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    對一節(jié)概念教學(xué)課的思考

    2018-04-08 07:10:14江薇
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念思考教學(xué)

    江薇

    [摘要]數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分.概念課的教學(xué)要從概念的引入、抽象、辨析和延伸幾個方面進行,這樣才能讓學(xué)生對概念形成完整的認識.

    [關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)概念;教學(xué);思考

    [中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058(2018)05001402

    數(shù)學(xué)本身就是抽象的科學(xué),數(shù)學(xué)概念就是抽象的結(jié)果.高中數(shù)學(xué)知識點多,數(shù)學(xué)概念多.要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),會學(xué)數(shù)學(xué),學(xué)好數(shù)學(xué),首先應(yīng)該從學(xué)習(xí)概念入手.

    概念課比較重要,但是教師要把握好一節(jié)概念課并不容易.原因是有的數(shù)學(xué)概念太抽象.教師認為比較簡單的概念,學(xué)生卻比較難理解.下面我以高一《平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義》為例,談?wù)剬Ω咧懈拍钫n教學(xué)的一點思考.

    教材中向量的數(shù)量積的知識共有4部分內(nèi)容:定義、性質(zhì)、運算律和應(yīng)用.總共是安排2個課時完成.我是將向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律的教學(xué)都集中在同一課時里,目的是通過這樣一節(jié)課,讓學(xué)生對數(shù)量積知識的產(chǎn)生與發(fā)展能有一個較完整的認識.

    一、創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)學(xué)生參與概念的形成過程

    對于學(xué)生而言,平面向量的數(shù)量積是一個全新的知識.知識本身比較抽象,學(xué)生常常用死記硬背的方法來學(xué)習(xí).如果學(xué)生對知識沒能理解透徹,學(xué)習(xí)的效果不佳,還會產(chǎn)生畏學(xué)的情緒.

    我通過還原知識產(chǎn)生的背景來引入概念,拉近學(xué)生與概念之間的距離,以此來消除學(xué)生對知識的恐懼.我選擇了一幅物理中力做功的圖形作為這節(jié)課的開場.一個向右上方的力F,與水平面的夾角為θ,其在向右方向上產(chǎn)生了位移,那么力F在位移s方向上的功是多少?借助電腦動畫演示,將力分解成向上和向右的分力,向右的分力在力的方向上做功,得到W=Fscosθ.提出問題:F是什么量?s是什么量,W又是什么量?目的是為了強調(diào)F、s是矢量,但矢量乘積的結(jié)果卻是標量的事實.這就是向量的數(shù)量積產(chǎn)生的實際背景.但又不能僅停留在例題本身,于是我接著將W=Fscosθ中的F,s換成向量a,b,向量的夾角為θ,抽象出向量數(shù)量積的概念.在概念的引入過程中,學(xué)生不僅感受到知識產(chǎn)生的背景,還能體會概念抽象的過程,使新概念在原有知識基礎(chǔ)上自然得到同化和順應(yīng).

    二、讓概念的學(xué)習(xí)進一步精確

    數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式,即一種數(shù)學(xué)的思維形式.對于概念的學(xué)習(xí),我們往往要咬文嚼字才能更精確

    地理解概念的內(nèi)在含義.數(shù)量積的概念看似簡單,兩個非零向量a,b,我們把|a||b|cosθ叫作

    a

    與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b .實則不然,從表象結(jié)構(gòu)看,有兩點要提醒學(xué)生注意:1.數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量;2.中間的點不能省略也不能改成“×”(乘號)(這里體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號的特定含義).在教學(xué)過程中,我讓學(xué)生口述,并用電腦演示出作圖的過程,用不同顏色的線條加以區(qū)分,使他們先形成感性認識,進一步追問:“投影是向量還是數(shù)量?投影一定是正數(shù)嗎?”促使他們進一步從理性的角度去分析各種各樣的情形,從一般再到特殊,最后將可能出現(xiàn)的結(jié)果在電腦屏幕上用框圖的形式分類歸納出來,使學(xué)生逐漸形成對投影的完整認識.

    由學(xué)生口述投影的做法,是讓學(xué)生根據(jù)投影的定義作圖,考查其對投影定義的理解.這節(jié)課重點是向量的數(shù)量積,它是一個既有方向又有大小的量參與的一種運算,是學(xué)生新學(xué)習(xí)的一個知識,所以要不斷強化向量及數(shù)量積的特征.在學(xué)生明確特征之后,他們才會從向量的特征——大小和方向入手去思考問題.

    經(jīng)歷了從外在結(jié)構(gòu)認識定義,到感性作圖,理性思考,歸納出內(nèi)在特征的過程,學(xué)生才能對數(shù)量積的概念有一個比較全面的認識.

    三、進行概念的辨析,讓學(xué)生加深印象

    在概念教學(xué)中,可以將滿足概念的條件特殊化,設(shè)計出相應(yīng)問題讓學(xué)生思考.例如,如果將兩個特殊的向量進行數(shù)量積運算,那么有怎樣的結(jié)果?

    最容易想到的特殊向量是零向量.由于零向量方向是任意的,所以要隨后補充規(guī)定:0·a=0.

    如果兩個非零向量進行運算,是否也有特殊的結(jié)論?對非零的情況展開討論.因為向量是具有大小和方向的量,所以在考慮特殊關(guān)系時自然是沿著兩個向量的大小和位置關(guān)系進一步探究:1.模相等的情形;2.從方向上考慮,共線同向與共線反向的情形;3.模和方向都相同的情形.

    得到非零向量的特殊結(jié)論:a⊥b

    a·b

    =0.當(dāng)a與

    b同向時,a·b

    =|a||b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a|·

    |b|.特別的,a·a=a2=

    |a|2

    或|a|=

    a·a=a2

    .

    這樣設(shè)計問題,一方面讓學(xué)生能夠熟練應(yīng)用概念;

    另一方面所得到的結(jié)論可以更好地為解題服務(wù).

    為了讓學(xué)生能更好地鞏固知識,可以再用一些特殊的例子進行辨識.

    例如,以下結(jié)論成立嗎?

    (1)0·a=0;

    (2)0·a=0;

    (3)(a·b)2=a2·b2;

    (4)a與b是兩個單位向量,則a2=b2;

    (5)若a≠0,且a·b=0,則b=0;

    (6)若a·b=b·c,則a=c;

    (7)若a⊥(b-c),則a·b=a· c;(8)a·a·a=a3.

    四、向外延伸概念,建立與其他知識之間的聯(lián)系

    與數(shù)量的乘法運算律類比、猜想、論證向量數(shù)量積的運算律.這里面包括乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律.

    以乘法結(jié)合律為例,剛開始所有的學(xué)生都將乘法結(jié)合律的結(jié)論類比成

    (a·b)·c=a·(b·c)

    .但很快通過數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量,就能判斷出結(jié)論錯誤.進一步調(diào)整思路,將其中的一個向量換成數(shù)量的結(jié)合律,即

    (λa)·b=λ(a·b)=

    a·(λb)

    能否成立.

    (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

    的證明是這節(jié)課的難點之一.證明的時候要考慮到λ的符號,要對λ進行分類討論.但是λ的分類也不能一開始就分,學(xué)生會提出疑問:你為什么會知道要分類,你按什么標準分類的?因此在這個環(huán)節(jié)中,可以跟著學(xué)生的思路先將第一個等號的兩邊分別按照數(shù)量積的定義展開,直到

    (λa)·b

    =|λa||b|

    cosθ1=

    |λ||a|

    |b|cosθ1,

    λ(a·b)

    =λ|a||b|

    cosθ2這一步,化簡不了,才回頭考慮其中的θ1、θ2兩個夾角一樣嗎,兩個夾角的含義分別是什么,它們有什么關(guān)系,這樣才發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致它們相等或者互補的量是λ,這時才對λ進一步分類.逐步完善對運算律的證明.

    類比法是學(xué)生比較喜歡的一種方法,這種思想方法比較容易上手,有目標有方向,容易發(fā)現(xiàn)知識之間的異同,而且使人印象深刻,易將所學(xué)概念納入已有的認知結(jié)構(gòu)中,形成具有聯(lián)系的概念體系.

    我認為數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程與一個概念的發(fā)生、發(fā)展過程有著許多相似之處.一節(jié)概念課的學(xué)習(xí)可以給學(xué)生做出示范,學(xué)習(xí)如何接受一個新知識,如何將新知識與其他知識產(chǎn)生關(guān)聯(lián),從而組成一個知識的網(wǎng)絡(luò).

    (責(zé)任編輯黃桂堅)

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