同教學(xué)目標(biāo)的微專題教學(xué).復(fù)習(xí)要循序漸進(jìn)，按照第一輪復(fù)習(xí)注重知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建和基本方法構(gòu)建，第二輪復(fù)習(xí)重應(yīng)用和能力培養(yǎng)的原則進(jìn)行整體設(shè)計(jì).

2.例題的選擇要有發(fā)展性

（1）含有|x-a|的一類函數(shù)解析式要盡量全面，便于學(xué)生對(duì)這類函數(shù)的認(rèn)知.如

f（x）=x2+|x-1|、f（x）=x|x-2|

等.同時(shí)，無論是依據(jù)定義去絕對(duì)值還是依據(jù)幾何意義去絕對(duì)值，都要有展示的空間.

（2）問題設(shè)計(jì)要盡量全面，便于學(xué)生對(duì)問題解決的基本方法感悟和提煉，便于學(xué)生在解決問題過程中思想方法的自然形成.

（3）問題的設(shè)計(jì)既要有利于學(xué)生獨(dú)立思考，又能促使學(xué)生探究交流.

（4）例題難度要遞進(jìn).

3.課后作業(yè)要有針對(duì)性

專題課的作業(yè)一定要有針對(duì)性，堅(jiān)持講什么，練什么.例題中歸納總結(jié)出什么方法，作業(yè)中的題目就要用到什么方法.讓學(xué)生在鞏固中理解、體會(huì)、提高.

4.知識(shí)結(jié)構(gòu)的把握要有整體性

同一內(nèi)容要有一個(gè)整體的目標(biāo)和要求.依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和認(rèn)知規(guī)律，在不同階段的教學(xué)中分層次逐步達(dá)成.不同階段的教學(xué)目標(biāo)和要求要為總的目標(biāo)和要求服務(wù)，是總目標(biāo)中的有機(jī)組成部分，要有層次性和連續(xù)性.

二、具體內(nèi)容

【第一輪復(fù)習(xí)】

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.通過對(duì)問題的呈現(xiàn)與思考，認(rèn)知含有|x-a|的一類函數(shù)的本質(zhì)，形成初步的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2.通過對(duì)問題的探索與解決，構(gòu)建問題解決的基本思路與基本方法，培養(yǎng)學(xué)生解決此類問題的能力.

3.通過對(duì)問題的回顧與反思，體會(huì)分類討論與數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的形成與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（二）課前預(yù)習(xí)

1.求函數(shù)f（x）=x2+|x-1|的最小值.

2.已知函數(shù)f（x）=x|x-2|，求：

（1）函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈

12，1+72

時(shí)，f（x）的值域；

（3）當(dāng)x∈

12，a

時(shí)，求f（x）的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：

1.通過兩個(gè)問題的解決，使學(xué)生明確此類|x-a|函數(shù)的本質(zhì)就是分段函數(shù)，而且每一段都是二次函數(shù).這就為學(xué)生自覺運(yùn)用函數(shù)圖像解決問題奠定了基礎(chǔ)（分別依據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)式、一般式、頂點(diǎn)式作圖，可以采集不同的信息）.

2.通過問題的解決，使學(xué)生明確此類函數(shù)的基本問題是研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而解決函數(shù)的最值或值域問題.

3.注重思想方法的自然形成.第2題的第（3）問在第（2）問的基礎(chǔ)上思考完成，為分類討論方法的使用提供了載體.

4.注重學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).第2題第（2）問中，0和2是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，直線x=1是函數(shù)f（x）=x（x-2）的對(duì)稱軸.因此，考查f（x）在區(qū)間

12，1+72

上的單調(diào)性時(shí)，左端點(diǎn)12不難確定，對(duì)于右端點(diǎn)

1+72

，就需要一定的思考和分析.1+72>2，并且f

1+72

=

f12

，需要不斷地調(diào)整，這種能力就是素養(yǎng).第2題第

（3）問中，由于f（1+2）=f（1）

，利用第（2）問中的思路，

分為x=1，x=2，x=1+2，對(duì)a的值進(jìn)行討論，從而確定函數(shù)f（x）在區(qū)間

12，a

上的單調(diào)性.這種依據(jù)圖像直觀，結(jié)合函數(shù)圖像上的節(jié)點(diǎn)，形成的討論就是具備數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn).

反思提煉：

1.我們研究了哪一類函數(shù)的問題？

——含有|x-a|的一類函數(shù)的問題.

2.這類問題的本質(zhì)是什么？

——分段函數(shù)，而且每一段都是二次函數(shù)，它屬于基本函數(shù).

3.我們研究了這類函數(shù)的什么問題？

——求單調(diào)區(qū)間和最大（小）值、值域問題（其實(shí)就是研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最大（?。┲祷蚴侵涤蚨家劳袉握{(diào)性來求解），這些問題都是函數(shù)最常見的問題.

4.解決問題的過程中，我們都分別用到了什么方法？

——數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法.

二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間往往通過其圖像來獲得.二次函數(shù)作圖過程中，一般式可以考查確定開口方向和縱軸截距；頂點(diǎn)式可以考查確定對(duì)稱軸和頂點(diǎn)縱坐標(biāo)；零點(diǎn)式可以考查確定圖像與x的兩個(gè)交點(diǎn).

（三）典型例題

兩個(gè)預(yù)習(xí)題目所呈現(xiàn)的是含有|x-a|的函數(shù)中比較重要的、基本的模型和典型性問題，含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法和較高的能力要求.因此，我們有必要在此基礎(chǔ)上再做深入細(xì)致的思考和研究.

【例1】已知函數(shù)

f（x）=x|x-a|，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值為F（a），求F（a）的表達(dá)式.

設(shè)計(jì)意圖：

1.第（1）問中類比課前預(yù)習(xí)中的2，依托二次函數(shù)零點(diǎn)式作圖，確定不同情形下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

2.第（2）問中一方面利用第（1）問中的圖形，針對(duì)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的單調(diào)性展開討論，確定最大值；另一方面，也可以利用|x-a|的幾何意義，分a<0、0≤a≤2和a>2去掉絕對(duì)值，化簡函數(shù)后再確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的單調(diào)性.

3.第（2）問還需二次討論，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力和對(duì)綜合問題的把握能力.

【例2】設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=2x2+（x-a）|x-a|，求f（x）的最小值.

f（x）=

3x2-2ax+a2，x≥a

x2+2ax-a2，x

即

f（x）=

3（x-a3）2+23a2，x≥a

（x+a）2-2a2，x

設(shè)計(jì)意圖：

1.在例1形成的新認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)（每段二次函數(shù)的二次項(xiàng)不同，常數(shù)項(xiàng)均不為零，兩段函數(shù)的相關(guān)性不強(qiáng)）上，進(jìn)一步檢查學(xué)生對(duì)此類問題解決方法的掌握情況.通過學(xué)生交流及教師的引導(dǎo)，使學(xué)生及時(shí)進(jìn)行辨析對(duì)比較、矯正確認(rèn).

2.對(duì)兩段函數(shù)作圖時(shí)，能夠依據(jù)對(duì)稱軸展開討論，就是有素養(yǎng)的表現(xiàn).同時(shí)，作圖過程中“銜接點(diǎn)”的把握也是關(guān)鍵點(diǎn).

課堂小結(jié)：什么函數(shù)？什么問題？什么方法？（具體略）

用圖體會(huì)：圖“不動(dòng)”，區(qū)間端點(diǎn)“動(dòng)”.

【

第二輪復(fù)習(xí)】

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.通過在函數(shù)解析式中設(shè)置參數(shù)，增大問題考查的廣度和深度.

2.通過問題的逆向考查，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

3.圍繞函數(shù)的零點(diǎn)、恒成立等問題，培養(yǎng)學(xué)生以含有|x-a|的函數(shù)為載體的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力.

（二）課前預(yù)習(xí)

1.已知函數(shù)f（x）=x|x-2|-a有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

2.若不等式x2+|x-1|≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

3.若函數(shù)f（x）=x|x-a|在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，則求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：

1.回顧函數(shù)|x-a|零點(diǎn)問題的相關(guān)處理方法——轉(zhuǎn)化法[函數(shù)f（x）的零點(diǎn)、方程f（x）=0的根、函數(shù)y=h（x）與函數(shù)y=φ（x）圖像的交點(diǎn)].

2.回顧恒成立問題的兩類基本方法（最值法和參變量分離法）.

3.增加問題的逆向考查，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

4.增加應(yīng)用的成分，增強(qiáng)問題的綜合性，增加考查強(qiáng)度.

方法提煉：

1.零點(diǎn)、恒成立問題常規(guī)的處理方法.

2.在一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)上，強(qiáng)化用圖意識(shí)（區(qū)間端點(diǎn)“2”動(dòng)，圖不動(dòng)）.

（三）典型例題

【例1】已知函數(shù)f（x）=x|x-a|.設(shè)a≠0，若f（x）在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，分別求出m，n的取值范圍（用a表示）.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在一輪復(fù)習(xí)中例2的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考（思維和方法的連續(xù)性，提高復(fù)習(xí)效率）.學(xué)生受初中知識(shí)方法的影響，往往第一感覺就是考慮端點(diǎn)值的代入.我們設(shè)計(jì)成開區(qū)間的形式，就會(huì)促使學(xué)生進(jìn)行新的思考.函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，n）上肯定不會(huì)單調(diào)，那么，最大值（最高點(diǎn)）、最小值（最低點(diǎn)）必在區(qū)間（m，n）內(nèi)部.

此題增強(qiáng)了學(xué)生的用圖意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力，又為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的極值奠定了基礎(chǔ).

【例2】已知函f（x）=|x|（x-2）.

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）在區(qū)間-1，12

上的最大值.

設(shè)計(jì)意圖：

在含有|x-a|的函數(shù)的問題處理上，進(jìn)一步夯實(shí)學(xué)生的基本功，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在確定函數(shù)在區(qū)間-1，12中，需要分類討論，關(guān)鍵點(diǎn)是確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，是依托區(qū)間端點(diǎn)“-1”進(jìn)行，還是依托端點(diǎn)“12”進(jìn)行，不是特別明確，需要學(xué)生分析思考，要逐步摸索，不斷調(diào)整，這就是能力的體現(xiàn).在最大值的確定上，還要進(jìn)行二次討論.

【例3】已知關(guān)于x方程|x-a|x=a有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：

在知識(shí)縱向延伸的基礎(chǔ)上再向橫向拓展，圍繞方程有根問題的諸多處理方法，突出、強(qiáng)化對(duì)含有|x-a|的函數(shù)問題的常用方法（圖像法）的應(yīng)用.

【例4】已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-2，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，

f（x）<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：

通過恒成立這種問題形式，使學(xué)生分析思考解決的方式：可以直接求f（x）max（一輪復(fù)習(xí)中的例1），這正是本專題復(fù)習(xí)的效果所在.也可以進(jìn)行參變量分離處理.

本課小結(jié)：

哪些知識(shí)？哪些方法？哪些應(yīng)用？問題和思路梳理?。ň唧w略）

三、教學(xué)設(shè)計(jì)分析

同一內(nèi)容，根據(jù)其發(fā)生、發(fā)展及應(yīng)用的不同階段，應(yīng)有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)來引導(dǎo)和促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)、理解和技能的形成.這種教學(xué)設(shè)計(jì)，是發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)和知識(shí)發(fā)生、發(fā)展這三個(gè)過程作用的一種教學(xué)框架.它使學(xué)生能夠積極動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口參與知識(shí)和方法的形成的過程（即生長過程）.因而，教師傳授（即學(xué)生獲取）信息、知識(shí)的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生（學(xué)生自我發(fā)展）創(chuàng)造知識(shí)的能力，提高了學(xué)生（學(xué)生自我增進(jìn)）的技能.也就是說，通過科學(xué)的設(shè)計(jì)，使教師的教學(xué)過程、學(xué)生的學(xué)習(xí)過程統(tǒng)一于師生共同參與研究、討論、探索、發(fā)現(xiàn)的過程.這是一個(gè)獲取知識(shí)、發(fā)展思維、訓(xùn)練技能三位一體的過程，是知識(shí)和能力相結(jié)合的過程.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）