基于LPPL模型的股市暴跌風險預警

陳衛(wèi)華，蔡文靖

（上海財經(jīng)大學統(tǒng)計與管理學院，上海200433）

0　引言

股市暴跌在使投資者蒙受巨大損失，引起整個金融體系動蕩的同時，也將風險傳導到上市公司，危及實體經(jīng)濟發(fā)展。若能提前預警股市暴跌的風險，警醒部分投資者，引起監(jiān)管層足夠重視，各自準備應對措施，則有助于緩解暴跌，實現(xiàn)籌碼的充分換手，平穩(wěn)過渡市場風險。

關于泡沫破滅時點能否被預測一直存在爭議[1-3]，目前國內(nèi)針對股市泡沫破滅風險的研究主要集中在定性分析以及事后解讀，定量模型研究缺乏，相關研究遠不能適應實際需求。因此，本文基于目前較為成熟的LPPL（Log-Period Power Law）模型，在改進模型算法提高求解精度的條件下，利用2015年6月上證指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)暴跌前的數(shù)據(jù)，擬合對數(shù)指數(shù)，對指數(shù)暴跌時點進行預測。得到模型擬合的結果后，引入Lomb譜分析和O-U隨機過程對結果進行檢驗，論證是否存在對數(shù)周期震蕩性質(zhì)。在此基礎上，對我國股市暴跌風險進行預警，讓監(jiān)管層、市場參與者等對股市泡沫有防范意識，采取合理適當?shù)牟僮?，積極主動應對并盡力化解風險。

1　模型建立

本文主要基于Sornette和Johansen（1999）[4]建立的LPPL（Log-Periodic Power Law）模型，通過擬合對數(shù)價格檢測泡沫并預測泡沫破滅時點。另外，本文改進了模型算法，在原模型的基礎上提高計算效率并且優(yōu)化結果。在擬合模型的基礎上，本文利用Bootstrap技術得到預測值的區(qū)間估計，進一步引入Lomb譜分析以及O-U過程檢驗對模型的參數(shù)進行檢驗，增強模型的解釋性以及適用性。

1．1　LPPL模型

典型的LPPL模型以hazard rate為起點，h(t)=q(t)/[1-Q(t)]，q(t)表示t時刻泡沫破滅的概率，Q(t)表示t時刻前的累積函數(shù)。利用物理學中的分級概念刻畫h(t)及正反饋效應得到LPPL模型：

式（1）中l(wèi)n[p(t)]表示t時刻對數(shù)價格，x=tc-t測度了拐點時刻tc與t之間的間隔，t介于開始日期tstart和結束日期tend之間。為了使模型具有經(jīng)濟學意義，限定B＜0且0＜α＜1，冪律項Bxα刻畫了受正反饋機制影響的價格超指數(shù)增長，Cxαcos(ωlnx+φ)則表示對這種超指數(shù)增長的修正，具有離散尺度不變性特性[5]。通過變化tstart和tend，可以檢驗模型擬合參數(shù)的穩(wěn)定性。式中有四個非線性參數(shù)(α，ω，tc，φ)和三個線性參數(shù)（A，B，C），在Sornette的模型中，重寫式可以得到lnp(t)=A+Bf(t)+Cg(t),線性參數(shù)A、B、C可以通過最小二乘法求解非線性參數(shù)得到，具體求解如下：

式（2）中存在四個非線性參數(shù)，算法容易陷入局部最優(yōu)解，導致求解不穩(wěn)定，計算速度慢。本文在此基礎上對算法進行改進，通過相關處理使模型的四個非線性參數(shù)減少為三個非線性參數(shù)，這樣在減少運算的基礎上提高了求解精度，更接近于全局最優(yōu)解。具體處理方法為改寫式（1）得到式（3）：

令C1=Ccosφ,C2=Csinφ,則式（3）可以寫作：

通過上述處理，非線性參數(shù)φ分解得到線性參數(shù)C1和C2，然后利用最小二乘法，可以得到四個線性參數(shù)的求解方程：

模型具體求解分為兩步，第一步，劃分網(wǎng)格利用遺傳算法尋找符合限制條件的多組最優(yōu)解；第二步，將第一步得到的各組最優(yōu)解作為Levenberg-Marquardt非線性最小二乘算法的初始值，以均方誤差作為目標函數(shù)，取MSE最小的一組解作為最優(yōu)解。

1．2　參數(shù)敏感性檢驗

為了檢驗模型參數(shù)的敏感性，擬合模型的樣本將不斷變更。具體方法為固定擬合樣本的一端，調(diào)整另一端。比如固定擬合結束時點，將開始時點每隔5個交易日依次朝結束時點推進；同理固定開始時點，則從某一時間每隔5個交易日朝最后結束時點推進，通過變化樣本區(qū)間長度得到模型參數(shù)并檢驗模型參數(shù)的穩(wěn)健性。利用Bootstrap技術重抽樣多個區(qū)間，得到泡沫破滅時點的區(qū)間估計。

值得注意的是，模型所預測的泡沫破滅時點并不代表之后一定就是暴跌，也可能是逐步的下跌或者短暫下跌后繼續(xù)上行。模型預測的時間段僅僅代表暴跌在該時間段最有可能發(fā)生。之所以出現(xiàn)這種情況，是因為考慮經(jīng)濟學中的理性預期模型。按照該模型，即使投資者感受到泡沫存在并覺得泡沫大概率要破滅。依舊有部分投資者繼續(xù)投資于市場，其目的在于獲得與高風險相適應的高回報，該行為依舊是理性的。

1．3　Lomb譜分析

為了檢驗模型中參數(shù)角頻率ω所呈現(xiàn)出來的對數(shù)周期性，本文利用Lomb譜分析來檢測對數(shù)周期震蕩。相較于標準的傅立葉譜分析，Lomb譜分析可以用來處理不規(guī)則抽樣數(shù)據(jù)并且得到類似的結果。對于特定的時間序列，Lomb譜分析返回一系列角頻率ω并給出相應的冪律PN(ω)，最大的冪律ωLomb作為Lomb頻率估計。按照Sornette和Zhou（2002）[6]的方法，Lomb譜分析通過下述方式進行：

計算殘差項公式如下：

式（6）中A1通過計算式（4）的A得到，p(t)表示t時刻真實價格，tc表示預測的暴跌時點，E表示均值，r(t)表示殘差項。通過對r(t)進行Lomb譜分析，得到Lomb冪率和頻率的關系圖，若呈現(xiàn)出比較明顯的周期性質(zhì)即可驗證對數(shù)周期震蕩。

1．4　Ornstein-Uhlenbeck過程和單位根檢驗

Lin等（2013）[7]針對金融泡沫提出自組織增強模型，如果在泡沫區(qū)間對數(shù)價格可以歸于LPPL的決定性成分，則LPPL擬合結果殘差滿足Ornstein-Uhlenbeck（O-U）過程。LPPL擬合殘差可以轉(zhuǎn)換為AR（1）過程進行驗證，因此利用單位根檢驗可以進行驗證。本文使用Phillips-Perron和Dickey-Fuller單位根檢驗。拒絕零假設表示殘差是平穩(wěn)的，符合O-U過程。

2　實證分析

2．1　數(shù)據(jù)說明

本文的研究區(qū)間為2014年1月2日至2015年9月30日，選擇這一區(qū)間是因為該區(qū)間涵蓋了前述定義的泡沫的五個階段，具有代表性。對于這輪泡沫來說，泡沫的產(chǎn)生和生長可以和社會無風險利率下沉、國企改革等結合起來。在貨幣當局多次降準降息以后，市場無風險利率下沉，資產(chǎn)價值對應上升，股市開始發(fā)力。本文的研究標的為上證指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)。選取上證指數(shù)的主要原因在于上證指數(shù)是反應我國股市狀況的一個典型指數(shù)，選取創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的主要原因在于創(chuàng)業(yè)板從2014年開始一路上揚，受到大家的關注和討論，兩個標的各具有側重性也具有典型性。

本文擬合模型的區(qū)間構建如下：①固定結束時間為2015年5月20日，起始時間從2014年1月2日每五個交易日依次推到2015年1月5日；②固定開始時間為2015年1月5日，結束時間從2015年4月1日每五個交易日依次推到2015年6月5日。

在第一個擬合程序中，共得到50個區(qū)間，第二個擬合程序共得到10個區(qū)間。本文指數(shù)數(shù)據(jù)來自Wind數(shù)據(jù)庫，對指數(shù)取對數(shù)，分析工具為Matlab。

2．2　LPPL模型結果及分析

圖1和圖2是對上證指數(shù)取對數(shù)并代入LPPL模型進行擬合后得到的結果。

圖1 變更起點，置信區(qū)間較窄，預測效果較好

圖1擬合區(qū)間為2014年1月2日至2015年5月20日，固定擬合區(qū)間段終點為2015年5月20日，起點變更從2014年1月2日每隔5個交易日到2015年1月5日。變更起點主要檢驗起點的選取對預測結果的穩(wěn)健性。擬合樣本總量為50個，按照模型限制條件篩選出有效解27個。圖1中虛線條表示暴跌前的上證指數(shù)實際走勢，第1根豎線表示擬合所用數(shù)據(jù)終點，灰色區(qū)域內(nèi)豎線表示暴跌實際發(fā)生時點。第一根豎線后的趨勢線表示上證指數(shù)暴跌的實際走勢和預測走勢。灰色區(qū)域表示預測的暴跌時間在80%置信水平下的置信區(qū)間。從圖1可以看到，完全利用暴跌之前的數(shù)據(jù)變更起點得到的暴跌預測區(qū)間覆蓋了實際暴跌時點，具有較好的預測效果。

圖2 變更終點，置信區(qū)間較長，多數(shù)結果靠近實際

圖2擬合區(qū)間為2015年1月5日至2015年6月5日，固定擬合區(qū)間段起點為2015年1月5日，終點變更從2015年4月1日每隔5個交易日到2015年6月5日。變更終點主要檢驗終點的選取對預測結果的穩(wěn)健性。擬合樣本總量為10個，按照模型限制條件篩選出有效解5個。圖2中虛線條表示暴跌前的上證指數(shù)實際走勢，第1根豎線表示擬合所用數(shù)據(jù)終點，灰色區(qū)域內(nèi)豎線表示暴跌實際發(fā)生時點。第1根豎線后的趨勢線表示上證指數(shù)暴跌后的實際走勢和預測走勢?；疑珔^(qū)域表示預測的暴跌時間在80%置信水平下的置信區(qū)間。從圖2可以看到，完全利用暴跌之前的數(shù)據(jù)變更終點得到的暴跌預測區(qū)間覆蓋了實際暴跌時點，但是置信區(qū)間較大，進一步分析，可以看到多數(shù)樣本預測的暴跌時點在真實值附近，具有較好的參考性。

按照上述方法對創(chuàng)業(yè)板指數(shù)進行擬合，結果如圖3和圖4所示。

圖3 變更起點，預測置信區(qū)間較窄，真實值在預測期間內(nèi)

圖4 變更終點，預測區(qū)間變寬，預測值與真實值接近

圖3和圖4的樣本區(qū)間與圖1和圖2一致，每條線的含義與圖1和圖2中闡述一致，結果表明模型在創(chuàng)業(yè)板上預測依舊有效。

表1是模型的參數(shù)部分估計匯總，選取的是上證指數(shù)和創(chuàng)業(yè)板指數(shù)變更起點或者終點得到的樣本中第一個樣本和最后一個樣本的參數(shù)估計。

表1　部分樣本LPPL模型參數(shù)估計結果

2．3　Lomb譜分析結果

為了檢驗上述擬合模型是否呈現(xiàn)對數(shù)周期性質(zhì)，本文引入Lomb譜分析，結果如圖5所示。從譜分析結果圖可以看出，對上證指數(shù)、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)取對數(shù)進行LPPL擬合得到的殘差進行譜分析，各樣本段的峰值都較接近，圖形呈現(xiàn)明顯的周期效果。證明對數(shù)周期性質(zhì)存在，同時，通過確認大部分的樣本的峰值所在位置，能更好地預測暴跌時點。

圖5針對四種預測模型的Lomb譜分析表明存在對數(shù)周期性

2．4　O-U分析結果

分別選取擬合誤差最小的四組樣本，對殘差進行單位根檢驗。從而判斷暴跌時點是否適合Ornstein-Uhlenbeck過程。檢驗結果如表2所示。

表2　殘差單位根檢驗

從表2可以看出，四個序列均滿足平穩(wěn)性檢驗。說明暴跌時間服從O-U隨機過程，不局限于正態(tài)分布，呈現(xiàn)出對數(shù)周期性質(zhì)。

3　結論和建議

本文利用改進算法的LPPL模型對我國2015年6月份上證指數(shù)、創(chuàng)業(yè)板指數(shù)的暴跌進行了預測，利用Bootstrap技術得到預測區(qū)間，結合Lomb譜分析和O-U隨機過程單位根檢驗對模型參數(shù)進行檢驗。研究發(fā)現(xiàn)兩個指數(shù)在暴跌前均呈現(xiàn)明顯的伴隨對數(shù)周期震蕩的超指數(shù)增長特征，兩個指數(shù)的泡沫破滅時間均落在改進的LPPL模型預測的80%置信水平下的置信區(qū)間內(nèi)，且暴跌時間點與模型預測的時間點接近。

本文的回溯結果表明LPPL模型能較好地刻畫伴隨對數(shù)周期震蕩的超指數(shù)增長，Lomb譜分析以及O-U過程檢驗也支持了這種論證。模型利用股災發(fā)生之前的數(shù)據(jù)，準確及時地捕捉到暴跌的區(qū)間，說明對暴跌的預測在適用的模型及嚴謹?shù)臋z驗下是可行的。利用這些模型實時研判，可以起到預警作用。本文通過變更回溯起點和終點，進行多次擬合發(fā)現(xiàn)改進的LPPL模型參數(shù)穩(wěn)定，敏感性較低，在實際使用中具有穩(wěn)定性和可適用性。然而，值得注意的是，預測的暴跌時點只是表明股市暴跌的概率較大，并不一定代表隨后就會發(fā)生暴跌。

根據(jù)上述結論，本文建議監(jiān)管層密切關注泡沫形成的超指數(shù)增長特征。利用定量分析的方法，結合其他觀測指標，及時診斷股市泡沫，并在合適時期對市場參與者預期進行引導，采取相應措施未雨綢繆。而市場參與者可以借鑒本文的研究方法，跟蹤市場，采取靈活策略合理應對，盡量規(guī)避風險并減少損失。

參考文獻：

[1]Rosser J B,Econophysics and Economic Complexity[EB/OL].http://cob.jmu.edu/rosserjb.

[2]Gurkaynak R S.Econometric Tests of Asset Price Bubbles:Taking stock[J].Econ.Surveys,2008,22(1).

[3]Johansen A,Sornette D.Financial‘Anti-bubbles’:Log-periodicity in Gold and Nikkei Collapses[J].Int.J.Mod.Phys.C,1999,10(4).

[4]Johansen A,Sornette D,Ledoit O.Predicting Financial Crashes Using Discrete Scale Invariance[J].Journal of Risk,1999,1(4).

[5]Sornette D,Johansen A.Large Financial Crashes[J].Physiea A,1997,(245).

[6]Sornette D,Zhou W X.The US 2000—2002 Market Descent:How Much Longer and Deeper?[J].Quant.Finance.2002,4(2).

[7]Lin L,Sornette D M.Diagnostics of Rational Expectation Financial Bubbles With Stochastic Mean-Reverting Termination Times[J].The European Journal of Finance,2013,19(5).